Espectro de un anillo - Spectrum of a ring

En álgebra conmutativa , el espectro primo (o simplemente el espectro ) de un anillo R es el conjunto de todos los ideales primos de R , y generalmente se denota por ; en geometría algebraica es al mismo tiempo un espacio topológico equipado con un haz de anillos . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} {R}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}}}$

Topología de Zariski

Para cualquier ideales I de R , definir como el conjunto de ideales primos que contienen I . Podemos poner una topología definiendo la colección de conjuntos cerrados como ${\ Displaystyle V_ {I}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

${\ Displaystyle \ {V_ {I} \ colon I {\ text {es un ideal de}} R \}.}$

Esta topología se denomina topología de Zariski .

Se puede construir una base para la topología de Zariski de la siguiente manera. Para f ∈ R , defina D _f como el conjunto de ideales primos de R que no contienen f . Entonces cada D _f es un subconjunto abierto de , y es una base para la topología de Zariski. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ Displaystyle \ {D_ {f}: f \ in R \}}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$Es un espacio compacto , pero casi nunca Hausdorff : de hecho, los ideales máximos en R son precisamente los puntos cerrados en esta topología. Por el mismo razonamiento, no es, en general, un espacio T ₁ . Sin embargo, es siempre un espacio de Kolmogorov (satisface el axioma T ₀ ); también es un espacio espectral . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Gavillas y esquemas

Dado el espacio con la topología de Zariski, la estructura de la gavilla O _X se define en los subconjuntos abiertos distinguidos D _f estableciendo Γ ( D _f , O _X ) = R _f , la localización de R por las potencias de f . Se puede demostrar que esto define una gavilla B y, por tanto, que define una gavilla. Con más detalle, los subconjuntos abiertos distinguidos son una base de la topología de Zariski, por lo que para un conjunto abierto arbitrario U , escrito como la unión de { D _fi } _{i ∈ I} , establecemos Γ ( U , O _X ) = lim _{i ∈ I} R _fi . Se puede comprobar que esta gavilla es una gavilla, por lo que es un espacio anillado . Cualquier espacio anillado isomorfo a una de estas formas se denomina esquema afín . Los esquemas generales se obtienen pegando esquemas afines. ${\ Displaystyle X = \ operatorname {Spec} (R)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

De manera similar, para un módulo M sobre el anillo R , podemos definir una gavilla en . En los subconjuntos abiertos distinguidos, establezca Γ ( D _f , ) = M _f , utilizando la localización de un módulo . Como se indicó anteriormente, esta construcción se extiende a una gavilla previa en todos los subconjuntos abiertos de y satisface los axiomas de encolado. Una gavilla de esta forma se llama gavilla cuasicoherente . ${\ Displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ Displaystyle {\ tilde {M}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Si P es un punto en , es decir, un ideal primo, entonces el tallo de la gavilla de estructura en P es igual a la localización de R en el ideal P , y este es un anillo local . En consecuencia, es un espacio anillado localmente . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Si R es un dominio integral, con un campo de fracciones K , entonces podemos describir el anillo Γ ( U , O _X ) más concretamente de la siguiente manera. Se dice que un elemento f en K es regular en un punto P en X si se puede representar como una fracción f = un / b con b no en P . Tenga en cuenta que esto concuerda con la noción de función regular en geometría algebraica. Usando esta definición, podemos describir Γ ( U , O _X ) como precisamente el conjunto de elementos de K que son regulares en cada punto P en U .

Perspectiva funcional

Es útil utilizar el lenguaje de la teoría de categorías y observar que es un funtor . Cada homomorfismo de anillo induce un mapa continuo (ya que la preimagen de cualquier ideal primo en es un ideal primo en ). De esta forma, puede verse como un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios topológicos. Además, por cada primo el homomorfismo desciende a homomorfismos ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$ ${\ Displaystyle f: R \ a S}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (f): \ operatorname {Spec} (S) \ to \ operatorname {Spec} (R)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle R}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {f ^ {- 1} ({\ mathfrak {p}})} \ to {\ mathcal {O}} _ {\ mathfrak {p}}}$

de anillos locales. Así, incluso define un funtor contravariante de la categoría de anillos conmutativos a la categoría de espacios anillados localmente . De hecho, es el funtor universal, por lo que se puede utilizar para definir el funtor hasta el isomorfismo natural. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$

