Espacio (matemáticas) - Space (mathematics)

En matemáticas , un espacio es un conjunto (a veces llamado universo ) con alguna estructura agregada .

Mientras que las matemáticas modernas utilizan muchos tipos de espacios, como espacios euclídeos , espacios lineales , espacios topológicos , espacios de Hilbert , o espacios de probabilidad , que no define la noción de "espacio" en sí.

Un espacio consta de objetos matemáticos seleccionados que se tratan como puntos y relaciones seleccionadas entre estos puntos. La naturaleza de los puntos puede variar ampliamente: por ejemplo, los puntos pueden ser elementos de un conjunto, funciones en otro espacio o subespacios de otro espacio. Son las relaciones las que definen la naturaleza del espacio. Más precisamente, los espacios isomorfos se consideran idénticos, donde un isomorfismo entre dos espacios es una correspondencia uno a uno entre sus puntos que preserva las relaciones. Por ejemplo, las relaciones entre los puntos de un espacio euclidiano tridimensional están determinadas únicamente por los axiomas de Euclides, y todos los espacios euclidianos tridimensionales se consideran idénticos.

Las nociones topológicas como la continuidad tienen definiciones naturales en cada espacio euclidiano. Sin embargo, la topología no distingue las líneas rectas de las curvas, por lo que la relación entre los espacios euclidianos y topológicos es "olvidadiza". Las relaciones de este tipo se tratan con más detalle en la sección "Tipos de espacios" .

No siempre está claro si un objeto matemático dado debe considerarse como un "espacio" geométrico o una "estructura" algebraica. Una definición general de "estructura", propuesta por Bourbaki , abarca todos los tipos comunes de espacios, proporciona una definición general de isomorfismo y justifica la transferencia de propiedades entre estructuras isomorfas.

Historia

Cuadro 1 | Desarrollo histórico de conceptos matemáticos

Clásico	Moderno
Los axiomas son implicaciones obvias de las definiciones.	los axiomas son convencionales
los teoremas son verdad objetiva absoluta	Los teoremas son implicaciones de los axiomas correspondientes.
las relaciones entre puntos, líneas, etc.están determinadas por su naturaleza	las relaciones entre puntos, líneas, etc. son esenciales; su naturaleza no es
los objetos matemáticos nos son dados con su estructura	cada teoría matemática describe sus objetos por algunas de sus propiedades
la geometría corresponde a una realidad experimental	la geometría es una verdad matemática
todas las propiedades geométricas del espacio se siguen de los axiomas	los axiomas de un espacio no necesitan determinar todas las propiedades geométricas
la geometría es una ciencia viva y autónoma	la geometría clásica es un lenguaje universal de las matemáticas
el espacio es tridimensional	diferentes conceptos de dimensión se aplican a diferentes tipos de espacios
el espacio es el universo de la geometría	Los espacios son solo estructuras matemáticas, ocurren en varias ramas de las matemáticas.

Antes de la edad de oro de la geometría

En la antigua matemática griega, el "espacio" era una abstracción geométrica de la realidad tridimensional observada en la vida cotidiana. Aproximadamente en el año 300 a. C., Euclides dio axiomas para las propiedades del espacio. Euclid construyó todas las matemáticas sobre estos fundamentos geométricos, yendo tan lejos como para definir números comparando las longitudes de los segmentos de línea con la longitud de un segmento de referencia elegido.

El método de las coordenadas ( geometría analítica ) fue adoptado por René Descartes en 1637. En ese momento, los teoremas geométricos eran tratados como verdades objetivas absolutas cognoscibles a través de la intuición y la razón, similares a los objetos de las ciencias naturales; y los axiomas se trataron como implicaciones obvias de las definiciones.

Se utilizaron dos relaciones de equivalencia entre figuras geométricas: congruencia y semejanza . Las traslaciones, rotaciones y reflexiones transforman una figura en figuras congruentes; homotheties - en figuras similares. Por ejemplo, todos los círculos son similares entre sí, pero las elipses no son similares a los círculos. Una tercera relación de equivalencia, introducida por Gaspard Monge en 1795, se da en la geometría proyectiva : no sólo las elipses, sino también las parábolas e hipérbolas, se convierten en círculos bajo transformaciones proyectivas apropiadas; todas son figuras proyectivamente equivalentes.

La relación entre las dos geometrías, euclidiana y proyectiva, muestra que los objetos matemáticos no se nos dan con su estructura . Más bien, cada teoría matemática describe sus objetos por algunas de sus propiedades, precisamente aquellas que se ponen como axiomas en los fundamentos de la teoría.

Las distancias y los ángulos no pueden aparecer en los teoremas de la geometría proyectiva, ya que estas nociones no se mencionan en los axiomas de la geometría proyectiva ni se definen a partir de las nociones allí mencionadas. La pregunta "cuál es la suma de los tres ángulos de un triángulo" tiene sentido en la geometría euclidiana, pero carece de sentido en la geometría proyectiva.

Una situación diferente apareció en el siglo XIX: en algunas geometrías la suma de los tres ángulos de un triángulo está bien definida pero es diferente del valor clásico (180 grados). La geometría hiperbólica no euclidiana , introducida por Nikolai Lobachevsky en 1829 y János Bolyai en 1832 (y Carl Friedrich Gauss en 1816, inédito) afirmó que la suma depende del triángulo y siempre es menor de 180 grados. Eugenio Beltrami en 1868 y Felix Klein en 1871 obtuvieron "modelos" euclidianos de la geometría hiperbólica no euclidiana y, por lo tanto, justificaron completamente esta teoría como una posibilidad lógica.

Este descubrimiento obligó al abandono de las pretensiones de la verdad absoluta de la geometría euclidiana. Demostró que los axiomas no son "obvios" ni "implicaciones de definiciones". Más bien, son hipótesis. ¿En qué medida corresponden a una realidad experimental? Este importante problema físico ya no tiene nada que ver con las matemáticas. Incluso si una "geometría" no corresponde a una realidad experimental, sus teoremas siguen siendo no menos "verdades matemáticas".

Un modelo euclidiano de una geometría no euclidiana es una elección de algunos objetos existentes en el espacio euclidiano y algunas relaciones entre estos objetos que satisfacen todos los axiomas (y por lo tanto, todos los teoremas) de la geometría no euclidiana. Estos objetos y relaciones euclidianos "juegan" la geometría no euclidiana como actores contemporáneos que interpretan una representación antigua. Los actores pueden imitar una situación que nunca ocurrió en la realidad. Las relaciones entre los actores en el escenario imitan las relaciones entre los personajes de la obra. Asimismo, las relaciones elegidas entre los objetos elegidos del modelo euclidiano imitan las relaciones no euclidianas. Muestra que las relaciones entre objetos son esenciales en matemáticas, mientras que la naturaleza de los objetos no lo es.

La edad de oro y después

La palabra "geometría" (del griego antiguo: geo- "tierra", -metrón "medición") inicialmente significaba una forma práctica de procesar longitudes, regiones y volúmenes en el espacio en el que vivimos, pero luego se extendió ampliamente (también como la noción de espacio en cuestión aquí).

