Álgebra sobre un campo - Algebra over a field

En matemáticas , un álgebra sobre un campo (a menudo llamado simplemente álgebra ) es un espacio vectorial equipado con un producto bilineal . Así, un álgebra es una estructura algebraica que consta de un conjunto junto con operaciones de multiplicación y suma y multiplicación escalar por elementos de un campo y que satisface los axiomas implicados por "espacio vectorial" y "bilineal".

La operación de multiplicación en un álgebra puede ser asociativa o no , lo que lleva a las nociones de álgebras asociativas y álgebras no asociativas . Dado un número entero n , el anillo de matrices cuadradas reales de orden n es un ejemplo de un álgebra asociativa sobre el campo de números reales bajo la suma de matrices y la multiplicación de matrices, ya que la multiplicación de matrices es asociativa. El espacio euclidiano tridimensional con multiplicación dada por el producto cruzado vectorial es un ejemplo de un álgebra no asociativa sobre el campo de los números reales, ya que el producto cruzado vectorial no es asociativo, satisfaciendo la identidad de Jacobi .

Un álgebra es unital o unitaria si tiene un elemento de identidad con respecto a la multiplicación. El anillo de matrices cuadradas reales de orden n forma un álgebra unital ya que la matriz identidad de orden n es el elemento identidad con respecto a la multiplicación de matrices. Es un ejemplo de un álgebra asociativa unital, un anillo (unital) que también es un espacio vectorial.

Muchos autores usan el término álgebra para referirse a álgebra asociativa , o álgebra asociativa unital , o en algunas materias como geometría algebraica , álgebra conmutativa asociativa unital .

Reemplazar el campo de escalares por un anillo conmutativo conduce a la noción más general de un álgebra sobre un anillo . Las álgebras no deben confundirse con espacios vectoriales equipados con una forma bilineal , como los espacios interiores de productos , ya que, para tal espacio, el resultado de un producto no está en el espacio, sino en el campo de los coeficientes.

Definición y motivación

Ejemplos motivadores

Álgebra espacio vectorial operador bilineal asociatividad conmutatividad
números complejos producto de números complejos
producto cruzado de vectores 3D producto cruzado
No No ( anticomutativo )
cuaterniones Producto de Hamilton
No

Definición

Deje que K sea un campo, y dejar que A sea un espacio vectorial sobre K equipado con un adicional de operación binaria de A × A a A , que se denota aquí por · (es decir, si x y y son dos elementos de A , entonces x · y es un elemento de A que se llama el producto de x y y ). Entonces A es un álgebra sobre K si las siguientes identidades se mantienen para todos los elementos x , y , z en A , y todos los elementos (a menudo llamadas escalares ) un y b en K :

  • Distributividad derecha : ( x + y ) · z = x · z + y · z
  • Distributividad izquierda: z · ( x + y ) = z · x + z · y
  • Compatibilidad con escalares: ( ax ) · ( by ) = ( ab ) ( x · y ) .

Estos tres axiomas son otra forma de decir que la operación binaria es bilineal . Un álgebra sobre K es a veces también llamado un K -algebra , y K es llamado el campo de base de A . La operación binaria se refiere a menudo como la multiplicación en A . La convención adoptada en este artículo es que la multiplicación de elementos de un álgebra no es necesariamente asociativa , aunque algunos autores usan el término álgebra para referirse a un álgebra asociativa .

Cuando una operación binaria en un espacio vectorial es conmutativa , la distributividad izquierda y la distributividad derecha son equivalentes y, en este caso, solo una distributividad requiere una prueba. En general, para operaciones no conmutativas, la distributividad izquierda y la distributividad derecha no son equivalentes y requieren pruebas separadas.

Conceptos básicos

Homomorfismos de álgebra

Dado K -álgebras A y B , un K -algebra homomorfismo es un K - mapa lineal f : AB tal que f ( xy ) = f ( x ) f ( y ) para todo x , y en A . El espacio de todos los homomorfismos de álgebra K entre A y B se escribe con frecuencia como

Un isomorfismo de K- álgebra es un homomorfismo biyectivo de K- álgebra. Para todos los propósitos prácticos, las álgebras isomórficas difieren solo por la notación.

Subálgebras e ideales

Una subálgebra de un álgebra sobre un campo K es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que el producto de dos de sus elementos está nuevamente en el subespacio. En otras palabras, una subálgebra de un álgebra es un subconjunto no vacío de elementos que se cierra bajo suma, multiplicación y multiplicación escalar. En símbolos, se dice que un subconjunto L de un K -álgebra A es una subálgebra si para cada x , y en L y C en K , se tiene que x · Y , x + y , y cx están todos en L .

En el ejemplo anterior de los números complejos vistos como un álgebra bidimensional sobre los números reales, la línea real unidimensional es una subálgebra.

