Álgebra de von Neumann - Von Neumann algebra

En matemáticas , un álgebra de von Neumann o W * -álgebra es un * -álgebra de operadores acotados en un espacio de Hilbert que está cerrado en la topología de operador débil y contiene el operador de identidad . Es un tipo especial de C * -álgebra .

Las álgebras de Von Neumann fueron introducidas originalmente por John von Neumann , motivado por su estudio de operadores individuales , representaciones de grupos , teoría ergódica y mecánica cuántica . Su teorema del doble conmutador muestra que la definición analítica es equivalente a una definición puramente algebraica como álgebra de simetrías.

Dos ejemplos básicos de álgebras de von Neumann son los siguientes:

Las álgebras de Von Neumann fueron estudiadas por primera vez por von Neumann (1930) en 1929; él y Francis Murray desarrollaron la teoría básica, bajo el nombre original de anillos de operadores , en una serie de artículos escritos en las décadas de 1930 y 1940 (FJ Murray & J. von Neumann  1936 , 1937 , 1943 ; J. von Neumann  1938 , 1940 , 1943 , 1949 ), reimpreso en las obras completas de von Neumann (1961) .

Las descripciones introductorias de las álgebras de von Neumann se dan en las notas en línea de Jones (2003) y Wassermann (1991) y en los libros de Dixmier (1981) , Schwartz (1967) , Blackadar (2005) y Sakai (1971) . El trabajo de tres volúmenes de Takesaki (1979) ofrece una descripción enciclopédica de la teoría. El libro de Connes (1994) analiza temas más avanzados.

Definiciones

Hay tres formas comunes de definir las álgebras de von Neumann.

La primera y más común forma es definirlos como álgebras * débilmente cerradas de operadores acotados (en un espacio de Hilbert) que contienen la identidad. En esta definición los débiles (operador) topología puede ser sustituida por muchas otras topologías comunes , incluyendo los fuertes , ultrafuerte o ultraweak topologías operador. Las * -álgebras de los operadores acotados que están cerrados en la topología normal son C * -álgebras , por lo que en particular cualquier álgebra de von Neumann es una C * -álgebra.

La segunda definición es que un álgebra de von Neumann es una subálgebra de los operadores acotados cerrados bajo involución (la operación *) e igual a su doble conmutador , o equivalentemente el conmutador de alguna subálgebra cerrada bajo *. El teorema del doble conmutador de von Neumann ( von Neumann 1930 ) dice que las dos primeras definiciones son equivalentes.

Las dos primeras definiciones describen un álgebra de von Neumann concretamente como un conjunto de operadores que actúan sobre un espacio de Hilbert dado. Sakai (1971) mostró que las álgebras de von Neumann también se pueden definir de manera abstracta como C * -álgebras que tienen un predual ; en otras palabras, el álgebra de von Neumann, considerado como un espacio de Banach, es el dual de algún otro espacio de Banach llamado predual. El predual de un álgebra de von Neumann es, de hecho, único hasta el isomorfismo. Algunos autores usan "álgebra de von Neumann" para las álgebras junto con una acción espacial de Hilbert, y "W * -algebra" para el concepto abstracto, por lo que un álgebra de von Neumann es una W * -álgebra junto con un espacio de Hilbert y un fiel adecuado. acción unital en el espacio de Hilbert. Las definiciones concretas y abstractas de un álgebra de von Neumann son similares a las definiciones concretas y abstractas de un álgebra C *, que se puede definir como álgebras de operadores de norma cerrada * en un espacio de Hilbert, o como álgebras * de Banach tal que || aa * || = || a || || a * ||.

Terminología

Parte de la terminología de la teoría del álgebra de von Neumann puede resultar confusa, y los términos suelen tener diferentes significados fuera del tema.