El funtor produce una equivalencia contravariante entre la categoría de anillos conmutativos y la categoría de esquemas afines ; Cada una de estas categorías a menudo se considera la categoría opuesta de la otra. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$

Motivación de la geometría algebraica

Siguiendo con el ejemplo, en geometría algebraica se estudian conjuntos algebraicos , es decir, subconjuntos de K ⁿ (donde K es un campo algebraicamente cerrado ) que se definen como los ceros comunes de un conjunto de polinomios en n variables. Si A es un conjunto tal algebraica, se considera el anillo conmutativo R de todas las funciones polinómicas A → K . Los ideales máximos de R corresponden a los puntos de A (porque K es algebraicamente cerrado), y los ideales primos de R corresponden a las subvariedades de A (un conjunto algebraico se llama irreducible o una variedad si no puede escribirse como la unión de dos subconjuntos algebraicos propios).

El espectro de R consiste por lo tanto de los puntos de A junto con elementos para todas las subvariedades de A . Los puntos de A están cerrados en el espectro, mientras que los elementos correspondientes a las subvariedades tienen un cierre que consta de todos sus puntos y subvariedades. Si solo se consideran los puntos de A , es decir, los ideales máximos en R , entonces la topología de Zariski definida anteriormente coincide con la topología de Zariski definida en conjuntos algebraicos (que tiene precisamente los subconjuntos algebraicos como conjuntos cerrados). Específicamente, los ideales máximos en R , es decir , junto con la topología de Zariski, es homeomorfo para A también con la topología de Zariski. ${\ Displaystyle \ operatorname {MaxSpec} (R)}$

Por lo tanto, se puede ver el espacio topológico como un "enriquecimiento" del espacio topológico A (con topología de Zariski): para cada subvariedad de A , se ha introducido un punto no cerrado adicional, y este punto "realiza un seguimiento" de la subvariedad correspondiente. . Se piensa en este punto como el punto genérico de la subvariedad. Además, el haz sobre y el haz de funciones polinomiales sobre A son esencialmente idénticas. Al estudiar espectros de anillos polinomiales en lugar de conjuntos algebraicos con topología de Zariski, uno puede generalizar los conceptos de geometría algebraica a campos no algebraicamente cerrados y más allá, llegando eventualmente al lenguaje de esquemas . ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (R)}$

Ejemplos de

• El esquema afín es el objeto final en la categoría de esquemas afines ya que es el objeto inicial en la categoría de anillos conmutativos.${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {Z})}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$
• El esquema afín es un análogo de la teoría del esquema . Desde la perspectiva del functor de puntos, un punto puede identificarse con el morfismo de evaluación . Esta observación fundamental nos permite dar sentido a otros esquemas afines.${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n} = \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}])}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle (\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n}) \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} [x_ {1}, \ ldots, x_ {n}] {\ xrightarrow {ev _ {(\ alpha _ {1}, \ ldots, \ alpha _ {n})}}} \ mathbb {C}}$
• ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C} [x, y] / (xy))}$se ve topológicamente como la intersección transversal de dos planos complejos en un punto, aunque típicamente esto se representa como un ya que los únicos morfismos bien definidos son los morfismos de evaluación asociados con los puntos .${\ displaystyle +}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$${\ Displaystyle \ {(\ alpha _ {1}, 0), (0, \ alpha _ {2}): \ alpha _ {1}, \ alpha _ {2} \ in \ mathbb {C} \}}$
• El espectro principal de un anillo booleano (por ejemplo, un anillo de potencia ) es un espacio compacto (de Hausdorff) .
• (M. Hochster) Un espacio topológico es homeomorfo al espectro principal de un anillo conmutativo (es decir, un espacio espectral ) si y solo si es cuasi compacto, cuasi separado y sobrio .

Ejemplos no afines

A continuación se muestran algunos ejemplos de esquemas que no son esquemas afines. Se construyen pegando esquemas afines.

