Medir (matemáticas) - Measure (mathematics)

De manera informal, una medida tiene la propiedad de ser monótona en el sentido de que si A es un subconjunto de B , la medida de A es menor que o igual a la medida de B . Además, se requiere que la medida del conjunto vacío sea ​​0.

Medir es un concepto fundamental de las matemáticas . Las medidas proporcionan una abstracción matemática para nociones comunes como masa , distancia / longitud , área , volumen , probabilidad de eventos y, después de algunos ajustes , carga eléctrica . Estos conceptos aparentemente distintos son innatamente muy similares y, en muchos casos, pueden tratarse como matemáticamente indistinguibles. Las medidas son fundamentales en la teoría de la probabilidad . Las generalizaciones de medida de gran alcance se utilizan ampliamente en la física cuántica y en la física en general.

La intuición detrás de este concepto se remonta a la Antigua Grecia, cuando Arquímedes intentó calcular el área de un círculo. Pero no fue hasta finales del siglo XIX y principios del XX que la teoría de la medida se convirtió en una rama de las matemáticas. Las bases de la teoría de la medida moderna se establecieron en las obras de Émile Borel , Henri Lebesgue , Johann Radon , Constantin Carathéodory y Maurice Fréchet , entre otros.

Definición

Aditividad contable de una medida μ : La medida de una unión disjunta contable es la misma que la suma de todas las medidas de cada subconjunto.

Deje que X sea un set y Σ una σ -álgebra sobre X . Una función μ de Σ a la recta numérica real extendida se llama medida si satisface las siguientes propiedades:

  • No negatividad : Para todo E en Σ, tenemos μ ( E ) ≥ 0 .
  • NULL vaciar conjunto : .
  • Aditividad contable (o aditividad σ ): Para todas las colecciones contables de conjuntos disjuntos por pares en Σ,

Si al menos un conjunto tiene medida finita, entonces el requisito se cumple automáticamente. De hecho, por aditividad contable,

y por lo tanto

Si se omite la condición de no negatividad pero se cumplen la segunda y la tercera de estas condiciones, y μ toma como máximo uno de los valores ± ∞ , entonces μ se denomina medida con signo .

El par ( X , Σ) se denomina espacio medible , los miembros de Σ se denominan conjuntos medibles . Si y son dos espacios medibles, entonces una función se llama medible si para cada Y conjunto medible , la imagen inversa es X -medible - es decir: . En esta configuración, la composición de las funciones medibles es medible, lo que convierte los espacios medibles y las funciones medibles en una categoría , con los espacios medibles como objetos y el conjunto de funciones medibles como flechas. Consulte también Función medible § Variaciones de uso de términos sobre otra configuración.

Un triple ( X , Σ, μ ) se llama espacio de medida . Una medida de probabilidad es una medida con medida total uno, es decir, μ ( X ) = 1 . Un espacio de probabilidad es un espacio de medida con una medida de probabilidad.

Para los espacios de medida que también son espacios topológicos se pueden colocar varias condiciones de compatibilidad para la medida y la topología. La mayoría de las medidas que se encuentran en la práctica en el análisis (y en muchos casos también en la teoría de la probabilidad ) son medidas de radón . Las medidas de radón tienen una definición alternativa en términos de funcionales lineales en el espacio localmente convexo de funciones continuas con soporte compacto . Bourbaki (2004) y varias otras fuentes adoptan este enfoque . Para obtener más detalles, consulte el artículo sobre medidas de radón .

Instancias

Aquí se enumeran algunas medidas importantes.

Otras medidas nombradas '' utilizados en diversas teorías incluyen: medida de Borel , medida Jordan , medida ergódica , medida Euler , medida de Gauss , medida Baire , medida de Radon , medida joven , y la medida de Loeb .

En física, un ejemplo de una medida es la distribución espacial de la masa (ver, por ejemplo, potencial de gravedad ), u otra propiedad extensiva no negativa , conservada (ver la ley de conservación para una lista de estas) o no. Los valores negativos conducen a medidas con signo, consulte "generalizaciones" a continuación.

Propiedades básicas

Sea μ una medida.

Monotonicidad

Si E 1 y E 2 son conjuntos medibles con E 1  ⊆  E 2 entonces

Medida de uniones e intersecciones contables

Subaditividad

Para cualquier secuencia contable E 1 , E 2 , E 3 , ... de conjuntos medibles (no necesariamente disjuntos) E n en Σ:

Continuidad desde abajo

Si E 1 , E 2 , E 3 , ... son conjuntos medibles y para todo n , entonces la unión de los conjuntos E n es medible, y

Continuidad desde arriba

Si E 1 , E 2 , E 3 , ... son conjuntos medibles y, para todo n , entonces la intersección de los conjuntos E n es medible; además, si al menos uno de los E n tiene medida finita, entonces

Esta propiedad es falsa sin la suposición de que al menos uno de los E n tiene medida finita. Por ejemplo, para cada nN , sea E n = [ n , ∞) ⊂ R , todos los cuales tienen una medida de Lebesgue infinita, pero la intersección está vacía.

