Kernel (álgebra) - Kernel (algebra)

En álgebra , el núcleo de un homomorfismo (función que conserva la estructura ) es generalmente la imagen inversa de 0 (excepto para los grupos cuya operación se denota multiplicativamente, donde el núcleo es la imagen inversa de 1). Un caso especial importante es el núcleo de un mapa lineal . El núcleo de una matriz , también llamado espacio nulo , es el núcleo del mapa lineal definido por la matriz.

El núcleo de un homomorfismo se reduce a 0 (o 1) si y solo si el homomorfismo es inyectivo , es decir, si la imagen inversa de cada elemento consta de un solo elemento. Esto significa que el kernel puede verse como una medida del grado en que el homomorfismo deja de ser inyectivo.

Para algunos tipos de estructura, como los grupos abelianos y los espacios vectoriales , los posibles núcleos son exactamente las subestructuras del mismo tipo. Este no es siempre el caso y, a veces, los posibles núcleos han recibido un nombre especial, como subgrupo normal para grupos e ideales de dos caras para anillos .

Los kernels permiten definir objetos cocientes (también llamados álgebras de cociente en álgebra universal y cokernels en teoría de categorías ). Para muchos tipos de estructura algebraica, el teorema fundamental de los homomorfismos (o primer teorema del isomorfismo ) establece que la imagen de un homomorfismo es isomorfa al cociente del núcleo.

El concepto de núcleo se ha extendido a estructuras tales que la imagen inversa de un solo elemento no es suficiente para decidir si un homomorfismo es inyectivo. En estos casos, el núcleo es una relación de congruencia .

Este artículo es un estudio de algunos tipos importantes de núcleos en estructuras algebraicas.

Encuesta de ejemplos

Mapas lineales

Deje que V y W sean espacios vectoriales más de un campo (o más generalmente, los módulos de más de un anillo ) y dejar que T sea un mapa lineal de V a W . Si 0 _W es el vector cero de W , entonces el núcleo de T es la preimagen del subespacio cero { 0 _W }; es decir, el subconjunto de V que consta de todos los elementos de V que se asignan por T para el elemento 0 _W . El kernel generalmente se denota como ker T , o alguna variación del mismo:

${\ Displaystyle \ ker T = \ {\ mathbf {v} \ in V: T (\ mathbf {v}) = \ mathbf {0} _ {W} \}.}$

Dado que un mapa lineal conserva los vectores cero, el vector cero 0 _V de V debe pertenecer al núcleo. La transformación T es inyectiva si y solo si su núcleo se reduce al subespacio cero.

El núcleo ker T es siempre un subespacio lineal de V . Por tanto, tiene sentido hablar del espacio cociente V / (ker T ). El primer teorema de isomorfismo para espacios vectoriales establece que este espacio cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de T (que es un subespacio de W ). Como consecuencia, la dimensión de V es igual a la dimensión del núcleo más la dimensión de la imagen.

Si V y W son de dimensión finita y se han elegido las bases , entonces T se puede describir mediante una matriz M , y el núcleo se puede calcular resolviendo el sistema homogéneo de ecuaciones lineales M v = 0 . En este caso, el núcleo de T puede ser identificado para el núcleo de la matriz M , también llamado "espacio nulo" de M . La dimensión del espacio nulo, llamada nulidad de M , viene dada por el número de columnas de M menos el rango de M , como consecuencia del teorema de rango-nulidad .

Resolver ecuaciones diferenciales homogéneas a menudo equivale a calcular el núcleo de ciertos operadores diferenciales . Por ejemplo, para encontrar todas las funciones f dos veces diferenciables de la línea real a sí misma de manera que

${\ Displaystyle xf '' (x) + 3f '(x) = f (x),}$

Sea V el espacio de todas las funciones dos veces diferenciables, sea W el espacio de todas las funciones y defina un operador lineal T de V a W por

${\ Displaystyle (Tf) (x) = xf '' (x) + 3f '(x) -f (x)}$

para f en V y x un arbitrario número real . Entonces todas las soluciones a la ecuación diferencial están en ker T .

Se pueden definir núcleos para homomorfismos entre módulos sobre un anillo de manera análoga. Esto incluye núcleos para homomorfismos entre grupos abelianos como un caso especial. Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en categorías abelianas generales ; ver Kernel (teoría de categorías) .