Según Bourbaki, el período comprendido entre 1795 ( Géométrie descriptivo de Monge) y 1872 (el "programa Erlangen" de Klein) se puede llamar la edad de oro de la geometría. El espacio original investigado por Euclides ahora se llama espacio euclidiano tridimensional . Su axiomatización, iniciado por Euclides hace 23 siglos, se reformó con los axiomas de Hilbert , axiomas de Tarski y axiomas de Birkhoff . Estos sistemas de axiomas describen el espacio a través de nociones primitivas (como "punto", "entre", "congruente") restringidas por una serie de axiomas .

La geometría analítica hizo un gran progreso y logró reemplazar los teoremas de la geometría clásica con cálculos a través de invariantes de grupos de transformación. Desde entonces, los nuevos teoremas de la geometría clásica han sido de mayor interés para los aficionados que para los matemáticos profesionales. Sin embargo, la herencia de la geometría clásica no se perdió. Según Bourbaki, "pasada por alto en su papel de ciencia autónoma y viva, la geometría clásica se transfigura así en un lenguaje universal de las matemáticas contemporáneas".

Simultáneamente, los números comenzaron a desplazar a la geometría como base de las matemáticas. Por ejemplo, en el ensayo de 1872 de Richard Dedekind Stetigkeit und irrationale Zahlen ( Continuidad y números irracionales ), afirma que los puntos en una línea deben tener las propiedades de los cortes de Dedekind y que, por lo tanto, una línea es lo mismo que el conjunto de números reales. . Dedekind tiene cuidado de señalar que se trata de una suposición que no se puede probar. En los tratamientos modernos, la afirmación de Dedekind a menudo se toma como la definición de una línea, reduciendo así la geometría a la aritmética. El espacio euclidiano tridimensional se define como un espacio afín cuyo espacio vectorial asociado de diferencias de sus elementos está equipado con un producto interno. Una definición "desde cero", como en Euclides, ahora no se usa con frecuencia, ya que no revela la relación de este espacio con otros espacios. Además, un espacio proyectivo tridimensional ahora se define como el espacio de todos los subespacios unidimensionales (es decir, líneas rectas a través del origen) de un espacio vectorial de cuatro dimensiones. Este cambio en los fundamentos requiere un nuevo conjunto de axiomas, y si se adoptan estos axiomas, los axiomas clásicos de la geometría se convierten en teoremas.

Un espacio ahora consta de objetos matemáticos seleccionados (por ejemplo, funciones en otro espacio, o subespacios de otro espacio, o simplemente elementos de un conjunto) tratados como puntos y relaciones seleccionadas entre estos puntos. Por lo tanto, los espacios son solo estructuras matemáticas de conveniencia. Se puede esperar que las estructuras llamadas "espacios" se perciban de manera más geométrica que otros objetos matemáticos, pero esto no siempre es cierto.

Según la famosa conferencia inaugural de Bernhard Riemann en 1854, todo objeto matemático parametrizado por n números reales puede ser tratado como un punto del espacio n -dimensional de todos esos objetos. Los matemáticos contemporáneos siguen esta idea de manera rutinaria y encuentran extremadamente sugerente usar la terminología de la geometría clásica en casi todas partes.

Las funciones son objetos matemáticos importantes. Por lo general, forman espacios funcionales de dimensión infinita , como ya lo señaló Riemann y elaborado en el siglo XX mediante el análisis funcional .

Taxonomía de espacios

Tres rangos taxonómicos

Si bien cada tipo de espacio tiene su propia definición, la idea general de "espacio" evade la formalización. Algunas estructuras se denominan espacios, otras no, sin un criterio formal. Además, no hay consenso sobre la idea general de "estructura". Según Pudlák, "las matemáticas [...] no se pueden explicar completamente mediante un concepto único como la estructura matemática. Sin embargo, el enfoque estructuralista de Bourbaki es el mejor que tenemos". Volveremos al enfoque estructuralista de Bourbaki en la última sección "Espacios y estructuras", mientras que ahora esbozamos una posible clasificación de espacios (y estructuras) en el espíritu de Bourbaki.

Clasificamos espacios en tres niveles. Dado que cada teoría matemática describe sus objetos por algunas de sus propiedades, la primera pregunta que debe hacerse es: ¿qué propiedades? Esto conduce al primer nivel de clasificación (superior). En el segundo nivel, se tienen en cuenta las respuestas a preguntas especialmente importantes (entre las preguntas que tienen sentido según el primer nivel). En el tercer nivel de clasificación, se tienen en cuenta las respuestas a todas las preguntas posibles.

Por ejemplo, la clasificación de nivel superior distingue entre espacios euclidianos y proyectivos , ya que la distancia entre dos puntos está definida en espacios euclidianos pero indefinida en espacios proyectivos. Otro ejemplo. La pregunta "cuál es la suma de los tres ángulos de un triángulo" tiene sentido en un espacio euclidiano pero no en un espacio proyectivo. En un espacio no euclidiano, la pregunta tiene sentido pero se responde de manera diferente, lo cual no es una distinción de nivel superior.

Además, la distinción entre un plano euclidiano y un espacio tridimensional euclidiano no es una distinción de nivel superior; la pregunta "cuál es la dimensión" tiene sentido en ambos casos.

La clasificación de segundo nivel distingue, por ejemplo, entre espacios euclidianos y no euclidianos; entre espacios de dimensión finita e infinita; entre espacios compactos y no compactos, etc. En términos de Bourbaki, la clasificación de segundo nivel es la clasificación por "especies". A diferencia de la taxonomía biológica, un espacio puede pertenecer a varias especies.

La clasificación de tercer nivel distingue, por ejemplo, entre espacios de diferente dimensión, pero no distingue entre un plano de un espacio euclidiano tridimensional, tratado como un espacio euclidiano bidimensional, y el conjunto de todos los pares de números reales, también tratado como un espacio euclidiano bidimensional. Asimismo, no distingue entre diferentes modelos euclidianos del mismo espacio no euclidiano. Más formalmente, el tercer nivel clasifica los espacios hasta el isomorfismo . Un isomorfismo entre dos espacios se define como una correspondencia biunívoca entre los puntos del primer espacio y los puntos del segundo espacio, que conserva todas las relaciones estipuladas según el primer nivel. Los espacios mutuamente isomorfos se consideran copias de un solo espacio. Si uno de ellos pertenece a una especie determinada, todos lo hacen.

La noción de isomorfismo arroja luz sobre la clasificación de nivel superior. Dada una correspondencia uno a uno entre dos espacios de la misma clase de nivel superior, uno puede preguntarse si es un isomorfismo o no. Esta pregunta no tiene sentido para dos espacios de clases diferentes.

Un isomorfismo en sí mismo se llama automorfismo. Los automorfismos de un espacio euclidiano son cambios, rotaciones, reflejos y composiciones de estos. El espacio euclidiano es homogéneo en el sentido de que cada punto puede transformarse en cualquier otro punto por algún automorfismo.

Los axiomas euclidianos no dejan libertad; determinan únicamente todas las propiedades geométricas del espacio. Más exactamente: todos los espacios euclidianos tridimensionales son mutuamente isomórficos. En este sentido tenemos "el" espacio euclidiano tridimensional. En términos de Bourbaki, la teoría correspondiente es univalente . Por el contrario, los espacios topológicos generalmente no son isomorfos; su teoría es multivalente . Una idea similar ocurre en la lógica matemática: una teoría se llama categórica si todos sus modelos de la misma cardinalidad son mutuamente isomórficos. Según Bourbaki, el estudio de las teorías multivalentes es la característica más llamativa que distingue a las matemáticas modernas de las clásicas.