• El espacio proyectivo sobre un campo . Esto se puede generalizar fácilmente a cualquier anillo base, consulte Construcción del proyecto (de hecho, podemos definir el Espacio Proyectivo para cualquier esquema base). El proyectiva -Espacio para no es afín como la sección global es .${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n} = \ operatorname {Proj} k [x_ {0}, \ ldots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle k}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle n \ geq 1}$${\ Displaystyle \ mathbb {P} _ {k} ^ {n}}$${\ Displaystyle k}$
• Plano afín menos el origen. En el interior se distinguen subesquemas afines abiertos . Su unión es el plano afín con el origen eliminado. Las secciones globales de son pares de polinomios en que se restringen al mismo polinomio en , que se puede demostrar que es la sección global de . no es afín como en .${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2} = \ operatorname {Spec} \, k [x, y]}$${\ Displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$${\ Displaystyle D_ {x} \ cup D_ {y} = U}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle D_ {x}, D_ {y}}$${\ Displaystyle D_ {xy}}$${\ Displaystyle k [x, y]}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {k} ^ {2}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle V _ {(x)} \ cap V _ {(y)} = \ varnothing}$${\ Displaystyle U}$

Topologías no Zariski en un espectro principal

Algunos autores (en particular M. Hochster) consideran topologías en espectros primos distintos de la topología de Zariski.

Primero, está la noción de topología constructible : dado un anillo A , los subconjuntos de de la forma satisfacen los axiomas para conjuntos cerrados en un espacio topológico. Esta topología se denomina topología constructible. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$${\ Displaystyle \ varphi ^ {*} (\ operatorname {Spec} B), \ varphi: A \ to B}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (A)}$

En ( Hochster 1969 ) , Hochster considera lo que él llama la topología de parche en un espectro principal. Por definición, la topología de parche es la topología más pequeña en la que los conjuntos de formas y están cerrados. error de harv: sin destino: CITEREFHochster1969 ( ayuda )${\ Displaystyle V (I)}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (A) -V (f)}$

Especificaciones globales o relativas

Existe una versión relativa del functor denominada global o relativa . Si es un esquema, entonces relativo se denota por o . Si está claro por el contexto, entonces la especificación relativa se puede denotar por o . Para un esquema y un haz cuasi-coherente de -álgebras , existe un esquema y un morfismo tal que para cada afín abierto , hay un isomorfismo , y tal que para afines abiertos , la inclusión es inducida por el mapa de restricción . Es decir, como los homomorfismos de anillo inducen mapas opuestos de espectros, los mapas de restricción de un haz de álgebras inducen los mapas de inclusión de los espectros que componen la especificación del haz. ${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle \ operatorname {Spec}}$${\ Displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Spec} _ {S}}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}}}$${\ Displaystyle \ mathbf {Especificación}}$${\ Displaystyle S}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {S}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}})}$${\ Displaystyle f: {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {S} ({\ mathcal {A}}) \ to S}$${\ Displaystyle U \ subseteq S}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (U) \ cong \ operatorname {Spec} ({\ mathcal {A}} (U))}$${\ Displaystyle V \ subseteq U}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (V) \ to f ^ {- 1} (U)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} (U) \ a {\ mathcal {A}} (V)}$

La especificación global tiene una propiedad universal similar a la propiedad universal de la especificación ordinaria. Más precisamente, así como Spec y el functor de sección global son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de anillos y esquemas conmutativos, Spec global y el functor de imagen directa para el mapa de estructura son adjuntos derechos contravariantes entre la categoría de álgebras conmutativas y esquemas over . En fórmulas, ${\ Displaystyle {\ mathcal {O}} _ {S}}$${\ Displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Hom} _ {{\ mathcal {O}} _ {S} {\ text {-alg}}} ({\ mathcal {A}}, \ pi _ {*} {\ mathcal {O }} _ {X}) \ cong \ operatorname {Hom} _ {{\ text {Sch}} / S} (X, \ mathbf {Spec} ({\ mathcal {A}})),}$