  • Un factor es un álgebra de von Neumann con centro trivial, es decir, un centro que consta únicamente de operadores escalares.
  • A finito álgebra de von Neumann es uno que es la integral directa de factores finitos (es decir, el álgebra de von Neumann tiene un fiel normales tracial τ estado: M → ℂ, ver http://perso.ens-lyon.fr/gaboriau/evenements/ IHP-trimester / IHP-CIRM / Notes = Cyril = finite-vonNeumann.pdf ). De manera similar, las álgebras de von Neumann propiamente infinitas son la integral directa de factores propiamente infinitos.
  • Un álgebra de von Neumann que actúa sobre un espacio de Hilbert separable se llama separable . Tenga en cuenta que tales álgebras rara vez son separables en la topología normal.
  • El álgebra de von Neumann generada por un conjunto de operadores acotados en un espacio de Hilbert es el álgebra de von Neumann más pequeña que contiene todos esos operadores.
  • El producto tensorial de dos álgebras de von Neumann que actúan sobre dos espacios de Hilbert se define como el álgebra de von Neumann generada por su producto tensorial algebraico, considerados como operadores en el producto tensorial del espacio de Hilbert de los espacios de Hilbert.

Al olvidarnos de la topología en un álgebra de von Neumann, podemos considerarlo un (unital) * -álgebra , o simplemente un anillo. Las álgebras de Von Neumann son semihereditarias : cada submódulo generado de forma finita de un módulo proyectivo es proyectivo en sí mismo. Ha habido varios intentos de axiomatizar los anillos subyacentes de las álgebras de von Neumann, incluidos los anillos de Baer * y las álgebras AW * . El álgebra * de los operadores afiliados de un álgebra de von Neumann finita es un anillo regular de von Neumann . (En general, el álgebra de von Neumann no es regular de von Neumann).

Álgebras conmutativas de von Neumann

La relación entre las álgebras conmutativas de von Neumann y los espacios de medida es análoga a la que existe entre las álgebras C * conmutativas y los espacios de Hausdorff localmente compactos . Cada álgebra de von Neumann conmutativa es isomórfica a L ( X ) para algún espacio de medida ( X , μ) y, a la inversa, para cada espacio de medida σ-finito X , el * -álgebra L ( X ) es un álgebra de von Neumann.

Debido a esta analogía, la teoría de las álgebras de von Neumann se ha denominado teoría de la medida no conmutativa, mientras que la teoría de las álgebras C * a veces se denomina topología no conmutativa ( Connes 1994 ).

Proyecciones

Los operadores E en un álgebra de von Neumann para los que E = EE = E * se denominan proyecciones ; son exactamente los operadores que dan una proyección ortogonal de H sobre algún subespacio cerrado. Un subespacio del espacio de Hilbert H se dice que pertenecen a la álgebra de von Neumann M si es la imagen de un poco de proyección en M . Esto establece una correspondencia 1: 1 entre las proyecciones de M y subespacios que pertenecen a M . Informalmente, estos son los subespacios cerrados que se pueden describir usando elementos de M , o que M "conoce".

Se puede demostrar que el cierre de la imagen de cualquier operador en M y el núcleo de cualquier operador en M pertenece a M . También, el cierre de la imagen bajo un operador de M de cualquier subespacio que pertenece a M también pertenece a M . (Estos resultados son consecuencia de la descomposición polar ).

Teoría comparativa de proyecciones

La teoría básica de las proyecciones fue elaborada por Murray y von Neumann (1936) . Dos subespacios pertenecientes a M se denominan equivalentes ( Murray-von Neumann ) si hay una isometría parcial que mapea el primero isomórficamente sobre el otro que es un elemento del álgebra de von Neumann (informalmente, si M "sabe" que los subespacios son isomórficos) . Esto induce una relación de equivalencia natural en las proyecciones al definir E como equivalente a F si los subespacios correspondientes son equivalentes, o en otras palabras, si hay una isometría parcial de H que mapea la imagen de E isométricamente con la imagen de F y es una elemento del álgebra de von Neumann. Otra forma de expresar esto es que E es equivalente a F si E = uu * y F = U * U para algunos isometría parcial u en M .

La relación de equivalencia ~ así definida es aditiva en el siguiente sentido: Suponga que E 1 ~ F 1 y E 2 ~ F 2 . Si E 1E 2 y F 1F 2 , entonces E 1 + E 2 ~ F 1 + F 2 . La aditividad generalmente no se mantendría si se requiriera equivalencia unitaria en la definición de ~, es decir, si decimos que E es equivalente a F si u * Eu = F para alguna u unitaria .