Relaciones entre especies de espacios

Las nociones topológicas (continuidad, convergencia, conjuntos abiertos, conjuntos cerrados, etc.) se definen de forma natural en todo espacio euclidiano. En otras palabras, todo espacio euclidiano es también un espacio topológico. Todo isomorfismo entre dos espacios euclidianos es también un isomorfismo entre los espacios topológicos correspondientes (llamado " homeomorfismo "), pero lo contrario es incorrecto: un homeomorfismo puede distorsionar las distancias. En términos de Bourbaki, el "espacio topológico" es una estructura subyacente de la estructura del "espacio euclidiano". Ideas similares ocurren en la teoría de categorías : la categoría de espacios euclidianos es una categoría concreta sobre la categoría de espacios topológicos; el functor olvidadizo (o "stripping") asigna la primera categoría a la última categoría.

Un espacio euclidiano tridimensional es un caso especial de espacio euclidiano. En términos de Bourbaki, la especie del espacio euclidiano tridimensional es más rica que la especie del espacio euclidiano. Asimismo, la especie de espacio topológico compacto es más rica que la especie de espacio topológico.

Tales relaciones entre especies de espacios pueden expresarse en forma de diagrama como se muestra en la Fig. 3. Una flecha de A a B significa que cada espacio A es también un espacio B, o puede tratarse como un espacio B, o proporciona un espacio B -space, etc. el tratamiento de a y B como clases de espacios uno pueden interpretar la flecha como una transición de a a B. (términos de En Bourbaki, "procedimiento de deducción" de un B-espacio de un a-espacio. No es un funcionan a menos que las clases A, B sean conjuntos; este matiz no invalida lo siguiente.) Las dos flechas en la Fig. 3 no son invertibles, pero por diferentes razones.

La transición de "euclidiana" a "topológica" es olvidadiza. La topología distingue lo continuo de lo discontinuo, pero no distingue lo rectilíneo de lo curvilíneo. La intuición nos dice que la estructura euclidiana no se puede restaurar desde la topología. Una demostración usa un automorfismo del espacio topológico (es decir, auto-homeomorfismo ) que no es un automorfismo del espacio euclidiano (es decir, no es una composición de cambios, rotaciones y reflejos). Tal transformación convierte la estructura euclidiana dada en una estructura euclidiana (isomórfica pero) diferente; ambas estructuras euclidianas corresponden a una única estructura topológica.

En contraste, la transición de "euclidiana 3-tenue" a "euclidiana" no es olvidadiza; un espacio euclidiano no tiene por qué ser tridimensional, pero si resulta ser tridimensional, es en toda regla, no se pierde ninguna estructura. En otras palabras, la última transición es inyectiva (uno a uno), mientras que la primera no es inyectiva (muchos a uno). Denotamos transiciones inyectivas por una flecha con una cola de púas, "↣" en lugar de "→".

Ambas transiciones no son sobreyectivas , es decir, no todos los espacios B resultan de algún espacio A. Primero, un espacio euclidiano de 3 dimisiones es un caso especial (no general) de un espacio euclidiano. En segundo lugar, una topología de un espacio euclidiano es un caso especial de topología (por ejemplo, debe ser no compacto y estar conectado, etc.). Denotamos transiciones sobreyectivas mediante una flecha de dos puntas, "↠" en lugar de "→". Ver, por ejemplo, la Fig. 4; allí, la flecha de "topológico lineal real" a "lineal real" tiene dos puntas, ya que todo espacio lineal real admite alguna (al menos una) topología compatible con su estructura lineal.

Esta topología no es única en general, pero es única cuando el espacio lineal real es de dimensión finita. Para estos espacios, la transición es tanto inyectiva como sobreyectiva, es decir, biyectiva ; vea la flecha de "topológico lineal real finito-tenue" a "lineal real finito-tenue" en la Fig. 4. La transición inversa existe (y podría mostrarse mediante una segunda flecha hacia atrás). Por tanto, las dos especies de estructuras son equivalentes. En la práctica, no se hace distinción entre especies equivalentes de estructuras. Las estructuras equivalentes pueden tratarse como una sola estructura, como se muestra en un recuadro grande en la Fig.4.

Las transiciones indicadas por las flechas obedecen a isomorfismos. Es decir, dos espacios A isomorfos conducen a dos espacios B isomorfos .

El diagrama de la Fig. 4 es conmutativo . Es decir, todas las rutas dirigidas en el diagrama con los mismos puntos de inicio y final conducen al mismo resultado. Otros diagramas a continuación también son conmutativos, excepto por las flechas discontinuas en la Fig. 9. La flecha de "topológico" a "medible" está discontinua por la razón que se explica allí: "Para convertir un espacio topológico en un espacio medible, uno lo dota de un σ-álgebra. El σ-álgebra de los conjuntos de Borel es la más popular, pero no la única opción ". Una flecha sólida denota una transición predominante, llamada "canónica", que se sugiere a sí misma de forma natural y se usa ampliamente, a menudo implícitamente, por defecto. Por ejemplo, hablando de una función continua en un espacio euclidiano, no es necesario especificar explícitamente su topología. De hecho, existen topologías alternativas y se utilizan a veces, por ejemplo, la topología fina ; pero siempre se especifican explícitamente, ya que son mucho menos notables que la topología predominante. Una flecha punteada indica que se están utilizando varias transiciones y ninguna es bastante frecuente.

Tipos de espacios

Espacios lineales y topológicos

Dos espacios básicos son los espacios lineales (también llamados espacios vectoriales) y los espacios topológicos .

Los espacios lineales son de naturaleza algebraica ; hay espacios lineales reales (sobre el campo de números reales ), espacios lineales complejos (sobre el campo de números complejos ) y, más generalmente, espacios lineales sobre cualquier campo. Todo espacio lineal complejo es también un espacio lineal real (el último subyace al primero), ya que cada número real es también un número complejo. De manera más general, un espacio vectorial sobre un campo también tiene la estructura de un espacio vectorial sobre un subcampo de ese campo. Las operaciones lineales, dadas en un espacio lineal por definición, conducen a nociones tales como líneas rectas (y planos y otros subespacios lineales); lineas paralelas; elipses (y elipsoides). Sin embargo, es imposible definir líneas ortogonales (perpendiculares) o señalar círculos entre elipses, porque en un espacio lineal no existe una estructura como un producto escalar que pueda usarse para medir ángulos. La dimensión de un espacio lineal se define como el número máximo de vectores linealmente independientes o, de manera equivalente, como el número mínimo de vectores que abarcan el espacio; puede ser finito o infinito. Dos espacios lineales sobre el mismo campo son isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión. Un espacio lineal complejo n- dimensional es también un espacio lineal real 2 n- dimensional .

Los espacios topológicos son de naturaleza analítica . Los conjuntos abiertos , dados en un espacio topológico por definición, conducen a nociones tales como funciones continuas , caminos, mapas; secuencias convergentes, límites ; interior, límite, exterior. Sin embargo, la continuidad uniforme , los conjuntos acotados , las secuencias de Cauchy , las funciones diferenciables (caminos, mapas) permanecen sin definir. Los isomorfismos entre espacios topológicos se denominan tradicionalmente homeomorfismos; se trata de correspondencias uno a uno continuas en ambas direcciones. El intervalo abierto (0,1) es homeomorfo a toda la línea real (−∞, ∞) pero no homeomorfo al intervalo cerrado [0,1], ni a un círculo. La superficie de un cubo es homeomorfa a una esfera (la superficie de una bola) pero no homeomorfa a un toro. Los espacios euclidianos de diferentes dimensiones no son homeomórficos, lo que parece evidente, pero no es fácil de probar. La dimensión de un espacio topológico es difícil de definir; Se puede utilizar la dimensión inductiva (basada en la observación de que la dimensión del límite de una figura geométrica suele ser uno menos que la dimensión de la figura en sí) y la dimensión de cobertura de Lebesgue . En el caso de un espacio euclidiano n- dimensional , ambas dimensiones topológicas son iguales an .

