Conjunto Borel - Borel set

En matemáticas , un conjunto Borel es cualquier conjunto en un espacio topológico que se pueden formar a partir de conjuntos abiertos (o, equivalentemente, a partir de conjuntos cerrados ) a través de las operaciones de contable unión , contable intersección , y complemento relativa . Los conjuntos de Borel llevan el nombre de Émile Borel .

Para un espacio topológico X , la colección de todos los conjuntos de Borel en X forma una σ-álgebra , conocida como álgebra de Borel o σ-álgebra de Borel . El álgebra de Borel en X es el σ-álgebra más pequeño que contiene todos los conjuntos abiertos (o, de manera equivalente, todos los conjuntos cerrados).

Los conjuntos de Borel son importantes en la teoría de medidas , ya que cualquier medida definida en los conjuntos abiertos de un espacio, o en los conjuntos cerrados de un espacio, también debe definirse en todos los conjuntos de Borel de ese espacio. Cualquier medida definida en los conjuntos Borel se denomina medida Borel . Los conjuntos de Borel y la jerarquía de Borel asociada también juegan un papel fundamental en la teoría descriptiva de conjuntos .

En algunos contextos, los conjuntos de Borel se definen para ser generados por los conjuntos compactos del espacio topológico, en lugar de los conjuntos abiertos. Las dos definiciones son equivalentes para muchos espacios de buen comportamiento , incluidos todos los espacios σ-compactos de Hausdorff , pero pueden ser diferentes en espacios más patológicos .

Generando el álgebra de Borel

En el caso de que X sea ​​un espacio métrico , el álgebra de Borel en el primer sentido puede describirse generativamente como sigue.

Para una colección T de subconjuntos de X (es decir, para cualquier subconjunto del conjunto de potencias P ( X ) de X ), sea

• ${\ Displaystyle T _ {\ sigma}}$ser todas las uniones contables de elementos de T
• ${\ Displaystyle T _ {\ delta}}$ser todas las intersecciones contables de elementos de T
• ${\ Displaystyle T _ {\ delta \ sigma} = (T _ {\ delta}) _ {\ sigma}.}$

Ahora defina por inducción transfinita una secuencia G ^m , donde m es un número ordinal , de la siguiente manera:

• Para el caso base de la definición, vamos a ser la colección de subconjuntos abiertos de X .${\ Displaystyle G ^ {0}}$
• Si i no es un ordinal límite , entonces i tiene un ordinal inmediatamente anterior i - 1. Sea
  $${\ Displaystyle G ^ {i} = [G ^ {i-1}] _ {\ delta \ sigma}.}$$

  
• Si i es un ordinal límite, establezca
  $${\ Displaystyle G ^ {i} = \ bigcup _ {j <i} G ^ {j}.}$$

  

La afirmación es que el álgebra de Borel es G ^{ω ₁} , donde ω ₁ es el primer número ordinal incontable . Es decir, el álgebra de Borel se puede generar a partir de la clase de conjuntos abiertos iterando la operación

$${\ Displaystyle G \ mapsto G _ {\ delta \ sigma}.}$$

Para probar esta afirmación, tenga en cuenta que cualquier conjunto abierto en un espacio métrico es la unión de una secuencia creciente de conjuntos cerrados. En particular, la complementación de conjuntos mapea G ^m en sí misma para cualquier límite ordinal m ; además, si m es un ordinal límite incontable, G ^m se cierra bajo uniones contables.

Tenga en cuenta que para cada conjunto Borel B , hay una cierta contable ordinal α _B tal que B se puede obtener mediante la iteración de la operación sobre α _B . Sin embargo, como B varía en todos los conjuntos de Borel, α _B variará en todos los ordinales contables y, por lo tanto, el primer ordinal en el que se obtienen todos los conjuntos de Borel es ω ₁ , el primer ordinal incontable.

Ejemplo

Un ejemplo importante, especialmente en la teoría de la probabilidad , es el álgebra de Borel sobre el conjunto de números reales . Es el álgebra en la que se define la medida de Borel . Dada una variable aleatoria real definida en un espacio de probabilidad , su distribución de probabilidad es, por definición, también una medida del álgebra de Borel.

El álgebra de Borel en los reales es el σ-álgebra más pequeño en R que contiene todos los intervalos .

En la construcción por inducción transfinita, se puede demostrar que, en cada paso, el número de conjuntos es, como máximo, la cardinalidad del continuo . Entonces, el número total de conjuntos de Borel es menor o igual a

$${\ Displaystyle \ aleph _ {1} \ cdot 2 ^ {\ aleph _ {0}} \, = 2 ^ {\ aleph _ {0}}.}$$

De hecho, la cardinalidad de la colección de conjuntos de Borel es igual a la del continuo (compárese con el número de conjuntos medibles de Lebesgue que existen, que es estrictamente mayor e igual a ). ${\ Displaystyle 2 ^ {2 ^ {\ aleph _ {0}}}}$

Espacios de Borel estándar y teoremas de Kuratowski

Sea X un espacio topológico. El espacio Borel asociado a X es el par ( X , B ), donde B es la σ-álgebra de conjuntos de Borel de X .

George Mackey definió un espacio de Borel de manera algo diferente, escribiendo que es "un conjunto junto con un distinguido campo σ de subconjuntos llamados sus conjuntos de Borel". Sin embargo, el uso moderno es llamar a la subálgebra distinguida los conjuntos mensurables y tales espacios espacios mensurables . La razón de esta distinción es que los conjuntos de Borel son el σ-álgebra generada por conjuntos abiertos (de un espacio topológico), mientras que la definición de Mackey se refiere a un conjunto equipado con un σ-álgebra arbitraria . Existen espacios medibles que no son espacios de Borel, para cualquier elección de topología en el espacio subyacente.