Los subespacios pertenecientes a M están ordenados parcialmente por inclusión, lo que induce un orden parcial ≤ de proyecciones. También hay un orden parcial natural en el conjunto de clases de equivalencia de proyecciones, inducido por el orden parcial ≤ de proyecciones. Si M es un factor, ≤ es un orden total en las clases de equivalencia de proyecciones, que se describe en la sección sobre trazas a continuación.

Una proyección (o subespacio que pertenece a M ) E se dice que es una proyección finito si no hay proyección F < E (es decir, FE y FE ) que es equivalente a E . Por ejemplo, todas las proyecciones (o subespacios) de dimensión finita son finitas (ya que las isometrías entre los espacios de Hilbert dejan la dimensión fija), pero el operador de identidad en un espacio de Hilbert de dimensión infinita no es finito en el álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados en porque es isométricamente isomorfo a un subconjunto propio de sí mismo. Sin embargo, es posible que los subespacios de dimensión infinita sean finitos.

Las proyecciones ortogonales son análogos no conmutativos de funciones indicadoras en L ( R ). L ( R ) es el || · || -cierre del subespacio generado por las funciones del indicador. De manera similar, sus proyecciones generan un álgebra de von Neumann; esto es una consecuencia del teorema espectral para operadores autoadjuntos .

Las proyecciones de un factor finito forman una geometría continua .

Factores

Un álgebra N de von Neumann cuyo centro consta solo de múltiplos del operador de identidad se llama factor . Von Neumann (1949) mostró que cada álgebra de von Neumann en un espacio de Hilbert separable es isomorfa a una integral directa de factores. Esta descomposición es esencialmente única. Por tanto, el problema de clasificar clases de isomorfismo de álgebras de von Neumann en espacios de Hilbert separables puede reducirse al de clasificar clases de isomorfismo de factores.

Murray y von Neumann (1936) demostraron que cada factor tiene uno de los 3 tipos que se describen a continuación. La clasificación de tipos puede extenderse a álgebras de von Neumann que no son factores, y un álgebra de von Neumann es de tipo X si puede descomponerse como una integral directa de factores de tipo X; por ejemplo, todo álgebra de von Neumann conmutativa tiene tipo I 1 . Cada álgebra de von Neumann se puede escribir de forma única como una suma de las álgebras de von Neumann de los tipos I, II y III.

Hay varias otras formas de dividir factores en clases que a veces se utilizan:

  • Un factor se llama discreto (u ocasionalmente manso ) si tiene el tipo I, y continuo (u ocasionalmente salvaje ) si tiene el tipo II o III.
  • Un factor se llama semifinito si tiene tipo I o II, y puramente infinito si tiene tipo III.
  • Un factor se llama finito si la proyección 1 es finita y propiamente infinita en caso contrario. Los factores de los tipos I y II pueden ser finitos o propiamente infinitos, pero los factores de tipo III siempre son propiamente infinitos.

Factores de tipo I

Se dice que un factor es de tipo I si hay una proyección mínima E ≠ 0 , es decir, una proyección E tal que no hay otra proyección F con 0 < F < E . Cualquier factor de tipo I es isomorfo al álgebra de von Neumann de todos los operadores acotados en algún espacio de Hilbert; dado que hay un espacio de Hilbert para cada número cardinal , las clases de isomorfismo de factores de tipo I corresponden exactamente a los números cardinales. Dado que muchos autores consideran las álgebras de von Neumann solo en espacios de Hilbert separables, se acostumbra llamar a los operadores acotados en un espacio de Hilbert de dimensión finita n un factor de tipo I n , y a los operadores acotados en un espacio de Hilbert de dimensión infinita separable, a factor de tipo I .