Cada subconjunto de un espacio topológico es en sí mismo un espacio topológico (en contraste, solo los subconjuntos lineales de un espacio lineal son espacios lineales). Los espacios topológicos arbitrarios, investigados por topología general (también llamada topología de conjuntos de puntos) son demasiado diversos para una clasificación completa hasta el homeomorfismo. Los espacios topológicos compactos son una clase importante de espacios topológicos ("especies" de este "tipo"). Toda función continua está limitada a ese espacio. El intervalo cerrado [0,1] y la línea real extendida [−∞, ∞] son ​​compactos; el intervalo abierto (0,1) y la línea (−∞, ∞) no lo son. La topología geométrica investiga variedades (otra "especie" de este "tipo"); estos son espacios topológicos localmente homeomorfos a los espacios euclidianos (y que satisfacen algunas condiciones adicionales). Las variedades de baja dimensión están completamente clasificadas hasta el homeomorfismo.

Tanto la estructura lineal como la topológica subyacen a la estructura del espacio topológico lineal (en otras palabras, el espacio vectorial topológico). Un espacio topológico lineal es tanto un espacio lineal real o complejo como un espacio topológico, de modo que las operaciones lineales son continuas. Entonces, un espacio lineal que también es topológico no es en general un espacio topológico lineal.

Todo espacio lineal complejo o real de dimensión finita es un espacio topológico lineal en el sentido de que lleva una y sólo una topología que lo convierte en un espacio topológico lineal. Las dos estructuras, "espacio lineal complejo o real de dimensión finita" y "espacio topológico lineal de dimensión finita", son por tanto equivalentes, es decir, mutuamente subyacentes. En consecuencia, toda transformación lineal invertible de un espacio topológico lineal de dimensión finita es un homeomorfismo. Las tres nociones de dimensión (una algebraica y dos topológicas) concuerdan para espacios lineales reales de dimensión finita. En espacios de dimensión infinita, sin embargo, diferentes topologías pueden ajustarse a una estructura lineal dada, y las transformaciones lineales invertibles generalmente no son homeomorfismos.

Espacios afines y proyectivos

Es conveniente introducir espacios afines y proyectivos mediante espacios lineales, de la siguiente manera. Un subespacio lineal n- dimensional de un espacio lineal ( n +1) -dimensional , siendo él mismo un espacio lineal n- dimensional , no es homogéneo; contiene un punto especial, el origen. Moviéndolo por un vector externo a él, se obtiene un subespacio afín n- dimensional . Es homogéneo. No es necesario incluir un espacio afín en un espacio lineal, pero es isomorfo a un subespacio afín de un espacio lineal. Todos los espacios afines n - dimensionales son mutuamente isomorfos. En palabras de John Baez , "un espacio afín es un espacio vectorial que ha olvidado su origen". En particular, todo espacio lineal es también un espacio afín.

Dado un subespacio afín n- dimensional A en un espacio lineal ( n +1) -dimensional L , una línea recta en A puede definirse como la intersección de A con un subespacio lineal bidimensional de L que interseca A : en otras palabras , con un plano a través del origen que no es paralelo a a . Más generalmente, un k -dimensional afín subespacio de A es la intersección de A con un ( k 1) -dimensional subespacio lineal de L que intersecta A .

Cada punto del subespacio afín A es la intersección de A con un unidimensional subespacio lineal de L . Sin embargo, algunos subespacios unidimensionales de L son paralelos a A ; en cierto sentido, se cruzan con A en el infinito. El conjunto de todos los subespacios lineales unidimensionales de un espacio lineal ( n +1) -dimensional es, por definición, un espacio proyectivo n- dimensional . Y el subespacio afín A está incrustado en el espacio proyectivo como un subconjunto adecuado. Sin embargo, el espacio proyectivo en sí es homogéneo. Una línea recta en el espacio proyectivo corresponde a un subespacio lineal bidimensional del espacio lineal ( n +1) -dimensional. De manera más general, un subespacio proyectivo k -dimensional del espacio proyectivo corresponde a un subespacio lineal ( k + 1) -dimensional del espacio lineal ( n + 1) -dimensional, y es isomorfo al espacio proyectivo k -dimensional .

Así definidos, los espacios afines y proyectivos son de naturaleza algebraica; pueden ser reales, complejos y, en general, sobre cualquier campo.

Todo espacio real o complejo afín o proyectivo es también un espacio topológico. Un espacio afín es una variedad no compacta; un espacio proyectivo es un colector compacto. En un espacio proyectivo real, una línea recta es homeomorfa a un círculo, por lo tanto compacta, en contraste con una línea recta en un espacio lineal o afín.

Espacios métricos y uniformes

Las distancias entre puntos se definen en un espacio métrico . Los isomorfismos entre espacios métricos se denominan isometrías. Cada espacio métrico es también un espacio topológico. Un espacio topológico se denomina metrizable si subyace a un espacio métrico. Todos los colectores son metrizables.

En un espacio métrico, podemos definir conjuntos acotados y secuencias de Cauchy. Un espacio métrico se llama completo si todas las secuencias de Cauchy convergen. Cada espacio incompleto está incrustado isométricamente, como un subconjunto denso, en un espacio completo (la terminación). Cada espacio métrico compacto está completo; la línea real no es compacta pero completa; el intervalo abierto (0,1) está incompleto.

Cada espacio euclidiano es también un espacio métrico completo. Además, todas las nociones geométricas inmanentes a un espacio euclidiano pueden caracterizarse en términos de su métrica. Por ejemplo, el segmento de recta que conecta dos puntos dados A y C consiste de todos los puntos B de tal manera que la distancia entre A y C es igual a la suma de dos distancias, entre A y B y entre B y C .

La dimensión de Hausdorff (relacionada con la cantidad de bolas pequeñas que cubren el conjunto dado) se aplica a los espacios métricos y puede ser no entera (especialmente para los fractales ). Para un espacio euclidiano n- dimensional , la dimensión de Hausdorff es igual an .

Los espacios uniformes no introducen distancias, pero aún permiten usar continuidad uniforme, secuencias de Cauchy (o filtros o redes ), integridad y terminación. Todo espacio uniforme es también un espacio topológico. Todo espacio topológico lineal (metrizable o no) es también un espacio uniforme, y está completo en dimensión finita pero generalmente incompleto en dimensión infinita. De manera más general, cada grupo topológico conmutativo es también un espacio uniforme. Sin embargo, un grupo topológico no conmutativo tiene dos estructuras uniformes, una invariante a la izquierda y la otra invariante a la derecha.

