Valor absoluto - Absolute value


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El gráfico de la función de valor absoluto para los números reales
El valor absoluto de un número puede ser pensado como su distancia de cero.

En matemáticas , el valor absoluto o el módulo | x | de un número real  x es el no negativo valor de  x sin tener en cuenta su signo . Es decir, | x | = X para unos positivos  x , | x | = - x por unos negativos  x (en cuyo caso - x es positivo), y | 0 | = 0 . Por ejemplo, el valor absoluto de 3 es 3, y el valor absoluto de -3 también es 3. El valor absoluto de un número puede ser pensado como su distancia de cero.

Generalizaciones del valor absoluto de números reales se producen en una amplia variedad de entornos matemáticos. Por ejemplo, un valor absoluto también se define por los números complejos , los cuaterniones , anillos ordenados , campos y espacios vectoriales . El valor absoluto está estrechamente relacionado con las nociones de magnitud , distancia , y norma en varios contextos matemáticos y físicos.

La terminología y la notación

En 1806, Jean-Robert Argand introdujo el término módulo , es decir, la unidad de medida en francés, específicamente para el complejo de valor absoluto, y fue tomado en Inglés en 1866 como el equivalente latino módulo . El término valor absoluto se ha utilizado en este sentido desde al menos 1806 en francés y en 1857 en Inglés. La notación | x | , Con una barra vertical en cada lado, fue presentado por Karl Weierstrass en 1841. Otros nombres para valor absoluto incluir valor numérico y magnitud . En los lenguajes de programación y paquetes de software de cálculo, el valor absoluto de x se representa generalmente por abs ( x ), o una expresión similar.

La notación barra vertical también aparece en un número de otros contextos matemáticos: por ejemplo, cuando se aplica a un conjunto, que denota su cardinalidad ; cuando se aplica a una matriz , denota su determinante . Las barras verticales indican el valor absoluto sólo para objetos algebraicos para la que se define la noción de un valor absoluto, en particular un elemento de un álgebra de división normada como un número real, número complejo, cuaternión. A estrechamente relacionados pero notación distinta es el uso de barras verticales, ya sea para la norma euclidiana o norma sup de un vector en , aunque barras verticales dobles con subíndices ( y , respectivamente) son una notación más común y menos ambiguo.

Definición y propiedades

Numeros reales

Para cualquier número real  x , el valor absoluto o módulo de  x se denota por | x | (a barra vertical en cada lado de la cantidad) y se define como

El valor absoluto de  x es por lo tanto siempre sea positivo o cero , pero nunca negativo : cuando x en sí es negativo ( x <0 ), entonces su valor absoluto es necesariamente positivo ( | x | = - x > 0 ).

De una geometría analítica punto de vista, el valor absoluto de un número real es de ese número distancia de cero a lo largo de la línea de número real , y más en general el valor absoluto de la diferencia de dos números reales es la distancia entre ellos. De hecho, la noción de un resumen función de distancia en matemáticas puede ser visto como una generalización del valor absoluto de la diferencia (ver "Distancia" a continuación).

Desde el símbolo de raíz cuadrada representa el único positivo raíz cuadrada (cuando se aplica a un número positivo), se deduce que

es equivalente a la definición anterior, y se puede utilizar como una definición alternativa del valor absoluto de números reales.

El valor absoluto tiene las cuatro propiedades fundamentales siguientes ( un , b son números reales), que se utilizan para la generalización de este concepto a otros dominios:

No negatividad
Positivo-definitud
multiplicatividad
Subaditividad , específicamente la desigualdad triangular

No negatividad, definitud positivo, y multiplicabilidad son fácilmente evidentes a partir de la definición. Para ver que subaditividad sostiene, en primer lugar señalar que una de las dos alternativas de tomar s , ya sea como -1 o +1 garantiza que ahora, ya que y , se deduce que, cualquiera que sea el valor de s , se tiene para todos los reales . En consecuencia, según se desee. (Para una generalización de este argumento a los números complejos, consulte "Prueba de la desigualdad triangular para los números complejos" a continuación).

Algunas propiedades útiles adicionales se dan a continuación. Estos son o consecuencias inmediatas de la definición o implícitos en las cuatro propiedades fundamentales anteriores.

Idempotencia (el valor absoluto del valor absoluto es el valor absoluto)
Uniformidad ( reflexión simetría de la gráfica)
La identidad de los indiscernibles (equivalente a positivo-definitud)
Desigualdad triangular (equivalente a subaditividad)
(si ) Preservación de la división (equivalente a multiplicabilidad)
Desigualdad triangular inversa (equivalente a subaditividad)

Otras dos propiedades útiles en relación con las desigualdades son:

o

Estas relaciones pueden ser utilizados para resolver desigualdades de valores absolutos. Por ejemplo:

El valor absoluto, como "distancia de cero", se utiliza para definir la diferencia absoluta entre los números reales arbitrarios, el estándar métrica sobre los números reales.