Factores de tipo II

Se dice que un factor es de tipo II si no hay proyecciones mínimas pero hay proyecciones finitas distintas de cero . Esto implica que cada proyección E puede ser “reducido a la mitad” en el sentido de que hay dos salientes F y G que son Murray-von Neumann equivalente y satisfacer E = F + G . Si el operador de identidad en un factor de tipo II es finito, se dice que el factor es de tipo II 1 ; de lo contrario, se dice que es del tipo II . Los factores mejor entendidos de tipo II son el tipo hyperfinite II 1 factor de y el tipo hyperfinite II factor de , encontrado por Murray & von Neumann (1936) . Estos son los factores hiperfinitos únicos de los tipos II 1 y II ; Hay un número incontable de otros factores de este tipo que son objeto de un estudio intensivo. Murray y von Neumann (1937) demostraron el resultado fundamental de que un factor de tipo II 1 tiene un estado tracial finito único, y el conjunto de trazas de proyecciones es [0,1].

Un factor de tipo II tiene una traza semifinita, única hasta el cambio de escala, y el conjunto de trazas de proyecciones es [0, ∞]. El conjunto de números reales λ tal que hay un automorfismo que cambia la escala de la traza por un factor de λ se denomina grupo fundamental del factor de tipo II .

El producto tensorial de un factor de tipo II 1 y un factor de tipo I infinito tiene tipo II y, a la inversa, cualquier factor de tipo II puede construirse así. El grupo fundamental de un factor de tipo II 1 se define como el grupo fundamental de su producto tensorial con el factor infinito (separable) de tipo I. Durante muchos años fue un problema abierto encontrar un factor de tipo II cuyo grupo fundamental no fuera el grupo de reales positivos , pero Connes luego demostró que el álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto contable con la propiedad de Kazhdan (T) (la representación trivial está aislada en el espacio dual), como SL (3, Z ), tiene un grupo fundamental contable. Posteriormente, Sorin Popa demostró que el grupo fundamental puede ser trivial para ciertos grupos, incluido el producto semidirecto de Z 2 por SL (2, Z ).

Un ejemplo de un factor de tipo II 1 es el álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto infinito contable de modo que toda clase de conjugación no trivial es infinita. McDuff (1969) encontró una familia incontable de tales grupos con álgebras de grupo de von Neumann no isomórficas, mostrando así la existencia de incontables factores de tipo II 1 separables diferentes .

Factores de tipo III

Por último, los factores de tipo III son factores que no contienen ninguna proyección finita distinta de cero. En su primer artículo, Murray y von Neumann (1936) no pudieron decidir si existían o no; los primeros ejemplos fueron encontrados más tarde por von Neumann (1940) . Dado que el operador de identidad es siempre infinito en esos factores, a veces se los llamaba tipo III en el pasado, pero recientemente esa notación ha sido reemplazada por la notación III λ , donde λ es un número real en el intervalo [0,1]. Más precisamente, si el espectro de Connes (de su grupo modular) es 1, entonces el factor es de tipo III 0 , si el espectro de Connes son todas las potencias integrales de λ para 0 <λ <1, entonces el tipo es III λ , y si el espectro de Connes es todos reales positivos, entonces el tipo es III 1 . (El espectro de Connes es un subgrupo cerrado de los reales positivos, por lo que estas son las únicas posibilidades). La única traza en los factores de tipo III toma el valor ∞ en todos los elementos positivos distintos de cero, y dos proyecciones distintas de cero son equivalentes. En un momento, los factores de tipo III se consideraban objetos intratables, pero la teoría de Tomita-Takesaki ha llevado a una buena teoría de la estructura. En particular, cualquier factor de tipo III se puede escribir de forma canónica como el producto cruzado de un factor de tipo II y los números reales.

El predual

Cualquier von Neumann álgebra M tiene un predual M * , que es el espacio de Banach de todas funcionales lineales ultradébilmente continuas en M . Como sugiere el nombre, M es (como un espacio de Banach) el dual de su predual. El predual es único en el sentido de que cualquier otro espacio de Banach cuyo dual sea M es canónicamente isomorfo a M . Sakai (1971) mostró que la existencia de un predual caracteriza las álgebras de von Neumann entre las álgebras C *.

La definición de predual dada arriba parece depender de la elección del espacio de Hilbert sobre el que actúa M , ya que esto determina la topología ultradebil. Sin embargo, el predual también se puede definir sin utilizar el espacio de Hilbert que M actúa sobre, definiendo a ser el espacio generado por todos los positivos normales funcionales lineales sobre M . (Aquí "normal" significa que conserva suprema cuando se aplica a redes crecientes de operadores autoadjuntos; o de manera equivalente a secuencias crecientes de proyecciones).