Espacios Normed, Banach, inner product y Hilbert

Los vectores en un espacio euclidiano forman un espacio lineal, pero cada vector también tiene una longitud, en otras palabras, una norma . Un espacio lineal real o complejo dotado de una norma es un espacio normado . Todo espacio normado es tanto un espacio topológico lineal como un espacio métrico. Un espacio de Banach es un espacio normado completo. Muchos espacios de secuencias o funciones son espacios de Banach de dimensión infinita. ${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ lVert x \ rVert}$

El conjunto de todos los vectores de norma menor que uno se llama bola unitaria de un espacio normado. Es un conjunto convexo, simétrico centralmente, generalmente no un elipsoide; por ejemplo, puede ser un polígono (en el plano) o, más generalmente, un politopo (en una dimensión finita arbitraria). La ley del paralelogramo (también llamada identidad del paralelogramo)

${\ Displaystyle \ lVert xy \ rVert ^ {2} + \ lVert x + y \ rVert ^ {2} = 2 \ lVert x \ rVert ^ {2} +2 \ lVert y \ rVert ^ {2} \,}$

falla generalmente en espacios normados, pero mantiene para los vectores en espacios euclídeos, que sigue del hecho de que la norma euclídea al cuadrado de un vector es su producto interior consigo mismo, . ${\ Displaystyle \ lVert x \ rVert ^ {2} = (x, x)}$

Un espacio de producto interno es un espacio lineal real o complejo, dotado de una forma bilineal o sesquilínea respectivamente, que satisface algunas condiciones y llamado producto interno. Cada espacio de producto interior es también un espacio normado. Un espacio normado subyace a un espacio producto interno si y solo si satisface la ley del paralelogramo, o de manera equivalente, si su bola unitaria es un elipsoide. Los ángulos entre vectores se definen en espacios de producto internos. Un espacio de Hilbert se define como un espacio de producto interior completo. (Algunos autores insisten en que debe ser complejo, otros admiten también espacios de Hilbert reales). Muchos espacios de secuencias o funciones son espacios de Hilbert de dimensión infinita. Los espacios de Hilbert son muy importantes para la teoría cuántica .

Todos los espacios de productos internos reales n- dimensionales son mutuamente isomórficos. Se puede decir que el espacio euclidiano n- dimensional es el espacio real interno del producto n- dimensional que olvidó su origen.

Variedades lisas y riemannianas

Los colectores lisos no se denominan "espacios", pero podrían serlo. Cada variedad suave es una variedad topológica y se puede incrustar en un espacio lineal de dimensión finita. Las superficies lisas en un espacio lineal de dimensión finita son variedades suaves: por ejemplo, la superficie de un elipsoide es una variedad suave, un politopo no lo es. Los espacios lineales, afines y proyectivos de dimensión finita reales o complejos son también variedades suaves.

En cada uno de sus puntos, una trayectoria suave en una variedad suave tiene un vector tangente que pertenece al espacio tangente de la variedad en este punto. Espacios tangente a un n -dimensional suavizan colector son n -dimensional espacios lineales. El diferencial de una función suave en un colector suave proporciona un funcional lineal en el espacio tangente en cada punto.

Una variedad de Riemann , o espacio de Riemann, es una variedad suave cuyos espacios tangentes están dotados de productos internos que satisfacen algunas condiciones. Los espacios euclidianos también son espacios de Riemann. Las superficies lisas en los espacios euclidianos son espacios de Riemann. Un espacio hiperbólico no euclidiano también es un espacio de Riemann. Una curva en un espacio de Riemann tiene una longitud, y la longitud de la curva más corta entre dos puntos define una distancia, de modo que el espacio de Riemann es un espacio métrico. El ángulo entre dos curvas que se intersecan en un punto es el ángulo entre sus líneas tangentes.

Renunciando a la positividad de los productos internos en los espacios tangentes, se obtienen espacios pseudo-Riemann , incluidos los espacios Lorentzianos que son muy importantes para la relatividad general .

Espacios medibles, de medida y de probabilidad

Prescindiendo de distancias y ángulos mientras se retienen volúmenes (de cuerpos geométricos) se llega a la teoría de la medida . Además del volumen, una medida generaliza las nociones de área, longitud, distribución de masa (o carga) y también distribución de probabilidad, según el enfoque de Andrey Kolmogorov a la teoría de la probabilidad .

Un "cuerpo geométrico" de las matemáticas clásicas es mucho más regular que un simple conjunto de puntos. El límite del cuerpo es de volumen cero. Así, el volumen del cuerpo es el volumen de su interior, y el interior puede agotarse mediante una secuencia infinita de cubos. En contraste, el límite de un conjunto arbitrario de puntos puede tener un volumen distinto de cero (un ejemplo: el conjunto de todos los puntos racionales dentro de un cubo dado). La teoría de la medida logró extender la noción de volumen a una amplia clase de conjuntos, los llamados conjuntos mensurables . De hecho, los conjuntos no medibles casi nunca ocurren en las aplicaciones.

Los conjuntos mensurables, dados en un espacio mensurable por definición, conducen a funciones y mapas mensurables. Para convertir un espacio topológico en un espacio medible se lo dota de un σ-álgebra. El σ-álgebra de los conjuntos de Borel es el más popular, pero no la única opción. (A veces también se utilizan conjuntos de Baire , conjuntos mensurables universalmente , etc.). La topología no está determinada únicamente por el σ-álgebra de Borel ; por ejemplo, la topología normal y la topología débil en un espacio de Hilbert separable conducen a la misma σ-álgebra de Borel . No todo σ-álgebra es el σ-álgebra de Borel de alguna topología. En realidad, una σ-álgebra puede ser generada por una colección dada de conjuntos (o funciones) independientemente de cualquier topología. Cada subconjunto de un espacio medible es en sí mismo un espacio medible.

Los espacios medibles estándar (también llamados espacios Borel estándar ) son especialmente útiles debido a alguna similitud con los espacios compactos (ver EoM ). Todo mapeo biyectivo medible entre espacios medibles estándar es un isomorfismo; es decir, el mapeo inverso también es medible. Y un mapeo entre tales espacios es medible si y solo si su gráfico es medible en el espacio del producto. De manera similar, todo mapeo continuo biyectivo entre espacios métricos compactos es un homeomorfismo; es decir, el mapeo inverso también es continuo. Y un mapeo entre dichos espacios es continuo si y solo si su gráfico está cerrado en el espacio del producto.

Cada conjunto de Borel en un espacio euclidiano (y más generalmente, en un espacio métrico separable completo), dotado del álgebra σ de Borel , es un espacio medible estándar. Todos los espacios medibles estándar incontables son mutuamente isomorfos.

Un espacio de medida es un espacio medible dotado de una medida. Un espacio euclidiano con la medida de Lebesgue es un espacio de medida. La teoría de la integración define la integrabilidad y las integrales de funciones medibles en un espacio de medida.

Los conjuntos de medida 0, llamados conjuntos nulos, son insignificantes. Por consiguiente, un "isomorfismo mod 0" se define como isomorfismo entre subconjuntos de medida completa (es decir, con complemento despreciable).

Un espacio de probabilidad es un espacio de medida tal que la medida de todo el espacio es igual a 1. El producto de cualquier familia (finita o no) de espacios de probabilidad es un espacio de probabilidad. Por el contrario, para los espacios de medida en general, solo se define el producto de un número finito de espacios. En consecuencia, hay muchas medidas de probabilidad de dimensión infinita (especialmente, medidas de Gauss ), pero no medidas de Lebesgue de dimensión infinita.

