Conjunto incontable - Uncountable set

En matemáticas , un conjunto incontable (o conjunto infinito incontable ) es un conjunto infinito que contiene demasiados elementos para ser contables . La no contabilización de un conjunto está estrechamente relacionada con su número cardinal : un conjunto es incontable si su número cardinal es mayor que el del conjunto de todos los números naturales .

Caracterizaciones

Hay muchas caracterizaciones equivalentes de incontables. Un conjunto X es incontable si y solo si se cumple alguna de las siguientes condiciones:

• No hay una función inyectiva (por lo tanto, no hay biyección ) de X al conjunto de números naturales.
• X no está vacío y por cada ω- secuencia de elementos de X , existe al menos un elemento de X no incluido en ella. Es decir, X es no vacío y no hay ninguna función sobreyectiva de los números naturales a X .
• La cardinalidad de X no es finita ni igual a ( aleph-null , la cardinalidad de los números naturales ).${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$
• El conjunto X tiene cardinalidad estrictamente mayor que .${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

Las tres primeras de estas caracterizaciones pueden probarse equivalentes en la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección , pero la equivalencia de la tercera y la cuarta no puede demostrarse sin principios de elección adicionales.

Propiedades

• Si un conjunto incontable X es un subconjunto del conjunto Y , entonces Y es incontable.

Ejemplos de

El ejemplo más conocido de un conjunto incontable es el conjunto R de todos los números reales ; El argumento diagonal de Cantor muestra que este conjunto es incontable. La técnica de prueba de diagonalización también se puede utilizar para mostrar que varios otros conjuntos son incontables, como el conjunto de todas las secuencias infinitas de números naturales y el conjunto de todos los subconjuntos del conjunto de números naturales. La cardinalidad de R a menudo se denomina cardinalidad del continuo y se denota por , o , o ( beth-one ). ${\ Displaystyle {\ mathfrak {c}}}$${\ Displaystyle 2 ^ {\ aleph _ {0}}}$${\ Displaystyle \ beth _ {1}}$

El conjunto de Cantor es un subconjunto incontable de R . El conjunto de Cantor es un fractal y tiene una dimensión de Hausdorff mayor que cero pero menor que uno ( R tiene dimensión uno). Este es un ejemplo del siguiente hecho: cualquier subconjunto de R de dimensión de Hausdorff estrictamente mayor que cero debe ser incontable.

Otro ejemplo de un conjunto incontable es el conjunto de todas las funciones de R a R . Este conjunto es incluso "más incontable" que R en el sentido de que la cardinalidad de este conjunto es ( beth-two ), que es mayor que . ${\ Displaystyle \ beth _ {2}}$${\ Displaystyle \ beth _ {1}}$

Un ejemplo más abstracto de un conjunto incontable es el conjunto de todos los números ordinales contables , denotados por Ω o ω ₁ . La cardinalidad de Ω se denota ( aleph-one ). Se puede demostrar, usando el axioma de elección , que es el número cardinal incontable más pequeño . Por lo tanto , la cardinalidad de los reales es igual o estrictamente mayor. Georg Cantor fue el primero en proponer la cuestión de si es igual a . En 1900, David Hilbert planteó esta pregunta como el primero de sus 23 problemas . El enunciado que ahora se llama hipótesis del continuo y se sabe que es independiente de los axiomas de Zermelo-Fraenkel para la teoría de conjuntos (incluido el axioma de elección ). ${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ beth _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ beth _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {1}}$${\ Displaystyle \ aleph _ {1} = \ beth _ {1}}$

Sin el axioma de la elección

Sin el axioma de elección , podrían existir cardinalidades incomparables a (es decir, las cardinalidades de Dedekind-conjuntos infinitos finitos ). Los conjuntos de estas cardinalidades satisfacen las tres primeras caracterizaciones anteriores, pero no la cuarta caracterización. Dado que estos conjuntos no son más grandes que los números naturales en el sentido de cardinalidad, es posible que algunos no quieran llamarlos incontables. ${\ Displaystyle \ aleph _ {0}}$

Si se cumple el axioma de elección, las siguientes condiciones en un cardinal son equivalentes: ${\ Displaystyle \ kappa}$

• ${\ Displaystyle \ kappa \ nleq \ aleph _ {0};}$
• ${\ Displaystyle \ kappa> \ aleph _ {0};}$ y
• ${\ Displaystyle \ kappa \ geq \ aleph _ {1}}$, donde y es el ordinal inicial menor mayor que${\ Displaystyle \ aleph _ {1} = | \ omega _ {1} |}$${\ Displaystyle \ omega _ {1}}$${\ Displaystyle \ omega.}$

Sin embargo, todos estos pueden ser diferentes si falla el axioma de elección. Por lo tanto, no es obvio cuál es la generalización apropiada de "incontables" cuando falla el axioma. Puede ser mejor evitar el uso de la palabra en este caso y especificar cuál de estos significa.

Ver también

• Número de Aleph
• Beth número
• Primer ordinal incontable
• Función inyectiva

Referencias

Bibliografía

• Halmos, Paul , Teoría de conjuntos ingenua . Princeton, Nueva Jersey: D. Van Nostrand Company, 1960. Reimpreso por Springer-Verlag, Nueva York, 1974. ISBN  0-387-90092-6 (edición Springer-Verlag). Reimpreso por Martino Fine Books, 2011. ISBN  978-1-61427-131-4 (edición de bolsillo).
• Jech, Thomas (2002), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (tercera edición del milenio), Springer, ISBN 3-540-44085-2

enlaces externos

• Prueba de que R es incontable