El predual M es un subespacio cerrado del dual M * (que consta de todos los funcionales lineales continuos de norma en M ) pero generalmente es más pequeño. La prueba de que M (generalmente) no es lo mismo que M * no es constructiva y usa el axioma de elección de manera esencial; es muy difícil exhibir elementos explícitos de M * que no estén en M . Por ejemplo, las formas lineales positivas exóticas en el álgebra de von Neumann l ( Z ) vienen dadas por ultrafiltros libres ; que corresponden a * -homomorphisms exóticas en C y describen la compactación de Stone-Čech de Z .

Ejemplos:

  1. El predual del álgebra de von Neumann L ( R ) de funciones esencialmente acotadas en R es el espacio de Banach L 1 ( R ) de funciones integrables. El dual de L ( R ) es estrictamente mayor que L 1 ( R ) Por ejemplo, un funcional en L ( R ) que extiende la medida de Dirac δ 0 en el subespacio cerrado de funciones continuas acotadas C 0 b ( R ) no puede representarse como una función en L 1 ( R ).
  2. El predual del álgebra de von Neumann B ( H ) de operadores acotados en un espacio de Hilbert H es el espacio de Banach de todos los operadores de clase de trazas con la norma de trazas || A || = Tr (| A |). El espacio de Banach de operadores de clases de trazas es en sí mismo el dual del álgebra C * de operadores compactos (que no es un álgebra de von Neumann).

Pesos, estados y trazas

Los pesos y sus estados y trazas de casos especiales se discuten en detalle en ( Takesaki 1979 ).

  • Un peso ω en un álgebra de von Neumann es un mapa lineal del conjunto de elementos positivos (los de la forma a * a ) a [0, ∞].
  • Un funcional lineal positivo es un peso con ω (1) finito (o más bien la extensión de ω a todo el álgebra por linealidad).
  • Un estado es un peso con ω (1) = 1.
  • Una traza es un peso con ω ( aa * ) = ω ( a * a ) para todo a .
  • Un estado tracial es una traza con ω (1) = 1.

Cualquier factor tiene una traza tal que la traza de una proyección distinta de cero es distinta de cero y la traza de una proyección es infinita si y solo si la proyección es infinita. Este rastro es único hasta el cambio de escala. Para factores separables o finitos, dos proyecciones son equivalentes si y solo si tienen la misma traza. El tipo de un factor se puede leer a partir de los posibles valores de esta traza sobre las proyecciones del factor, de la siguiente manera:

  • Escriba I n : 0, x , 2 x , ...., nx para alguna x positiva (normalmente normalizada para ser 1 / n o 1).
  • Escriba I : 0, x , 2 x , ...., ∞ para alguna x positiva (normalmente normalizada a 1).
  • Tipo II 1 : [0, x ] para alguna x positiva (normalmente normalizada a 1).
  • Tipo II : [0, ∞].
  • Tipo III: {0, ∞}.

Si un álgebra de von Neumann actúa sobre un espacio de Hilbert que contiene un vector v de norma 1 , entonces el funcional a → ( av , v ) es un estado normal. Esta construcción se puede invertir para dar una acción en un espacio de Hilbert desde un estado normal: esta es la construcción GNS para estados normales.

Módulos sobre un factor

Dado un factor separable abstracto, se puede solicitar una clasificación de sus módulos, es decir, los espacios de Hilbert separables sobre los que actúa. La respuesta se da de la siguiente manera: a cada módulo H se le puede dar una dimensión M dim M ( H ) (no su dimensión como un espacio vectorial complejo) de modo que los módulos sean isomorfos si y solo si tienen la misma dimensión M. La dimensión M es aditiva, y un módulo es isomorfo a un subespacio de otro módulo si y solo si tiene una dimensión M menor o igual .