donde hay un morfismo de esquemas. ${\ Displaystyle \ pi \ colon X \ to S}$

Ejemplo de una especificación relativa

La especificación relativa es la herramienta correcta para parametrizar la familia de líneas a través del origen de sobre. Considere el haz de álgebras y sea ​​un haz de ideales de Entonces, la especificación relativa parametriza la familia deseada. De hecho, la fibra superior es la línea que pasa por el origen del punto que contiene el punto. Suponiendo que la fibra se puede calcular observando la composición de los diagramas de retroceso. ${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {2}}$${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}.}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x, y],}$${\ Displaystyle {\ mathcal {I}} = (ay-bx)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}.}$${\ Displaystyle {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} ({\ mathcal {A}} / {\ mathcal {I}}) \ to \ mathbb {P} _ {a, b} ^ { 1}}$${\ Displaystyle [\ alpha: \ beta]}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} ^ {2}}$${\ Displaystyle (\ alpha, \ beta).}$${\ Displaystyle \ alpha \ neq 0,}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} [x, y]} {\ left (y - {\ frac {\ beta} {\ alpha}}) x \ right)}} \ right) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left ({\ frac {\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] [x, y ]} {\ left (y - {\ frac {b} {a}} x \ right)}} \ right) & \ to & {\ underline {\ operatorname {Spec}}} _ {X} \ left ({ \ frac {{\ mathcal {O}} _ {X} [x, y]} {\ left (ay-bx \ right)}} \ right) \\\ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \\\ operatorname { Spec} (\ mathbb {C}) & \ to & \ operatorname {Spec} \ left (\ mathbb {C} \ left [{\ frac {b} {a}} \ right] \ right) = U_ {a} & \ to & \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1} \ end {matriz}}}$

donde la composición de las flechas inferiores

${\ Displaystyle \ operatorname {Spec} (\ mathbb {C}) {\ xrightarrow {[\ alpha: \ beta]}} \ mathbb {P} _ {a, b} ^ {1}}$

da la línea que contiene el punto y el origen. Este ejemplo se puede generalizar para parametrizar la familia de líneas a través del origen de over dejando y${\ Displaystyle (\ alpha, \ beta)}$${\ Displaystyle \ mathbb {A} _ {\ mathbb {C}} ^ {n + 1}}$${\ Displaystyle X = \ mathbb {P} _ {a_ {0}, ..., a_ {n}} ^ {n}}$${\ displaystyle {\ mathcal {A}} = {\ mathcal {O}} _ {X} [x_ {0}, ..., x_ {n}]}$${\ displaystyle {\ mathcal {I}} = \ left (2 \ times 2 {\ text {menores de}} {\ begin {pmatrix} a_ {0} & \ cdots & a_ {n} \\ x_ {0} & \ cdots & x_ {n} \ end {pmatrix}} \ right).}$

Perspectiva de la teoría de la representación

Desde la perspectiva de la teoría de la representación , un ideal primo I corresponde a un módulo R / I , y el espectro de un anillo corresponde a representaciones cíclicas irreductibles de R, mientras que las subvariedades más generales corresponden a representaciones posiblemente reducibles que no necesitan ser cíclicas. Recuerde que, de manera abstracta, la teoría de la representación de un grupo es el estudio de módulos sobre su álgebra de grupo .

La conexión con la teoría de la representación es más clara si se considera el anillo polinomial o, sin una base, como aclara la última formulación, un anillo polinomial es el álgebra de grupos sobre un espacio vectorial , y escribir en términos de corresponde a elegir una base para el espacio vectorial. espacio vectorial. Entonces, un I ideal , o equivalentemente un módulo, es una representación cíclica de R (significado cíclico generado por 1 elemento como un módulo R ; esto generaliza representaciones unidimensionales). ${\ Displaystyle R = K [x_ {1}, \ dots, x_ {n}]}$${\ Displaystyle R = K [V].}$${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle R / I,}$

En el caso de que el campo sea algebraicamente cerrado (digamos, los números complejos), todo ideal máximo corresponde a un punto en el espacio n , por el nullstellensatz (el ideal máximo generado por corresponde al punto ). Estas representaciones de son luego parametrizadas por el espacio dual que se da al covector enviando cada una al correspondiente . Por lo tanto, una representación de ( K -mapas lineales ) viene dada por un conjunto de n números, o equivalentemente un covector${\ Displaystyle (x_ {1} -a_ {1}), (x_ {2} -a_ {2}), \ ldots, (x_ {n} -a_ {n})}$${\ Displaystyle (a_ {1}, \ ldots, a_ {n})}$${\ Displaystyle K [V]}$${\ Displaystyle V ^ {*},}$${\ Displaystyle x_ {i}}$${\ Displaystyle a_ {i}}$${\ Displaystyle K ^ {n}}$${\ Displaystyle K ^ {n} \ to K}$${\ Displaystyle K ^ {n} \ a K.}$