Homomorfismos de grupo

Deje G y H sean grupos y dejar que f sea un homomorfismo de grupos de G a H . Si e _H es el elemento identidad de H , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto singleton { e _H }; es decir, el subconjunto de G que consiste en todos los elementos de G que se asignan por f al elemento e _H . El kernel generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${\ Displaystyle \ ker f = \ {g \ en G: f (g) = e_ {H} \}.}$

Dado que un homomorfismo de grupo conserva elementos de identidad, el elemento de identidad e _G de G debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto singleton { e _G }. Esto es cierto porque si el homomorfismo f no es inyectivo, entonces existe con tal que . Esto significa que , lo que equivale a afirmar que dado que los homomorfismos de grupo llevan inversos en inversos y desde . En otras palabras, . Por el contrario, si existe un elemento y, a continuación , por lo que f no es inyectiva. ${\ Displaystyle a, b \ in G}$${\ Displaystyle a \ neq b}$${\ Displaystyle f (a) = f (b)}$${\ Displaystyle f (a) f (b) ^ {- 1} = e_ {H}}$${\ Displaystyle f (ab ^ {- 1}) = e_ {H}}$${\ Displaystyle f (a) f (b ^ {- 1}) = f (ab ^ {- 1})}$${\ Displaystyle ab ^ {- 1} \ in \ ker f}$${\ Displaystyle g \ neq e_ {G} \ in \ ker f}$${\ Displaystyle f (g) = f (e_ {G}) = e_ {H}}$

Resulta que ker f no es solo un subgrupo de G, sino que de hecho es un subgrupo normal . Por tanto, tiene sentido hablar del grupo de cocientes G / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para grupos establece que este grupo cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un subgrupo de H ).

En el caso especial de los grupos abelianos , esto funciona exactamente de la misma manera que en la sección anterior.

Ejemplo

Sea G el grupo cíclico en 6 elementos {0,1,2,3,4,5} con adición modular , H sea ​​el cíclico en 2 elementos {0,1} con adición modular, yf el homomorfismo que mapea cada elemento g en g al elemento de g módulo 2 en H . Entonces ker f = {0, 2, 4}, ya que todos estos elementos se asignan a 0 _H . El grupo de cocientes G / (ker f ) tiene dos elementos: {0,2,4} y {1,3,5}. De hecho, es isomorfo a H .

Homomorfismos de anillo

Estructura algebraica → Teoría del anillo Teoría del anillo
Conceptos básicos Anillos • Subanillos • Ideal • Anillo de cociente • Ideal fraccional • Anillo de cociente total • Anillo de producto • Producto gratuito de álgebras asociativas • Producto tensor de anillos Homomorfismos de anillo • Kernel • Automorfismo interno • Endomorfismo de Frobenius Estructuras algebraicas • Módulo • Álgebra asociativa • Anillo graduado • Anillo involutivo • Categoría de anillos • Timbre inicial ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Anillo terminal ${\ Displaystyle 0 = \ mathbb {Z} _ {1}}$ Estructuras relacionadas • Campo • Campo finito • Anillo no asociativo • Anillo de mentira • Anillo de Jordan • Semiring • Semicampo
Álgebra conmutativa Anillos conmutativos • Dominio integral • Dominio integralmente cerrado • Dominio GCD • Dominio de factorización único • Dominio ideal principal • Dominio euclidiano • Campo • Campo finito • Anillo de composición • Anillo polinomial • Anillo formal de la serie power Teoría algebraica de números • Campo numérico algebraico • Anillo de números enteros • Independencia algebraica • Teoría de números trascendental • Grado de trascendencia p - teoría de números ádicos y decimales • Límite directo / límite inverso • Anillo cero ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {1}}$ • Enteros módulo p n ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ • Prüfer p -ring ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} (p ^ {\ infty})}$ • Base - anillo circular p ${\ Displaystyle \ mathbb {T}}$ • Base - p enteros ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ • Racionales p -ádicos ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} [1 / p]}$ • Base - p números reales ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ • p -enteros ádicos ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ • p -números ádicos ${\ Displaystyle \ mathbb {Q} _ {p}}$ • solenoide p -ádico ${\ Displaystyle \ mathbb {T} _ {p}}$ Geometría algebraica • Variedad afín
Álgebra no conmutativa Anillos no conmutativos • Anillo de división • Anillo semiprimitivo • Anillo simple • Conmutador Geometría algebraica no conmutativa Álgebra libre Álgebra de Clifford • Álgebra geométrica Álgebra de operadores
v t mi