Un módulo se llama estándar si tiene un vector de separación cíclico. Cada factor tiene una representación estándar, que es única hasta el isomorfismo. La representación estándar tiene una involución antilineal J tal que JMJ = M ′ . Para factores finitos, el módulo estándar viene dado por la construcción GNS aplicada al estado tracial normal único y la dimensión M se normaliza de modo que el módulo estándar tiene M -dimensión 1, mientras que para factores infinitos el módulo estándar es el módulo con M - dimensión igual a ∞.

Las posibles dimensiones M de los módulos se indican a continuación:

  • Tipo I n ( n finito): La dimensión M puede ser cualquiera de 0 / n , 1 / n , 2 / n , 3 / n , ..., ∞. El módulo estándar tiene dimensión M 1 (y dimensión compleja n 2 ).
  • Tipo I La dimensión M puede ser cualquiera de 0, 1, 2, 3, ..., ∞. La representación estándar de B ( H ) es HH ; su dimensión M es ∞.
  • Tipo II 1 : La dimensión M puede ser cualquier cosa en [0, ∞]. Se normalizado de modo que el módulo estándar tiene M -Dimensiones 1. El M -Dimensiones también se llama la constante de acoplamiento del módulo de H .
  • Tipo II : La dimensión M puede ser cualquier cosa en [0, ∞]. En general, no existe una forma canónica de normalizarlo; el factor puede tener automorfismos externos que multipliquen la dimensión M por constantes. La representación estándar es la que tiene dimensión M ∞.
  • Tipo III: La dimensión M puede ser 0 o ∞. Dos módulos distintos de cero son isomorfos y todos los módulos distintos de cero son estándar.

Álgebras de von Neumann susceptibles

Connes (1976) y otros demostraron que las siguientes condiciones en un álgebra de von Neumann M en un espacio separable de Hilbert H son todas equivalentes :

  • M es hiperfinita o AFD o aproximadamente de dimensión finita o aproximadamente finita : esto significa que el álgebra contiene una secuencia ascendente de subálgebras de dimensión finita con unión densa. (Advertencia: algunos autores usan "hiperfinito" para significar "AFD y finito").
  • M es susceptible : esto significa que las derivaciones de M con valores en un bimódulo dual normal de Banach son todas internas.
  • M tiene de Schwartz propiedad P : para cualquier operador acotado T en H el operador débil cerrado envolvente convexa de los elementos UTU * contiene un elemento de trayecto, con M .
  • M es semidiscreto : esto significa que el mapa de identidad de M a M es un límite puntual débil de mapas completamente positivos de rango finito.
  • M tiene la propiedad E o la propiedad de extensión Hakeda-Tomiyama : esto significa que hay una proyección de la norma 1 de operadores acotados en H a M '.
  • M es inyectiva : cualquier mapa lineal completamente positivo de cualquier subespacio cerrado auto adjunto que contiene 1 de cualquier C unital * -algebra A a M se puede extender a un mapa completamente positivos de A a M .

No existe un término generalmente aceptado para la clase de álgebras anterior; Connes ha sugerido que dócil debería ser el término estándar.

Se han clasificado los factores susceptibles de ser tratados: existe uno único de cada uno de los tipos I n , I , II 1 , II , III λ , para 0 <λ ≤ 1, y los del tipo III 0 corresponden a determinados ergódicos fluye. (Para el tipo III 0 llamar a esto una clasificación es un poco engañoso, ya que se sabe que no hay una manera fácil de clasificar los correspondientes flujos ergódicos). Los de tipo I y II 1 fueron clasificados por Murray & von Neumann (1943) , y los restantes fueron clasificados por Connes (1976) , a excepción del caso tipo III 1 que fue completado por Haagerup.

Todos los factores susceptibles de ser tratados se pueden construir utilizando la construcción espacial de medidas grupales de Murray y von Neumann para una única transformación ergódica . De hecho, son precisamente los factores que surgen como productos cruzados por acciones ergódicas libres de Z o Z / nZ sobre álgebras abelianas de von Neumann L ( X ). Los factores de tipo I ocurren cuando el espacio de medida X es atómico y la acción transitiva. Cuando X es difuso o no atómico , equivale a [0,1] como espacio de medida . Tipo factores II se producen cuando X admite un equivalente finito (II 1 ) o infinita (II ) medida, invariante bajo una acción de Z . Los factores de tipo III ocurren en los casos restantes donde no hay una medida invariante, sino solo una clase de medida invariante : estos factores se denominan factores de Krieger .