Los espacios de probabilidad estándar son especialmente útiles . En un espacio de probabilidad estándar, una expectativa condicional puede tratarse como la integral sobre la medida condicional ( probabilidades condicionales regulares , ver también desintegración de la medida ). Dados dos espacios de probabilidad estándar, cada homomorfismo de sus álgebras de medida es inducido por algún mapa de preservación de medida. Cada medida de probabilidad en un espacio medible estándar conduce a un espacio de probabilidad estándar. El producto de una secuencia (finita o no) de espacios de probabilidad estándar es un espacio de probabilidad estándar. Todos los espacios de probabilidad estándar no atómicos son mutuamente isomórficos mod 0; uno de ellos es el intervalo (0,1) con la medida de Lebesgue.

Estos espacios son menos geométricos. En particular, la idea de dimensión, aplicable (de una forma u otra) a todos los demás espacios, no se aplica a los espacios medibles, de medida y de probabilidad.

Geometría no conmutativa

El estudio teórico del cálculo, conocido como análisis matemático , llevó a principios del siglo XX a la consideración de espacios lineales de funciones con valores reales o con valores complejos. Los primeros ejemplos de estos fueron espacios funcionales , cada uno adaptado a su propia clase de problemas. Estos ejemplos compartieron muchas características comunes, y estas características pronto se abstrajeron en espacios de Hilbert, espacios de Banach y espacios vectoriales topológicos más generales. Se trataba de un poderoso conjunto de herramientas para la solución de una amplia gama de problemas matemáticos.

La información más detallada fue transportada por una clase de espacios llamados álgebras de Banach . Estos son espacios de Banach junto con una operación de multiplicación continua. Un ejemplo temprano importante fue el álgebra de Banach de funciones medibles esencialmente delimitadas en un espacio de medida X . Este conjunto de funciones es un espacio de Banach bajo la suma puntual y la multiplicación escalar. Con la operación de multiplicación puntual, se convierte en un tipo especial de espacio de Banach, ahora llamado álgebra de von Neumann conmutativa . Multiplicación Pointwise determina una representación de esta álgebra en el espacio de Hilbert de funciones integrables cuadrados en X . Una de las primeras observaciones de John von Neumann fue que esta correspondencia también funcionaba a la inversa: dadas algunas hipótesis técnicas moderadas, un álgebra de von Neumann conmutativa junto con una representación en un espacio de Hilbert determina un espacio de medida, y estas dos construcciones (de un álgebra de von Neumann más una representación y un espacio de medida) son mutuamente inversos.

Von Neumann luego propuso que las álgebras de von Neumann no conmutativas deberían tener un significado geométrico, tal como lo tienen las álgebras conmutativas de von Neumann. Junto con Francis Murray , produjo una clasificación de las álgebras de von Neumann. La construcción integral directa muestra cómo dividir cualquier álgebra de von Neumann en una colección de álgebras más simples llamadas factores . Von Neumann y Murray clasificaron los factores en tres tipos. El tipo I era casi idéntico al caso conmutativo. Los tipos II y III exhibieron nuevos fenómenos. Un álgebra de von Neumann de tipo II determinó una geometría con la característica peculiar de que la dimensión podría ser cualquier número real no negativo, no solo un entero. Las álgebras de tipo III eran aquellas que no eran ni de tipo I ni de tipo II, y después de varias décadas de esfuerzo, se demostró que estaban estrechamente relacionadas con los factores de tipo II.

Un enfoque ligeramente diferente de la geometría de los espacios funcionales se desarrolló al mismo tiempo que el trabajo de von Neumann y Murray sobre la clasificación de factores. Este enfoque es la teoría de C * -álgebras . Aquí, el ejemplo motivador es el C * -álgebra , donde X es un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto. Por definición, este es el álgebra de funciones continuas con valores complejos en X que se desvanecen en el infinito (lo que, en términos generales, significa que cuanto más te alejas de un punto elegido, más se acerca la función a cero) con las operaciones de suma y multiplicación puntuales. El teorema de Gelfand-Naimark implicaba que existe una correspondencia entre las álgebras C * conmutativas y los objetos geométricos: cada álgebra C * conmutativa tiene la forma de algún espacio X de Hausdorff localmente compacto . En consecuencia, es posible estudiar espacios de Hausdorff localmente compactos puramente en términos de álgebras C * conmutativas. La geometría no conmutativa toma esto como inspiración para el estudio de las álgebras C * no conmutativas: si existiera un "espacio X no conmutativo ", entonces sería una álgebra C * no conmutativa ; si además el teorema de Gelfand-Naimark se aplicara a estos objetos inexistentes, entonces los espacios (conmutativos o no) serían los mismos que C * -álgebras; entonces, a falta de un enfoque directo a la definición de un espacio no conmutativo, un espacio no conmutativo se define como un C * -álgebra no conmutativa . Muchas herramientas geométricas estándar se pueden reformular en términos de C * -álgebras, y esto proporciona técnicas inspiradas geométricamente para estudiar C * -algebras no conmutativas . ${\ Displaystyle C_ {0} (X)}$${\ Displaystyle C_ {0} (X)}$${\ Displaystyle C_ {0} (X)}$

Ambos ejemplos son ahora casos de un campo llamado geometría no conmutativa . Los ejemplos específicos de álgebras de von Neumann y álgebras C * se conocen como teoría de medidas no conmutativas y topología no conmutativa, respectivamente. La geometría no conmutativa no es simplemente una búsqueda de la generalidad por sí misma y no es solo una curiosidad. Los espacios no conmutativos surgen de forma natural, incluso inevitable, a partir de algunas construcciones. Por ejemplo, considere las teselaciones no periódicas de Penrose del avión mediante cometas y dardos. Es un teorema que, en tal mosaico, cada parche finito de cometas y dardos aparece infinitamente a menudo. Como consecuencia, no hay forma de distinguir dos teselaciones de Penrose mirando una porción finita. Esto hace que sea imposible asignar al conjunto de todos los mosaicos una topología en el sentido tradicional. A pesar de esto, los mosaicos de Penrose determinan un C * -álgebra no conmutativa y , en consecuencia, pueden ser estudiados mediante las técnicas de geometría no conmutativa. Otro ejemplo, y uno de gran interés dentro de la geometría diferencial , proviene de las foliaciones de variedades. Estas son formas de dividir la variedad en subvariedades de dimensiones más pequeñas llamadas hojas , cada una de las cuales es localmente paralela a otras cercanas. El conjunto de todas las hojas se puede convertir en un espacio topológico. Sin embargo, el ejemplo de una rotación irracional muestra que este espacio topológico puede ser inaccesible para las técnicas de la teoría clásica de la medida. Sin embargo, hay un álgebra de von Neumann no conmutativa asociada al espacio foliar de una foliación, y una vez más, esto le da a un espacio ininteligible una buena estructura geométrica.

Esquemas

La geometría algebraica estudia las propiedades geométricas de las ecuaciones polinomiales . Los polinomios son un tipo de función definida a partir de las operaciones aritméticas básicas de suma y multiplicación. Debido a esto, están estrechamente vinculados al álgebra. La geometría algebraica ofrece una forma de aplicar técnicas geométricas a cuestiones de álgebra pura y viceversa.