Números complejos

El valor absoluto de un número complejo  es la distancia  de desde el origen. También se ve en la imagen que y su
complejo conjugado tiene el mismo valor absoluto. 

Puesto que los números complejos no están clasificadas , la definición dada en la parte superior para el valor absoluto real no se puede aplicar directamente a los números complejos. Sin embargo, la interpretación geométrica del valor absoluto de un número real como su distancia de 0 se puede generalizar. El valor absoluto de un número complejo está definida por la distancia euclídea de su punto correspondiente en el plano complejo de la origen . Esto puede ser calculada utilizando la teorema de Pitágoras : para cualquier número complejo

donde x y y son números reales, el valor absoluto o el módulo de  z se denota | z | y se define por

donde Re ( z ) = x y Im ( z ) = y denotan las partes real e imaginaria de z , respectivamente. Cuando la parte imaginaria y es cero, esto coincide con la definición del valor absoluto del número real  x .

Cuando un número complejo  z se expresa en su forma polar como

con (y theta ∈ arg ( z ) es el argumento (o fase) de z ), su valor absoluto es

.

Dado que el producto de cualquier número complejo  z y su complejo conjugado  con el mismo valor absoluto, es siempre el número real no negativo , el valor absoluto de un número complejo se puede expresar convenientemente como

se asemeja a la definición alternativa para los números reales:

El valor absoluto complejo comparte las cuatro propiedades fundamentales dados anteriormente para el valor absoluto real.

En el lenguaje de la teoría de grupos , la propiedad multiplicativa puede reformularse de la siguiente manera: el valor absoluto es un homomorfismo de grupo desde el grupo multiplicativo de los números complejos en el grupo bajo la multiplicación de números reales positivos .

Es importante destacar que la propiedad de subaditividad ( " desigualdad triangular ") se extiende a cualquier colección finita de n  complejos números como

Esta desigualdad también se aplica a infinitas familias , siempre que la serie infinita es absolutamente convergente . Si la integración de Lebesgue es vista como el análogo de la suma continua, a continuación, esta desigualdad es obedecida por análoga, de valor complejo funciones medibles cuando se integra en un subconjunto medible :

(Esto incluye Riemann integrables funciones más de un intervalo acotado como un caso especial).

Prueba del complejo desigualdad triangular

La desigualdad del triángulo, como se da por , se puede demostrar mediante la aplicación de tres propiedades fácilmente verificadas de los números complejos: A saber, para cada número complejo ,

(i): existe tal que y ;
(ii): .

Además, para una familia de números complejos , . En particular,

(iii): si , a continuación .

Prueba de : Elijatal quey(sumada sobre). El siguiente cálculo proporciona después la desigualdad deseada:

.

Se desprende de esta prueba de que se cumple la igualdad en exactamente si todo el son números reales no negativos, que a su vez se produce exactamente si todo distinto de cero tienen el mismo argumento , es decir, para una constante compleja y constantes reales para .

Desde medible implica que también se puede medir, la prueba de la desigualdad procede a través de la misma técnica, mediante la sustitución con y con .

Función valor absoluto

El gráfico de la función de valor absoluto para los números reales
Composición de valor absoluto con una función cúbica en diferentes órdenes

La función de valor absoluto real es continua en todas partes. Es diferenciable en todas partes excepto para x  = 0. Se disminuyendo monotónicamente en el intervalo (-∞, 0] y monótonamente creciente en el intervalo [0, + ∞) . Puesto que un número real y su opuesto tienen el mismo valor absoluto, es una función par , y no es por lo tanto invertible . La función de valor absoluto real es un lineal a trozos , función convexa .

Tanto las funciones reales y complejos son idempotente .

Relación con la función de signo

La función de valor absoluto de un número real devuelve su valor con independencia de su signo, mientras que la función de signo (o signum) devuelve el signo de un número, independientemente de su valor. Las siguientes ecuaciones muestran la relación entre estas dos funciones:

o

y para x ≠ 0 ,

Derivado

La función de valor absoluto real tiene un derivado para cada x ≠ 0 , pero no es diferenciable en x = 0 . Su derivado para x ≠ 0 está dado por la función de paso :

El subdiferencial de  | x | en  x = 0 es el intervalo  [-1,1] .

El complejo de la función valor absoluto es continuo en todas partes menos compleja diferenciable en ninguna parte porque viola las ecuaciones de Cauchy-Riemann .

La segunda derivada de  | x | con respecto a  x es cero en todas partes excepto cero, donde no existe. Como función generalizada , la segunda derivada se puede tomar como dos veces la función delta de Dirac .

antiderivada

La antiderivada (integral indefinida) de la función de valor absoluto real es

donde C es una arbitraria constante de integración . Esto no es una antiderivative complejo porque primitivas complejas sólo pueden existir para los complejos de diferenciable ( holomorfas funciones), que la función de valor absoluto complejo no lo es.

