Medir el espacio - Measure space

Un espacio de medida es un objeto básico de la teoría de la medida , una rama de las matemáticas que estudia las nociones generalizadas de volúmenes . Contiene un conjunto subyacente, los subconjuntos de este conjunto que son factibles de medir (el σ -álgebra ) y el método que se utiliza para medir (la medida ). Un ejemplo importante de un espacio de medida es un espacio de probabilidad .

Un espacio medible consta de los dos primeros componentes sin una medida específica.

Definición

Un espacio de medida es un triple donde ${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}}, \ mu),}$

• ${\ Displaystyle X}$ es un conjunto
• ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$es un σ -álgebra en el set${\ Displaystyle X}$
• ${\ Displaystyle \ mu}$es una medida en${\ Displaystyle (X, {\ mathcal {A}})}$

Ejemplo

Establecer . El -álgebra en conjuntos finitos como el anterior suele ser el conjunto de potencias , que es el conjunto de todos los subconjuntos (de un conjunto dado) y se denota por . Siguiendo esta convención, establecemos ${\ Displaystyle X = \ {0,1 \}}$${\ textstyle \ sigma}$${\ textstyle {\ mathcal {P}} (\ cdot)}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {P}} (X)}$

En este caso simple, el conjunto de potencia se puede escribir explícitamente:

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (X) = \ {\ emptyset, \ {0 \}, \ {1 \}, X \}.}$

Como medida, defina por ${\ textstyle \ mu}$

${\ Displaystyle \ mu (\ {0 \}) = \ mu (\ {1 \}) = {\ frac {1} {2}},}$

así (por aditividad de medidas) y (por definición de medidas). ${\ estilo de texto \ mu (X) = 1}$${\ estilo de texto \ mu (\ conjunto vacío) = 0}$

Esto conduce al espacio de medida . Es un espacio de probabilidad , ya que . La medida corresponde a la distribución de Bernoulli con , que se utiliza, por ejemplo, para modelar un lanzamiento de moneda justo. ${\ textstyle (X, {\ mathcal {P}} (X), \ mu)}$${\ estilo de texto \ mu (X) = 1}$${\ textstyle \ mu}$${\ textstyle p = {\ frac {1} {2}}}$

Clases importantes de espacios de medida

Las clases más importantes de espacios de medida se definen por las propiedades de sus medidas asociadas. Esto incluye

• Espacios de probabilidad , un espacio de medida donde la medida es una medida de probabilidad
• Espacios de medida finita, donde la medida es una medida finita
• ${\ Displaystyle \ sigma}$-espacios de medida finita, donde la medida es una medida finita${\ Displaystyle \ sigma}$

Otra clase de espacios de medida son los espacios de medida completos .

Referencias