Deje R y S sean anillos (asumido unital ) y dejar que f sea un homomorfismo de anillo de R a S . Si 0 _S es el elemento cero de S , entonces el núcleo de f es su núcleo como mapa lineal sobre los enteros o, de manera equivalente, como grupos aditivos. Es la imagen inversa de la cero ideales {0 _S }, que es, el subconjunto de R que consiste en todos aquellos elementos de R que se asignan por f al elemento 0 _S . El kernel generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${\ Displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {r \ in R: f (r) = 0_ {S} \} {\ mbox {.}}}$

Dado que un homomorfismo de anillo conserva elementos cero, el elemento cero 0 _R de R debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto singleton {0 _R }. Este es siempre el caso si R es un campo y S no es el anillo cero .

Desde ker f contiene la identidad multiplicativa sólo cuando S es el anillo de cero, resulta que el núcleo generalmente no es un subanillo de R. El núcleo es un sub rng , y, más precisamente, una de dos caras ideales de R . Por tanto, tiene sentido hablar del anillo cociente R / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para anillos establece que este anillo cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un subanillo de S ). (tenga en cuenta que los anillos no necesitan ser unitarios para la definición del núcleo).

Hasta cierto punto, esto se puede considerar como un caso especial de la situación de los módulos, ya que estos son todos bimódulos sobre un anillo R :

• R en sí mismo;
• cualquier ideal bilateral de R (como ker f );
• cualquier anillo cociente de R (como R / (ker f )); y
• el codominio de cualquier homomorfismo de anillo cuyo dominio es R (tal como S , el codominio de f ).

Sin embargo, el teorema del isomorfismo da un resultado más fuerte, porque los isomorfismos de anillo preservan la multiplicación, mientras que los isomorfismos de módulo (incluso entre anillos) en general no lo hacen.

Este ejemplo captura la esencia de los núcleos en álgebras generales de Mal'cev .

Homomorfismos monoides

Deje que M y N sean monoides y dejar que f sea un homomorfismo monoid de M a N . A continuación, el kernel de f es el subconjunto de la producto directo M × M que consta de todos esos pares ordenados de elementos de M cuyas componentes son tanto mapeado por f para el mismo elemento en N . El kernel generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${\ Displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {(m, m ') \ in M ​​\ times M: f (m) = f (m') \} {\ mbox {.}}}$

Dado que f es una función , los elementos de la forma ( m , m ) deben pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto diagonal {(m, m): m en M }.

Resulta que ker f es una relación de equivalencia en M y, de hecho, una relación de congruencia . Por tanto, tiene sentido hablar del cociente monoide M / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para monoides establece que este cociente monoide es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es un submonoide de N ), (para la relación de congruencia).

Esto es muy diferente en sabor a los ejemplos anteriores. En particular, la preimagen del elemento de identidad de N no es suficiente para determinar el núcleo de f .

Álgebra universal

Todos los casos anteriores pueden unificarse y generalizarse en álgebra universal .

Caso general

Permiten una y B sean estructuras algebraicas de un tipo determinado y dejar que f sea un homomorfismo de ese tipo de un a B . A continuación, el kernel de f es el subconjunto de la producto directo A × A que consta de todos esos pares ordenados de elementos de A cuyos componentes son tanto mapeado por f para el mismo elemento en B . El kernel generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${\ Displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {(a, a ') \ in A \ times A: f (a) = f (a') \} {\ mbox {.}}}$

Dado que f es una función , los elementos de la forma ( a , a ) deben pertenecer al núcleo.

El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es exactamente el conjunto diagonal {( a , a ): a ∈ A }.

Es fácil ver que ker f es una relación de equivalencia en A y, de hecho, una relación de congruencia . Por tanto, tiene sentido hablar del álgebra cociente A / (ker f ). El primer teorema del isomorfismo en el álgebra universal general establece que este álgebra cociente es naturalmente isomorfo a la imagen de f (que es una subálgebra de B ).