Otras propiedades

Lo completo

Un conjunto X medible se denomina conjunto nulo si μ ( X ) = 0 . Un subconjunto de un conjunto nulo se denomina conjunto insignificante . Un conjunto insignificante no necesita ser medible, pero todo conjunto insignificante mensurable es automáticamente un conjunto nulo. Una medida se llama completa si cada conjunto insignificante es medible.

Una medida puede extenderse a una completa considerando el σ-álgebra de subconjuntos Y que difieren en un conjunto insignificante de un conjunto medible X , es decir, tal que la diferencia simétrica de X e Y está contenida en un conjunto nulo. Uno define μ ( Y ) como igual a μ ( X ) .

μ {x: f (x) ≥t} = μ {x: f (x)> t} (ae)

Si la función -measurable toma valores, entonces

para casi todos con respecto a la medida de Lebesgue . Esta propiedad se utiliza en relación con la integral de Lebesgue .

Aditividad

Se requiere que las medidas sean contablemente aditivas. Sin embargo, la condición se puede fortalecer de la siguiente manera. Para cualquier conjunto y cualquier conjunto de definiciones no negativas :

Es decir, definimos la suma de como el supremo de todas las sumas de un número finito de ellas.

Una medida en es -aditiva si para cualquier familia de disjuntos establece la siguiente retención:

Tenga en cuenta que la segunda condición es equivalente a la afirmación de que el ideal de conjuntos nulos es -completo.

Medidas sigma-finitas

Un espacio de medida ( X , Σ, μ ) se llama finito si μ ( X ) es un número real finito (en lugar de ∞). Las medidas finitas distintas de cero son análogas a las medidas de probabilidad en el sentido de que cualquier medida finita μ es proporcional a la medida de probabilidad . Una medida μ se llama σ-finita si X se puede descomponer en una unión contable de conjuntos mensurables de medida finita. De manera análoga, se dice que un conjunto en un espacio de medida tiene una medida σ-finita si es una unión contable de conjuntos con medida finita.

Por ejemplo, los números reales con la medida estándar de Lebesgue son σ-finitos pero no finitos. Considere los intervalos cerrados [ k , k +1] para todos los enteros k ; hay innumerables intervalos de este tipo, cada uno tiene medida 1 y su unión es la línea real completa. Alternativamente, considere los números reales con la medida de conteo , que asigna a cada conjunto finito de reales el número de puntos del conjunto. Este espacio de medida no es σ-finito, porque cada conjunto con medida finita contiene sólo un número finito de puntos, y se necesitarían incontables conjuntos de este tipo para cubrir toda la línea real. Los espacios de medida σ-finitos tienen algunas propiedades muy convenientes; La σ-finitud se puede comparar a este respecto con la propiedad de Lindelöf de los espacios topológicos. También se pueden considerar como una vaga generalización de la idea de que un espacio de medida puede tener una "medida incontable".

s-medidas finitas

Se dice que una medida es s-finita si es una suma contable de medidas acotadas. Las medidas S-finitas son más generales que las sigma-finitas y tienen aplicaciones en la teoría de procesos estocásticos .

Conjuntos no medibles

Si se supone que el axioma de elección es verdadero, se puede probar que no todos los subconjuntos del espacio euclidiano son medibles según Lebesgue ; ejemplos de tales conjuntos incluyen el conjunto Vitali y los conjuntos no medibles postulados por la paradoja de Hausdorff y la paradoja de Banach-Tarski .

Generalizaciones

Para ciertos propósitos, es útil tener una "medida" cuyos valores no estén restringidos a los reales no negativos o al infinito. Por ejemplo, una función de conjunto aditivo contable con valores en los números reales (con signo) se llama una medida con signo , mientras que una función con valores en los números complejos se llama una medida compleja . Las medidas que toman valores en los espacios de Banach se han estudiado ampliamente. Una medida que toma valores en el conjunto de proyecciones autoadjuntas en un espacio de Hilbert se denomina medida con valor de proyección ; estos se utilizan en el análisis funcional del teorema espectral . Cuando es necesario distinguir las medidas habituales que toman valores no negativos de las generalizaciones, se utiliza el término medida positiva . Las medidas positivas se cierran bajo una combinación cónica pero no una combinación lineal general , mientras que las medidas con signo son el cierre lineal de las medidas positivas.

Otra generalización es la medida finitamente aditiva , también conocida como contenido . Esto es lo mismo que una medida, excepto que en lugar de requerir una aditividad contable , solo requerimos una aditividad finita . Históricamente, esta definición se utilizó primero. Resulta que, en general, las medidas finamente aditivas están conectadas con nociones como los límites de Banach , el dual de L y la compactación Stone-Čech . Todos estos están vinculados de una forma u otra al axioma de elección . Los contenidos siguen siendo útiles en ciertos problemas técnicos de la teoría de medidas geométricas ; esta es la teoría de las medidas de Banach .

Una carga es una generalización en ambas direcciones: es una medida con signo finitamente aditivo.

Ver también

Referencias

Bibliografía

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enlaces externos