Un ideal izquierdo de un álgebra K es un subespacio lineal que tiene la propiedad de que cualquier elemento del subespacio multiplicado a la izquierda por cualquier elemento del álgebra produce un elemento del subespacio. En símbolos, se dice que un subconjunto L de un K -álgebra A es un ideal a izquierda si para cada x e y en L , Z en A y C en K , tenemos los siguientes tres estados.

  1. x + y está en L ( L está cerrado bajo adición),
  2. cx está en L ( L está cerrado bajo multiplicación escalar),
  3. z · x está en L ( L se cierra bajo la multiplicación izquierda por elementos arbitrarios).

Si (3) se reemplazara con x · z está en L , entonces esto definiría un ideal correcto . Un ideal de dos caras es un subconjunto que es tanto un ideal de izquierda como de derecha. El término ideal por sí solo se suele interpretar como un ideal de dos caras. Por supuesto, cuando el álgebra es conmutativa, todas estas nociones de ideal son equivalentes. Tenga en cuenta que las condiciones (1) y (2) juntos son equivalentes a L ser un subespacio lineal de A . De la condición (3) se deduce que todo ideal de izquierda o derecha es una subálgebra.

Es importante notar que esta definición es diferente de la definición de un ideal de un anillo , en que aquí requerimos la condición (2). Por supuesto, si el álgebra es unital, entonces la condición (3) implica la condición (2).

Extensión de escalares

Si tenemos una extensión de terreno de F / K , es decir, un campo grande F que contiene K , entonces no es una forma natural para construir un álgebra sobre F desde cualquier álgebra sobre K . Es la misma construcción que se usa para hacer un espacio vectorial sobre un campo más grande, es decir, el producto tensorial . Así que si A es un álgebra sobre K , entonces es un álgebra sobre F .

Clases de álgebras y ejemplos

Las álgebras sobre campos vienen en muchos tipos diferentes. Estos tipos se especifican insistiendo en algunos axiomas adicionales, como la conmutatividad o la asociatividad de la operación de multiplicación, que no se requieren en la definición amplia de un álgebra. Las teorías correspondientes a los diferentes tipos de álgebras suelen ser muy diferentes.

Álgebra unital

Un álgebra es unital o unitaria si tiene una unidad o elemento de identidad I con Ix = x = xI para todo x en el álgebra.

Álgebra cero

Un álgebra se llama álgebra cero si uv = 0 para todo u , v en el álgebra, no debe confundirse con el álgebra con un elemento. Es inherentemente no unital (excepto en el caso de un solo elemento), asociativo y conmutativo.

Se puede definir un álgebra cero unital tomando la suma directa de los módulos de un campo (o más generalmente un anillo) K y un K -espacio vectorial (o módulo) V , y definiendo el producto de cada par de elementos de V como cero. Es decir, si λ , μK y u , vV , entonces ( λ + u ) ( μ + v ) = λμ + ( λv + μu ) . Si e 1 , ... e d es una base de V , el álgebra de cero unital es el cociente del anillo polinomial K [ E 1 , ..., E n ] por el ideal generado por E i E j para cada par ( i , j ) .

Un ejemplo de álgebra del cero unital es el álgebra de números duales , el álgebra R del cero unital construida a partir de un espacio vectorial real unidimensional.

Estas álgebras de ceros unitales pueden ser de utilidad más general, ya que permiten traducir cualquier propiedad general de las álgebras a propiedades de espacios vectoriales o módulos . Por ejemplo, la teoría de las bases de Gröbner fue introducida por Bruno Buchberger para ideales en un anillo polinomial R = K [ x 1 , ..., x n ] sobre un campo. La construcción del álgebra cero unital sobre un módulo R libre permite extender esta teoría como teoría de base de Gröbner para submódulos de un módulo libre. Esta extensión permite, para calcular una base de Gröbner de un submódulo, utilizar, sin ninguna modificación, cualquier algoritmo y cualquier software para calcular las bases de ideales de Gröbner.

Álgebra asociativa

Ejemplos de álgebras asociativas incluyen

Álgebra no asociativa

Un álgebra no asociativa (o álgebra distributiva ) sobre un campo K es un K -vector espacio A equipado con un K - mapa bilineal . El uso de "no asociativo" aquí pretende transmitir que la asociatividad no se asume, pero no significa que esté prohibida, es decir, significa "no necesariamente asociativo".