Tenga en cuenta que la definición de kernel aquí (como en el ejemplo de monoide) no depende de la estructura algebraica; es un concepto puramente teórico establecido . Para obtener más información sobre este concepto general, fuera del álgebra abstracta, consulte el núcleo de una función .

Álgebras de Malcev

En el caso de las álgebras de Malcev, esta construcción se puede simplificar. Cada álgebra de Malcev tiene un elemento neutro especial (el vector cero en el caso de espacios vectoriales , el elemento identidad en el caso de grupos conmutativos y el elemento cero en el caso de anillos o módulos). El rasgo característico de un álgebra de Malcev es que podemos recuperar toda la relación de equivalencia ker f de la clase de equivalencia del elemento neutro.

Para ser específicos, permiten A y B sean Malcev estructuras algebraicas de un tipo dado y dejar que f sea un homomorfismo de ese tipo de A a B . Si e _B es el elemento neutral de B , entonces el núcleo de f es la preimagen del conjunto singleton { e _B }; es decir, el subconjunto de A que consiste en todos los elementos de A que se asignan por f al elemento e _B . El kernel generalmente se denota ker f (o una variación). En símbolos:

${\ Displaystyle \ operatorname {ker} f = \ {a \ in A: f (a) = e_ {B} \} {\ mbox {.}}}$

Dado que un homomorfismo de álgebra de Malcev conserva elementos neutros, el elemento de identidad e _A de A debe pertenecer al núcleo. El homomorfismo f es inyectivo si y solo si su núcleo es solo el conjunto singleton { e _A }.

La noción de ideal se generaliza a cualquier álgebra de Malcev (como subespacio lineal en el caso de espacios vectoriales, subgrupo normal en el caso de grupos, ideales bilaterales en el caso de anillos y submódulo en el caso de módulos ). Resulta que ker f no es una subálgebra de A , pero es un ideal. Entonces tiene sentido hablar del álgebra cociente G / (ker f ). El primer teorema de isomorfismo para las álgebras de Malcev establece que este álgebra cociente es naturalmente isomórfica a la imagen de f (que es una subálgebra de B ).

La conexión entre esto y la relación de congruencia para tipos más generales de álgebras es la siguiente. Primero, el kernel-as-an-ideal es la clase de equivalencia del elemento neutral e _A bajo el kernel-as-a-congruence. Para la dirección inversa, necesitamos la noción de cociente en el álgebra de Mal'cev (que es división en cualquier lado para grupos y resta para espacios vectoriales, módulos y anillos). El uso de este, los elementos de una y b de A son equivalentes bajo el kernel-as-a-congruencia si y sólo si su cociente de un / b es un elemento del kernel-como-an-ideal.

Álgebras con estructura no algebraica

A veces, las álgebras están equipadas con una estructura no algebraica además de sus operaciones algebraicas. Por ejemplo, se pueden considerar grupos topológicos o espacios vectoriales topológicos , que están equipados con una topología . En este caso, esperaríamos que el homomorfismo f preservara esta estructura adicional; en los ejemplos topológicos, querríamos que f fuera un mapa continuo . El proceso puede encontrarse con un problema con las álgebras del cociente, que pueden no comportarse bien. En los ejemplos topológicos, podemos evitar problemas al requerir que las estructuras algebraicas topológicas sean de Hausdorff (como se hace habitualmente); entonces el kernel (sin importar cómo esté construido) será un conjunto cerrado y el espacio del cociente funcionará bien (y también será Hausdorff).

Núcleos en la teoría de categorías

La noción de núcleo en la teoría de categorías es una generalización de los núcleos de las álgebras abelianas; ver Kernel (teoría de categorías) . La generalización categórica del núcleo como una relación de congruencia es el par de núcleos . (También existe la noción de kernel de diferencia o ecualizador binario ).

Ver también

• Kernel (álgebra lineal)
• Puesta a cero

Notas

Referencias

• Dummit, David S .; Foote, Richard M. (2004). Álgebra abstracta (3ª ed.). Wiley . ISBN   0-471-43334-9 .

• Lang, Serge (2002). Álgebra . Textos de Posgrado en Matemáticas . Springer . ISBN   0-387-95385-X .