Productos tensoriales de las álgebras de von Neumann

El producto del tensor espacial de Hilbert de dos espacios de Hilbert es la finalización de su producto tensorial algebraico. Se puede definir un producto tensorial de las álgebras de von Neumann (una terminación del producto tensorial algebraico de las álgebras consideradas como anillos), que es nuevamente un álgebra de von Neumann, y actuar sobre el producto tensorial de los espacios de Hilbert correspondientes. El producto tensorial de dos álgebras finitas es finito, y el producto tensorial de un álgebra infinita y un álgebra distinta de cero es infinito. El tipo del producto tensorial de dos álgebras de von Neumann (I, II o III) es el máximo de sus tipos. El teorema de conmutación para productos tensoriales establece que

donde M 'denota el commutant de M .

El producto tensorial de un número infinito de álgebras de von Neumann, si se hace ingenuamente, suele ser un álgebra no separable ridículamente grande. En cambio, von Neumann (1938) mostró que se debe elegir un estado en cada una de las álgebras de von Neumann, usar esto para definir un estado en el producto del tensor algebraico, que se puede usar para producir un espacio de Hilbert y un espacio de Hilbert (razonablemente pequeño) de von Neumann. álgebra. Araki y Woods (1968) estudiaron el caso donde todos los factores son álgebras de matrices finitas; estos factores se denominan factores de Araki-Woods o factores ITPFI (ITPFI significa "producto tensorial infinito de factores finitos de tipo I"). El tipo del producto tensorial infinito puede variar drásticamente a medida que cambian los estados; por ejemplo, el producto tensorial infinito de un número infinito de factores de tipo I 2 puede tener cualquier tipo dependiendo de la elección de los estados. En particular, Powers (1967) encontró una familia incontable de factores λ de tipo III hiperfinitos no isomórficos para 0 <λ <1, llamados factores de Powers , tomando un producto tensorial infinito de factores de tipo I 2 , cada uno con el estado dado por:

Todas las álgebras de von Neumann hiperfinitas que no son de tipo III 0 son isomórficas a los factores de Araki-Woods, pero hay incontables muchas de las de tipo III 0 que no lo son.

Bimódulos y subfactores

Un bimódulo (o correspondencia) es un espacio de Hilbert H con acciones de módulo de dos álgebras de von Neumann conmutadas. Los bimódulos tienen una estructura mucho más rica que la de los módulos. Cualquier bimódulo sobre dos factores siempre da un subfactor, ya que uno de los factores siempre está contenido en el conmutador del otro. También hay una sutil operación de producto de tensor relativo debido a Connes en bimodules. La teoría de los subfactores, iniciada por Vaughan Jones , reconcilia estos dos puntos de vista aparentemente diferentes.

Los bimódulos también son importantes para el álgebra de grupo M de von Neumann de un grupo discreto Γ. De hecho, si V es una representación unitaria de Γ, entonces, considerando Γ como el subgrupo diagonal de Γ × Γ, la representación inducida correspondiente en l 2 (Γ, V ) es, naturalmente, un bimódulo para dos copias de M conmutadas . Las propiedades teóricas de representación importantes de Γ se pueden formular completamente en términos de bimódulos y, por lo tanto, tienen sentido para el álgebra de von Neumann en sí. Por ejemplo, Connes y Jones dieron una definición de un análogo de la propiedad de Kazhdan (T) para las álgebras de von Neumann de esta manera.

Factores no susceptibles

Las álgebras de Von Neumann de tipo I siempre son susceptibles de ser tratadas, pero para los otros tipos hay un número incontable de diferentes factores no susceptibles de ser tratados, que parecen muy difíciles de clasificar, o incluso distinguir entre sí. Sin embargo, Voiculescu ha demostrado que la clase de factores no susceptibles de tratamiento que provienen de la construcción del espacio de medida de grupo es disjunta de la clase que proviene de las álgebras de grupos libres de von Neumann. Más tarde, Narutaka Ozawa demostró que las álgebras de grupo de von Neumann de grupos hiperbólicos producen factores primos de tipo II 1 , es decir, aquellos que no pueden factorizarse como productos tensoriales de factores de tipo II 1 , un resultado que Leeming Ge demostró por primera vez para factores de grupo libre utilizando la entropía libre de Voiculescu . El trabajo de Popa sobre grupos fundamentales de factores no tratables representa otro avance significativo. La teoría de los factores "más allá de lo hiperfinito" se está expandiendo rápidamente en la actualidad, con muchos resultados nuevos y sorprendentes; tiene estrechos vínculos con los fenómenos de rigidez en la teoría de grupos geométricos y la teoría ergódica .