Los ejemplos detallados en el artículo principal incluyen:

Álgebras y anillos

La definición de un álgebra K asociativa con unidad también se da con frecuencia de forma alternativa. En este caso, un álgebra sobre un campo K es un anillo A junto con un homomorfismo de anillo

donde Z ( A ) es el centro de A . Dado que η es un homomorfismo de anillo, entonces uno debe tener que A es el anillo cero o que η es inyectivo . Esta definición es equivalente a la anterior, con multiplicación escalar

dada por

Dados dos de tales K -álgebras unitales asociativas A y B , un homomorfismo unital de K -álgebra f : AB es un homomorfismo de anillo que conmuta con la multiplicación escalar definida por η , que se puede escribir como

para todos y . En otras palabras, el siguiente diagrama conmuta:

Coeficientes de estructura

Para álgebra de más de un campo, la multiplicación bilineal de A × A a A está completamente determinada por la multiplicación de base elementos de A . Por el contrario, una vez que se ha elegido una base para A , los productos de los elementos básicos pueden establecerse arbitrariamente y luego extenderse de manera única a un operador bilineal en A , es decir, para que la multiplicación resultante satisfaga las leyes del álgebra.

Así, dado el campo K , cualquier álgebra de dimensión finita puede especificarse hasta el isomorfismo dando su dimensión (digamos n ) y especificando n 3 coeficientes de estructura c i , j , k , que son escalares . Estos coeficientes de estructura determinan la multiplicación en A mediante la siguiente regla:

donde e 1 , ..., e n formar una base de A .

Sin embargo, tenga en cuenta que varios conjuntos diferentes de coeficientes de estructura pueden dar lugar a álgebras isomórficas.

En física matemática , los coeficientes de estructura generalmente se escriben con índices superior e inferior, para distinguir sus propiedades de transformación bajo transformaciones de coordenadas. Específicamente, los índices más bajos son índices covariantes y se transforman a través de retrocesos , mientras que los índices superiores son contravariantes , transformándose bajo empuje hacia adelante . Por lo tanto, los coeficientes de estructura a menudo se escriben c i , j k , y su regla de definición se escribe usando la notación de Einstein como

e yo e j = c yo , j k e k .

Si aplica esto a los vectores escritos en notación de índice , entonces esto se convierte en

( xy ) k = do yo , j k x yo y j .

Si K es solamente un anillo conmutativo y no un campo, entonces el mismo proceso funciona si A es un módulo libre sobre K . Si no es así, entonces la multiplicación todavía está completamente determinada por su acción en un conjunto que abarca A ; sin embargo, las constantes de estructura no se pueden especificar arbitrariamente en este caso, y conocer solo las constantes de estructura no especifica el álgebra hasta el isomorfismo.

Clasificación de álgebras asociativas unitales de baja dimensión sobre los números complejos

Las álgebras asociativas unitales bidimensionales, tridimensionales y tetradimensionales sobre el campo de los números complejos fueron completamente clasificadas hasta el isomorfismo por Eduard Study .

Existen dos álgebras bidimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales (con coeficientes complejos) de dos elementos básicos, 1 (el elemento de identidad) y a . Según la definición de elemento de identidad,

Queda por especificar

  para el primer álgebra,
  para el segundo álgebra.

Existen cinco álgebras tridimensionales de este tipo. Cada álgebra consta de combinaciones lineales de tres elementos de la base, 1 (el elemento de identidad), una y b . Teniendo en cuenta la definición de elemento de identidad, es suficiente especificar

  para el primer álgebra,
  para el segundo álgebra,
  para el tercer álgebra,
  para el cuarto álgebra,
  para el quinto álgebra.

La cuarta de estas álgebras es no conmutativa y las otras son conmutativas.

Generalización: álgebra sobre un anillo

En algunas áreas de las matemáticas, como el álgebra conmutativa , es común considerar el concepto más general de un álgebra sobre un anillo , en donde un anillo conmutativo unital R reemplaza el campo K . La única parte de la definición que cambia es que se supone que A es un módulo R (en lugar de un espacio vectorial sobre K ).

Álgebras asociativas sobre anillos

Un anillo A es siempre un álgebra asociativa sobre su centro y sobre los enteros . Un ejemplo clásico de un álgebra sobre su centro, es el álgebra de biquaternion dividido , que es isomorfa a , el producto directo de dos álgebras de quaternion . El centro de ese anillo es , y por lo tanto tiene la estructura de un álgebra sobre su centro, que no es un campo. Tenga en cuenta que el álgebra de biquaternion dividido también es, naturalmente, un álgebra de 8 dimensiones .

En álgebra conmutativa, si A es un anillo conmutativo , entonces cualquier homomorfismo de anillo unital define una estructura de módulo R en A , y esto es lo que se conoce como estructura de álgebra R. Entonces, un anillo viene con una estructura de módulo natural , ya que uno puede tomar el homomorfismo único . Por otro lado, no a todos los anillos se les puede dar la estructura de un álgebra sobre un campo (por ejemplo, los enteros). Consulte Campo con un elemento para obtener una descripción de un intento de dar a cada anillo una estructura que se comporte como un álgebra sobre un campo.

Ver también

Notas

Referencias