Distancia

El valor absoluto está estrechamente relacionado con la idea de la distancia. Como se señaló anteriormente, el valor absoluto de un número real o complejo es la distancia de ese número al origen, a lo largo de la línea de número real, para los números reales, o en el plano complejo, para los números complejos, y más generalmente, el valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos es la distancia entre ellos.

El estándar de distancia euclidiana entre dos puntos

y

en euclidiano n -espacio se define como:

Esto puede ser visto como una generalización, ya que para y real, es decir en un 1-espacio, de acuerdo con la definición alternativa del valor absoluto,

y para y números complejos, es decir, en un 2-espacio,

Lo anterior muestra que el -Distancia "valor absoluto", para los números reales y complejos, está de acuerdo con la distancia euclidiana estándar, que se heredan como un resultado de considerar como espacios euclídeos uno y de dos dimensiones, respectivamente.

Las propiedades del valor absoluto de la diferencia de dos números reales o complejos: no negatividad, la identidad de los indiscernibles, la simetría y el triángulo desigualdad dada anteriormente, se pueden ver para motivar la noción más general de una función de distancia como sigue:

Una función de valor real d en un conjunto X  ×  X se denomina métrica (o una función de distancia ) en  X , si satisface los siguientes cuatro axiomas:

No negatividad
La identidad de los indiscernibles
Simetría
Desigualdad triangular

generalizaciones

anillo ordenado

La definición de valor absoluto dado para números reales anteriores se puede extender a cualquier anillo ordenado . Esto es, si  una es un elemento de un anillo ordenado  R , entonces el valor absoluto de  una , denotado por | un | , Se define como:

donde - una es el inverso aditivo de  un , 0 es el aditivo elemento de identidad , y <y ≥ tienen el significado habitual con respecto a la ordenación en el anillo.

Campos

Las cuatro propiedades fundamentales del valor absoluto para los números reales se pueden utilizar para generalizar la noción de valor absoluto a un campo arbitrario, como sigue.

Una función de valor real  v en un campo  F se llama un valor absoluto (también un módulo , magnitud , valor , o valoración ) si satisface los siguientes cuatro axiomas:

No negatividad
Positivo-definitud
multiplicatividad
Subaditividad o la desigualdad triangular

Donde 0 denota la identidad aditiva elemento de  F . Se deduce de positivo-precisión y multiplicabilidad que v ( 1 ) = 1 , donde 1 indica la identidad multiplicativa elemento de  F . Los valores absolutos reales y complejos definidos anteriormente son ejemplos de valores absolutos para un campo arbitrario.

Si v es un valor absoluto en  F , entonces la función de  d en F  ×  F , definido por d ( un ,  b ) = v ( un - b ) , es una métrica y los siguientes son equivalentes:

  • d satisface la ultrametric desigualdad para todos x , y , z en  F .
  • está delimitada en  R .
  • para cada
  • para todos
  • para todos

Un valor absoluto que satisface cualquier (por lo tanto todas) de las condiciones anteriores se dice que es no de Arquímedes , de lo contrario, se dice que es de Arquímedes .

Los espacios vectoriales

Una vez más las propiedades fundamentales del valor absoluto para los números reales pueden ser utilizados, con una ligera modificación, para generalizar la noción de un espacio vector arbitrario.

Una función de valor real en un espacio vectorial  V sobre un campo  F , representado como ‖ · ‖ , se llama un valor absoluto , pero más usualmente una norma , si satisface los siguientes axiomas:

Para todos  un en  F , y v , u en  V ,

No negatividad
Positivo-definitud
Homogeneidad positiva o positiva escalabilidad
Subaditividad o la desigualdad triangular

La norma de un vector también se llama su longitud o magnitud .

En el caso de espacio euclídeo  R n , la función definida por

es una norma llamada la norma euclidiana . Cuando los números reales  R son considerados como el espacio unidimensional vector  R 1 , el valor absoluto es una norma , y es el p -norma (ver L p espacio ) para cualquier  p . De hecho, el valor absoluto es la "única" norma en R 1 , en el sentido de que, para cada norma ‖ · ‖ en  R 1 , x ‖ = ‖1‖ ⋅ | x | . El valor absoluto complejo es un caso especial de la norma en un espacio de producto interior . Es idéntica a la norma euclidiana, si el plano complejo se identifica con el plano euclidiano  R 2 .

álgebras de composición

Cada composición álgebra A tiene una involución xx * llamado su conjugación . El producto en A de un elemento x y su conjugado x * está escrito N ( x ) = xx * y llamó a la norma de x .

El verdadero números ℝ, números complejos ℂ, y cuaterniones ℍ son todas las álgebras de composición con normas dadas por las formas cuadráticas definidas . El valor absoluto en estas álgebras de división está dada por la raíz cuadrada de la norma composición álgebra.

En general la norma de un álgebra de composición puede ser una forma cuadrática que no es definitiva y tiene vectores nulos . Sin embargo, como en el caso de álgebra de división, cuando un elemento x tiene una norma no es cero, entonces x tiene un inverso multiplicativo dada por x * / N ( x ).

notas

referencias

enlaces externos