Antes de la década de 1940, la geometría algebraica trabajaba exclusivamente sobre los números complejos, y la variedad más fundamental era el espacio proyectivo. La geometría del espacio proyectivo está estrechamente relacionada con la teoría de la perspectiva , y su álgebra se describe mediante polinomios homogéneos . Todas las demás variedades se definieron como subconjuntos del espacio proyectivo. Las variedades proyectivas fueron subconjuntos definidos por un conjunto de polinomios homogéneos. En cada punto de la variedad proyectiva, se requirió que todos los polinomios del conjunto fueran iguales a cero. El complemento del conjunto cero de un polinomio lineal es un espacio afín, y una variedad afín era la intersección de una variedad proyectiva con un espacio afín.

André Weil vio que el razonamiento geométrico a veces se puede aplicar en situaciones de teoría de números donde los espacios en cuestión pueden ser discretos o incluso finitos. Siguiendo esta idea, Weil reescribió los fundamentos de la geometría algebraica, liberando la geometría algebraica de su dependencia de números complejos e introduciendo variedades algebraicas abstractas que no estaban incrustadas en el espacio proyectivo. Ahora se denominan simplemente variedades .

El tipo de espacio que subyace a la mayoría de la geometría algebraica moderna es incluso más general que las variedades algebraicas abstractas de Weil. Fue introducido por Alexander Grothendieck y se llama esquema . Una de las motivaciones de la teoría de esquemas es que los polinomios están estructurados inusualmente entre funciones y, en consecuencia, las variedades algebraicas son rígidas. Esto presenta problemas al intentar estudiar situaciones degeneradas. Por ejemplo, casi cualquier par de puntos en un círculo determina una línea única llamada línea secante y, a medida que los dos puntos se mueven alrededor del círculo, la línea secante varía continuamente. Sin embargo, cuando los dos puntos chocan, la recta secante degenera en una recta tangente. La línea tangente es única, pero la geometría de esta configuración, un solo punto en un círculo, no es lo suficientemente expresiva para determinar una línea única. Estudiar situaciones como esta requiere una teoría capaz de asignar datos extra a situaciones degeneradas.

Uno de los componentes básicos de un esquema es un espacio topológico. Los espacios topológicos tienen funciones continuas, pero las funciones continuas son demasiado generales para reflejar la estructura algebraica subyacente de interés. El otro ingrediente en un esquema, por lo tanto, es un haz en el espacio topológico, llamado el "haz de estructura". En cada subconjunto abierto del espacio topológico, el haz especifica una colección de funciones, llamadas "funciones regulares". Se requiere que el espacio topológico y la gavilla de estructura satisfagan las condiciones que significan que las funciones provienen de operaciones algebraicas.

Al igual que las variedades, los esquemas se definen como espacios que se modelan localmente en un espacio familiar. En el caso de las variedades, el espacio familiar es el espacio euclidiano. Para un esquema, los modelos locales se denominan esquemas afines . Los esquemas afines proporcionan un vínculo directo entre la geometría algebraica y el álgebra conmutativa . Los objetos fundamentales de estudio en álgebra conmutativa son los anillos conmutativos . Si es un anillo conmutativo, entonces hay un esquema afín correspondiente que traduce la estructura algebraica de en geometría. A la inversa, todo esquema afín determina un anillo conmutativo, es decir, el anillo de secciones globales de su haz de estructura. Estas dos operaciones son mutuamente inversas, por lo que los esquemas afines proporcionan un nuevo lenguaje con el que estudiar preguntas en álgebra conmutativa. Por definición, cada punto de un esquema tiene una vecindad abierta que es un esquema afín. ${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} R}$${\ Displaystyle R}$

Hay muchos esquemas que no son afines. En particular, los espacios proyectivos satisfacen una condición llamada propiedad que es análoga a la compacidad. Los esquemas afines no pueden ser adecuados (excepto en situaciones triviales como cuando el esquema tiene un solo punto) y, por lo tanto, ningún espacio proyectivo es un esquema afín (excepto en los espacios proyectivos de dimensión cero). Los esquemas proyectivos, es decir, aquellos que surgen como subesquemas cerrados de un espacio proyectivo, son la familia de esquemas más importante.

Se han introducido varias generalizaciones de esquemas. Michael Artin definió un espacio algebraico como el cociente de un esquema por las relaciones de equivalencia que definen los morfismos étale . Los espacios algebraicos conservan muchas de las propiedades útiles de los esquemas y al mismo tiempo son más flexibles. Por ejemplo, el teorema de Keel-Mori puede usarse para mostrar que muchos espacios de módulos son espacios algebraicos.

Más general que un espacio algebraico es una pila de Deligne-Mumford . Las pilas de DM son similares a los esquemas, pero permiten singularidades que no pueden describirse únicamente en términos de polinomios. Desempeñan el mismo papel para los esquemas que los orbifolds para los múltiples . Por ejemplo, el cociente del plano afín por un grupo finito de rotaciones alrededor del origen produce una pila de Deligne-Mumford que no es un esquema o un espacio algebraico. Lejos del origen, el cociente por la acción de grupo identifica conjuntos finitos de puntos igualmente espaciados en un círculo. Pero en el origen, el círculo consta de un solo punto, el origen mismo, y la acción de grupo fija este punto. En la pila del cociente DM, sin embargo, este punto viene con los datos adicionales de ser un cociente. Este tipo de estructura refinada es útil en la teoría de espacios de módulos y, de hecho, se introdujo originalmente para describir módulos de curvas algebraicas .

Una generalización adicional son las pilas algebraicas , también llamadas pilas de Artin. Las pilas de DM están limitadas a cocientes por acciones de grupo finito. Si bien esto es suficiente para muchos problemas en la teoría de módulos, es demasiado restrictivo para otros, y las pilas de Artin permiten cocientes más generales.

Topoi

En el trabajo de Grothendieck sobre las conjeturas de Weil , introdujo un nuevo tipo de topología que ahora se llama topología de Grothendieck . Un espacio topológico (en el sentido ordinario) axiomatiza la noción de "proximidad", haciendo que dos puntos estén cerca si y solo si se encuentran en muchos de los mismos conjuntos abiertos. Por el contrario, una topología de Grothendieck axiomatiza la noción de "cobertura". Una cubierta de un espacio es una colección de subespacios que en conjunto contienen toda la información del espacio ambiental. Dado que las poleas se definen en términos de revestimientos, una topología de Grothendieck también puede verse como una axiomatización de la teoría de las poleas.

El trabajo de Grothendieck sobre sus topologías lo llevó a la teoría de los topoi . En sus memorias Récoltes et Semailles , los llamó su "concepción más vasta". Se utiliza un haz (ya sea en un espacio topológico o con respecto a una topología de Grothendieck) para expresar datos locales. La categoría de todas las gavillas incluye todas las formas posibles de expresar datos locales. Dado que los espacios topológicos se construyen a partir de puntos, que son en sí mismos una especie de datos locales, la categoría de poleas se puede utilizar como reemplazo del espacio original. En consecuencia, Grothendieck definió un topos como una categoría de gavillas y estudió los topoi como objetos de interés por derecho propio. Estos ahora se llaman Grothendieck topoi .

Todo espacio topológico determina un topos y viceversa. Existen espacios topológicos donde la toma del topos asociado pierde información, pero estos generalmente se consideran patológicos. (Una condición necesaria y suficiente es que el espacio topológico sea un espacio sobrio ). Por el contrario, hay topoi cuyos espacios topológicos asociados no capturan el topos original. Pero, lejos de ser patológicos, estos topoi pueden ser de gran interés matemático. Por ejemplo, la teoría de la cohomología étale de Grothendieck (que finalmente condujo a la prueba de las conjeturas de Weil) puede enunciarse como cohomología en el étale topos de un esquema, y ​​este topos no proviene de un espacio topológico.

