Función diferenciable - Differentiable function

Una función diferenciable

En matemáticas , una función diferenciable de una variable real es una función cuya derivada existe en cada punto de su dominio . En otras palabras, la gráfica de una función diferenciable tiene una línea tangente no vertical en cada punto interior de su dominio. Una función diferenciable es suave (la función está localmente bien aproximada como una función lineal en cada punto interior) y no contiene ninguna ruptura, ángulo o cúspide .

Si x 0 es un punto interior en el dominio de una función f , entonces se dice que f es derivable en x 0 si la derivada existe. En otras palabras, la gráfica de f tiene una línea tangente no vertical en el punto ( x 0 , f ( x 0 )) .

Diferenciabilidad de funciones reales de una variable

Una función , definida en un conjunto abierto , es diferenciable en si la derivada

existe. Esto implica que la función es continua en a .

Esta función f es diferenciable en U si es diferenciable en cada punto de U . En este caso, la derivada de f es, pues, una función de U en

Una función diferenciable es necesariamente continua (en todos los puntos donde es diferenciable). Es continuamente diferenciable si su derivada también es una función continua.

Diferenciabilidad y continuidad

La función de valor absoluto es continua (es decir, no tiene espacios). Es diferenciable en todas partes excepto en el punto x = 0, donde hace un giro brusco al cruzar el eje y .
Una cúspide en la gráfica de una función continua. En cero, la función es continua pero no diferenciable.

Si f es derivable en un punto x 0 , entonces f también debe ser continua en x 0 . En particular, cualquier función diferenciable debe ser continua en todos los puntos de su dominio. Lo contrario no es válido : una función continua no tiene por qué ser diferenciable. Por ejemplo, una función con una curva, una cúspide o una tangente vertical puede ser continua, pero no es diferenciable en la ubicación de la anomalía.

La mayoría de las funciones que ocurren en la práctica tienen derivadas en todos los puntos o en casi todos los puntos. Sin embargo, un resultado de Stefan Banach establece que el conjunto de funciones que tienen una derivada en algún punto es un conjunto magro en el espacio de todas las funciones continuas. De manera informal, esto significa que las funciones diferenciables son muy atípicas entre funciones continuas. El primer ejemplo conocido de una función que es continua en todas partes pero diferenciable en ninguna parte es la función de Weierstrass .

Clases de diferenciabilidad

Las funciones diferenciables se pueden aproximar localmente mediante funciones lineales.
La función con for y es diferenciable. Sin embargo, esta función no es continuamente diferenciable.

Se dice que una función es continuamente diferenciable si la derivadaexiste y es en sí misma una función continua. Aunque la derivada de una función diferenciable nunca tiene unadiscontinuidad de salto, es posible que la derivada tenga una discontinuidad esencial. Por ejemplo, la función

es diferenciable en 0, ya que
existe. Sin embargo, las reglas de diferenciación implican
que no tiene límite como Sin embargo,
el teorema de Darboux implica que la derivada de cualquier función satisface la conclusión del teorema del valor intermedio .

De manera similar a cómo se dice que las funciones continuas son de clase, a veces se dice que las funciones continuamente diferenciables son de clase. Una función es de clase si la primera y la segunda derivada de la función existen y son continuas. De manera más general, se dice que una función es de clase si todas las primeras derivadas existen y son continuas. Si existen derivadas para todos los enteros positivos, la función es

suave o equivalente, de clase

Diferenciabilidad en dimensiones superiores

Se dice que una función de varias variables reales f : R mR n es diferenciable en un punto x 0 si existe un mapa lineal J : R mR n tal que

Si una función es derivable en x 0 , entonces todas las derivadas parciales existen en x 0 , y el mapa lineal J viene dado por la matriz jacobiana . El lema de incremento fundamental que se encuentra en el cálculo de una sola variable proporciona una formulación similar de la derivada de dimensiones superiores .

Si todas las derivadas parciales de una función existen en la vecindad de un punto x 0 y son continuas en el punto x 0 , entonces la función es derivable en ese punto x 0 .

Sin embargo, la existencia de las derivadas parciales (o incluso de todas las derivadas direccionales ) no garantiza en general que una función sea diferenciable en un punto. Por ejemplo, la función f : R 2R definida por

no es diferenciable en (0, 0) , pero todas las derivadas parciales y direccionales existen en este punto. Para un ejemplo continuo, la función

no es diferenciable en (0, 0) , pero nuevamente existen todas las derivadas parciales y las derivadas direccionales.

Diferenciabilidad en análisis complejos

En el análisis complejo, la diferenciación compleja se define utilizando la misma definición que las funciones reales de una sola variable. Esto está permitido por la posibilidad de dividir números complejos. Entonces, se dice que una función es diferenciable en cuando

Aunque esta definición parece similar a la diferenciabilidad de funciones reales de una sola variable, es sin embargo una condición más restrictiva. Una función que es complejo-diferenciable en un punto es automáticamente diferenciable en ese punto, cuando se ve como una función . Esto se debe a que la diferenciación compleja implica que

Sin embargo, una función puede ser diferenciable como una función multivariable, sin ser complejamente diferenciable. Por ejemplo, es diferenciable en cada punto, visto como la función real de 2 variables , pero no es complejo-diferenciable en ningún punto.

Cualquier función que sea complejamente diferenciable en una vecindad de un punto se llama holomórfica en ese punto. Tal función es necesariamente infinitamente diferenciable y, de hecho, analítica .

Funciones diferenciables en colectores

Si M es una variedad diferenciable , se dice que una función f real o de valor complejo en M es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a algún (o cualquier) gráfico de coordenadas definido alrededor de p . De manera más general, si M y N son variedades diferenciables, se dice que una función fM  →  N es diferenciable en un punto p si es diferenciable con respecto a algunos (o cualquier) gráfico de coordenadas definido alrededor de p y f ( p ).

Ver también

Referencias