Los espacios medibles forman una categoría en la que los morfismos son funciones medibles entre espacios medibles. Una función es medible si se tira hacia atrás conjuntos medibles, es decir, para todos los conjuntos medibles B en Y , el conjunto se puede medir en X . ${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (B)}$

Teorema . Sea X un espacio polaco , es decir, un espacio topológico tal que exista una métrica d en X que defina la topología de X y que haga de X un espacio métrico completo separable . Entonces X como un espacio de Borel es isomorfo a uno de

1. R ,
2. Z ,
3. un espacio finito.

(Este resultado recuerda al teorema de Maharam ).

Considerados como espacios de Borel, la recta real R , la unión de R con un conjunto contable y R ⁿ son isomorfos.

Un espacio Borel estándar es el espacio Borel asociado a un espacio polaco . Un espacio Borel estándar se caracteriza hasta el isomorfismo por su cardinalidad, y cualquier espacio Borel estándar incontable tiene la cardinalidad del continuo.

Para subconjuntos de espacios polacos, los conjuntos de Borel se pueden caracterizar como aquellos conjuntos que son los rangos de mapas inyectables continuos definidos en espacios polacos. Sin embargo, tenga en cuenta que el rango de un mapa continuo no inyectivo puede no ser Borel. Ver conjunto analítico .

Cada medida de probabilidad en un espacio Borel estándar lo convierte en un espacio de probabilidad estándar .

Conjuntos no Borel

A continuación se describe un ejemplo de un subconjunto de reales que no es Borel, debido a Lusin . Por el contrario, no se puede exhibir un ejemplo de un conjunto no medible , aunque se puede probar su existencia.

Cada número irracional tiene una representación única por una fracción continua infinita

${\ displaystyle x = a_ {0} + {\ cfrac {1} {a_ {1} + {\ cfrac {1} {a_ {2} + {\ cfrac {1} {a_ {3} + {\ cfrac { 1} {\ ddots \,}}}}}}}}}$

donde es un número entero y todos los demás números son números enteros positivos . Sea el conjunto de todos los números irracionales que corresponden a secuencias con la siguiente propiedad: existe una subsecuencia infinita tal que cada elemento es un divisor del siguiente elemento. Este conjunto no es Borel. De hecho, es analítico y completo en la clase de conjuntos analíticos. Para obtener más detalles, consulte la teoría descriptiva de conjuntos y el libro de Kechris , especialmente el ejercicio (27.2) en la página 209, la definición (22.9) en la página 169 y el ejercicio (3.4) (ii) en la página 14. ${\ Displaystyle a_ {0}}$${\ Displaystyle a_ {k}}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle (a_ {0}, a_ {1}, \ dots)}$ ${\ Displaystyle (a_ {k_ {0}}, a_ {k_ {1}}, \ dots)}$${\ Displaystyle A}$

Es importante tener en cuenta que, si bien se puede construir en ZF, no se puede probar que no sea Borel solo en ZF. De hecho, es consistente con ZF que es una unión contable de conjuntos contables, por lo que cualquier subconjunto de es un conjunto de Borel. ${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$

Otro conjunto que no es de Borel es una imagen inversa de una función de paridad infinita . Sin embargo, esta es una prueba de existencia (a través del axioma de elección), no un ejemplo explícito. ${\ displaystyle f ^ {- 1} [0]}$ ${\ Displaystyle f \ colon \ {0,1 \} ^ {\ omega} \ to \ {0,1 \}}$

Definiciones alternativas no equivalentes

Según Paul Halmos , un subconjunto de un espacio topológico de Hausdorff localmente compacto se denomina conjunto de Borel si pertenece al anillo σ más pequeño que contiene todos los conjuntos compactos.

Norberg y Vervaat redefinen el álgebra de Borel de un espacio topológico como el –álgebra generada por sus subconjuntos abiertos y sus subconjuntos saturados compactos . Esta definición es muy adecuada para aplicaciones en el caso de que no sea Hausdorff. Coincide con la definición habitual si es el segundo contable o si cada subconjunto saturado compacto es cerrado (que es el caso en particular si es Hausdorff). ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ sigma}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Ver también

• Conjunto Baire
• Σ-álgebra cilíndrica
• Espacio polaco
• Teoría descriptiva de conjuntos
• Jerarquía borel

Notas

Referencias

• William Arveson , An Invitation to C * -algebras , Springer-Verlag, 1981. (Véase el Capítulo 3 para una excelente exposición de la topología polaca ).
• Richard Dudley , Análisis real y probabilidad . Wadsworth, Brooks y Cole, 1989
• Halmos, Paul R. (1950). Teoría de la medida . D. van Nostrand Co. Ver especialmente la Secta. 51 "Conjuntos Borel y Conjuntos Baire".
• Halsey Royden , Análisis real , Prentice Hall, 1988
• Alexander S. Kechris , Teoría clásica de conjuntos descriptivos , Springer-Verlag, 1995 (Textos de posgrado en matemáticas, vol. 156)

enlaces externos

• "Borel set" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]
• Definición formal de Borel Sets en el sistema Mizar , y la lista de teoremas Archivado 2020-06-01 en Wayback Machine que han sido probados formalmente al respecto.
• Weisstein, Eric W. "Borel Set" . MathWorld .