Ejemplos de

  • Las funciones esencialmente acotadas en un espacio de medida σ-finito forman un álgebra de von Neumann conmutativa (tipo I 1 ) que actúa sobre las funciones L 2 . Para ciertos espacios de medida no σ-finitos, generalmente considerados patológicos , L ( X ) no es un álgebra de von Neumann; por ejemplo, el σ-álgebra de conjuntos medibles podría ser el álgebra contable-contable en un conjunto incontable. Un teorema de aproximación fundamental puede representarse mediante el teorema de densidad de Kaplansky .
  • Los operadores acotados en cualquier espacio de Hilbert forman un álgebra de von Neumann, de hecho un factor, de tipo I.
  • Si tenemos alguna representación unitaria de un grupo G en un espacio de Hilbert H entonces los operadores acotados de trayecto con G formar un álgebra de von Neumann G ', cuyas proyecciones corresponden exactamente a los subespacios cerrados de H invariante bajo G . Las subrepresentaciones equivalentes corresponden a proyecciones equivalentes en G ′. El doble conmutador G ′ ′ de G también es un álgebra de von Neumann.
  • El álgebra de grupo de von Neumann de un grupo discreto G es el álgebra de todos los operadores acotados en H = l 2 ( G ) conmutando con la acción de G sobre H a través de la multiplicación por la derecha. Se puede demostrar que este es el álgebra de von Neumann generada por los operadores correspondientes a la multiplicación por la izquierda con un elemento gG . Es un factor (de tipo II 1 ) si cada clase de conjugación no trivial de G es infinita (por ejemplo, un grupo libre no abeliano), y es el factor hiperfinito de tipo II 1 si además G es una unión de subgrupos finitos (por ejemplo, el grupo de todas las permutaciones de los enteros que fijan todos menos un número finito de elementos).
  • El producto tensorial de dos álgebras de von Neumann, o de un número contable con estados, es un álgebra de von Neumann como se describe en la sección anterior.
  • El producto cruzado de un álgebra de von Neumann por un grupo discreto (o más generalmente localmente compacto) se puede definir y es un álgebra de von Neumann. Casos especiales son la construcción espacial de medidas grupales de factores de Murray y von Neumann y Krieger .
  • Se pueden definir las álgebras de von Neumann de una relación de equivalencia medible y un grupoide medible . Estos ejemplos generalizan las álgebras de grupo de von Neumann y la construcción del espacio de medida de grupo.

Aplicaciones

Las álgebras de Von Neumann han encontrado aplicaciones en diversas áreas de las matemáticas como la teoría de nudos , la mecánica estadística , la teoría cuántica de campos , la física cuántica local , la probabilidad libre , la geometría no conmutativa , la teoría de la representación , la geometría y la probabilidad .

Por ejemplo, C * -algebra proporciona una axiomatización alternativa a la teoría de la probabilidad. En este caso, el método se conoce con el nombre de construcción Gelfand – Naimark – Segal . Esto es análogo a los dos enfoques de medición e integración, donde uno tiene la opción de construir medidas de conjuntos primero y definir integrales después, o construir integrales primero y definir medidas de conjuntos como integrales de funciones características.

Ver también

Referencias

  • Araki, H .; Woods, EJ (1968), "Una clasificación de factores", Publ. Res. Inst. Matemáticas. Sci. Ser. A , 4 (1): 51–130, doi : 10.2977 / prims / 1195195263Señor 0244773
  • Blackadar, B. (2005), álgebras de operadores , Springer, ISBN 3-540-28486-9, manuscrito corregido (PDF) , 2013
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