Los espacios topológicos de hecho conducen a topoi muy especiales llamados locales . El conjunto de subconjuntos abiertos de un espacio topológico determina una celosía . Los axiomas de un espacio topológico hacen que estas celosías sean álgebras de Heyting completas . La teoría de las localizaciones toma esto como punto de partida. Una localidad se define como un álgebra de Heyting completa, y las propiedades elementales de los espacios topológicos se reexpresan y reprueban en estos términos. El concepto de locale resulta ser más general que un espacio topológico, ya que cada espacio topológico sobrio determina una locale única, pero muchas locaciones interesantes no provienen de espacios topológicos. Debido a que las configuraciones regionales no necesitan tener puntos, el estudio de las configuraciones regionales se llama, en broma, topología sin sentido .

Topoi también muestra conexiones profundas con la lógica matemática. Cada topos de Grothendieck tiene un conjunto especial llamado clasificador de subobjetos. Este clasificador de subobjetos funciona como el conjunto de todos los posibles valores de verdad. En los topos de conjuntos, el clasificador de subobjetos es el conjunto , correspondiente a "Falso" y "Verdadero". Pero en otros topoi, el clasificador de subobjetos puede ser mucho más complicado. Lawvere y Tierney reconocieron que axiomatizar el clasificador de subobjetos produjo un tipo más general de topos, ahora conocido como topos elemental , y que los topoi elementales eran modelos de lógica intuicionista . Además de proporcionar una forma poderosa de aplicar herramientas desde la lógica a la geometría, esto hizo posible el uso de métodos geométricos en lógica. ${\ Displaystyle \ {0,1 \}}$

Espacios y estructuras

Según Kevin Carlson,

Ninguna de estas palabras ["espacio" y "estructura"] tiene una definición matemática única. Las palabras en inglés se pueden usar esencialmente en todas las mismas situaciones, pero a menudo se piensa en un "espacio" como más geométrico y en una "estructura" como más algebraica. [...] Entonces, podría pensar en "estructuras" como lugares donde hacemos álgebra, y "espacios" como lugares donde hacemos geometría. Entonces, gran parte de las grandes matemáticas han surgido al pasar de las estructuras a los espacios y viceversa, como cuando miramos el grupo fundamental de un espacio topológico o el espectro de un anillo . Pero al final, la distinción no es dura ni rápida y solo llega hasta cierto punto: muchas cosas son, obviamente, estructuras y espacios, algunas cosas tampoco lo son, y algunas personas podrían estar en desacuerdo con todo lo que he dicho aquí.

No obstante, Bourbaki propuso una definición general de "estructura"; abarca todos los tipos de espacios mencionados anteriormente, (¿casi?) todos los tipos de estructuras matemáticas utilizadas hasta ahora, y más. Proporciona una definición general de isomorfismo y justifica la transferencia de propiedades entre estructuras isomorfas. Sin embargo, nunca se utilizó activamente en la práctica matemática (ni siquiera en los tratados matemáticos escritos por el propio Bourbaki). Aquí están las últimas frases de una reseña de Robert Reed de un libro de Leo Corry:

Corry no parece sentir que ninguna definición formal de estructura pueda hacer justicia al uso del concepto en la práctica matemática real [...] El punto de vista de Corry podría resumirse como la creencia de que "estructura" se refiere esencialmente a una forma de hacer matemáticas y, por lo tanto, es un concepto probablemente tan lejos de ser definible con precisión como el artefacto cultural de las matemáticas en sí.

Para obtener más información sobre estructuras matemáticas, consulte Wikipedia: estructura matemática , definiciones equivalentes de estructuras matemáticas y transporte de estructura .

La distinción entre "espacios" geométricos y "estructuras" algebraicas es a veces clara, a veces escurridiza. Claramente, los grupos son algebraicos, mientras que los espacios euclidianos son geométricos. Los módulos sobre anillos son tan algebraicos como grupos. En particular, cuando el anillo parece ser un campo , el módulo parece ser un espacio lineal ; ¿es algebraico o geométrico? En particular, cuando es de dimensión finita, sobre números reales y dotado de producto interno , se convierte en espacio euclidiano ; ahora geométrico. El campo (¿algebraico?) De los números reales es el mismo que el de la línea real (¿geométrica?) . Su cierre algebraico , el campo (¿algebraico?) De números complejos , es el mismo que el plano complejo (¿geométrico?) . En primer lugar, es "un lugar donde hacemos análisis " (en lugar de álgebra o geometría).

Cada espacio tratado en la Sección " Tipos de espacios " anterior, excepto las subsecciones "Geometría no conmutativa", "Esquemas" y "Topoi", es un conjunto (el "conjunto base principal" de la estructura, según Bourbaki) dotado de alguna estructura adicional; Los elementos del conjunto base suelen denominarse "puntos" de este espacio. Por el contrario, los elementos de (el conjunto base de) una estructura algebraica generalmente no se denominan "puntos".

Sin embargo, a veces se usa más de un conjunto básico principal. Por ejemplo, la geometría proyectiva bidimensional se puede formalizar mediante dos conjuntos de bases , el conjunto de puntos y el conjunto de líneas. Además, una característica sorprendente de los planos proyectivos es la simetría de los roles que juegan los puntos y las líneas . Un ejemplo menos geométrico: un gráfico se puede formalizar a través de dos conjuntos de bases , el conjunto de vértices (también llamados nodos o puntos) y el conjunto de aristas (también llamados arcos o líneas). Generalmente, Bourbaki estipula un número finito de conjuntos de bases principales y un número finito de conjuntos de bases auxiliares .

Muchas estructuras matemáticas de sabor geométrico tratadas en las subsecciones "Geometría no conmutativa", "Esquemas" y "Topoi" anteriores no estipulan un conjunto básico de puntos. Por ejemplo, la " topología sin sentido " (en otras palabras, topología sin puntos o teoría de localizaciones) comienza con un conjunto base único cuyos elementos imitan conjuntos abiertos en un espacio topológico (pero no son conjuntos de puntos); véanse también la mereotopología y la geometría sin puntos .

Espacios matemáticos por nombre

Ver también

• Estructura matemática
• Transporte de estructura
• Set (matemáticas)

Notas

Notas al pie

Referencias

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• Bourbaki, Nicolas , Elementos de las matemáticas , Hermann (original), Addison-Wesley (traducción).
• Bourbaki, Nicolas (1968), Elementos de las matemáticas: teoría de conjuntos , Hermann (original), Addison-Wesley (traducción).
• Eisenbud, David; Harris, Joe (2000), La geometría de los esquemas , Springer-Verlag, doi : 10.1007 / b97680 , ISBN 978-0-387-98638-8.
• Gowers, Timothy ; Barrow-Green, junio; Líder, Imre , eds. (2008), The Princeton Companion to Mathematics , Princeton University Press, ISBN 978-0-691-11880-2.
• Itô, Kiyosi , ed. (1993), Diccionario enciclopédico de matemáticas (segunda ed.), Sociedad matemática de Japón (original), MIT press (traducción).

enlaces externos

• Medios relacionados con el espacio (matemáticas) en Wikimedia Commons
• Matilde Marcolli (2009) La noción de espacio en matemáticas , de Caltech .