Por lo tanto, los puntos en el espacio n , considerados como la especificación máxima de corresponden precisamente a representaciones unidimensionales de R, mientras que los conjuntos finitos de puntos corresponden a representaciones de dimensiones finitas (que son reducibles, que corresponden geométricamente a ser una unión y algebraicamente a no ser un ideal primordial). Los ideales no máximos corresponden entonces a representaciones de dimensión infinita . ${\ Displaystyle R = K [x_ {1}, \ dots, x_ {n}],}$

Perspectiva del análisis funcional

El término "espectro" proviene del uso en la teoría de operadores . Dado un operador lineal T en un espacio vectorial de dimensión finita V , se puede considerar el espacio vectorial con el operador como un módulo sobre el anillo polinomial en una variable R = K [ T ], como en el teorema de estructura para módulos generados finitamente sobre un principal dominio ideal . Entonces, el espectro de K [ T ] (como un anillo) es igual al espectro de T (como un operador).

Además, la estructura geométrica del espectro del anillo (equivalentemente, la estructura algebraica del módulo) captura el comportamiento del espectro del operador, como la multiplicidad algebraica y la multiplicidad geométrica. Por ejemplo, para la matriz de identidad 2 × 2 tiene el módulo correspondiente:

${\ Displaystyle K [T] / (T-1) \ oplus K [T] / (T-1)}$

la matriz cero 2 × 2 tiene módulo

${\ Displaystyle K [T] / (T-0) \ oplus K [T] / (T-0),}$

mostrando multiplicidad geométrica 2 para el valor propio cero, mientras que una matriz nilpotente 2 × 2 no trivial tiene módulo

${\ Displaystyle K [T] / T ^ {2},}$

mostrando multiplicidad algebraica 2 pero multiplicidad geométrica 1.

Con más detalle:

• los autovalores (con multiplicidad geométrica) del operador corresponden a los puntos (reducidos) de la variedad, con multiplicidad;
• la descomposición primaria del módulo corresponde a los puntos no reducidos de la variedad;
• un operador diagonalizable (semisimple) corresponde a una variedad reducida;
• un módulo cíclico (un generador) corresponde al operador que tiene un vector cíclico (un vector cuya órbita debajo de T abarca el espacio);
• el último factor invariante del módulo es igual al polinomio mínimo del operador y el producto de los factores invariantes es igual al polinomio característico .

Generalizaciones

El espectro se puede generalizar de anillos a C * -álgebras en la teoría de operadores , dando la noción de espectro de un C * -álgebra . En particular, para un espacio de Hausdorff , el álgebra de escalares (las funciones continuas acotadas en el espacio, que son análogas a las funciones regulares) es un álgebra C * conmutativa, con el espacio que se recupera como un espacio topológico del álgebra de escalares, de hecho funcionalmente así; este es el contenido del teorema de Banach-Stone . De hecho, cualquier álgebra C * conmutativa se puede realizar como el álgebra de escalares de un espacio de Hausdorff de esta manera, produciendo la misma correspondencia que entre un anillo y su espectro. Generalizando a no C -commutative * -álgebras rendimientos topología no conmutativo . ${\ Displaystyle \ operatorname {MaxSpec}}$

Ver también

• Esquema (matemáticas)
• Esquema proyectivo
• Espectro de una matriz
• Teorema de Serre sobre la afinidad
• Espectro Étale
• Espectro de Ziegler
• Espectro primitivo

Citas

Referencias

enlaces externos

• Kevin R. Coombes: El espectro de un anillo
• http://stacks.math.columbia.edu/tag/01LL , especificación relativa
• Miles Reid. "Álgebra conmutativa de pregrado" (PDF) . pag. 22. Archivado desde el original (PDF) el 14 de abril de 2016.