Espacio de piedra - Stone space

En topología y áreas relacionadas de las matemáticas , un espacio de Stone , también conocido como espacio profinito ,es un espacio Hausdorff compacto totalmente desconectado . Los espacios de piedra llevan el nombre de Marshall Harvey Stone, quien los introdujo y estudió en la década de 1930 en el curso de su investigación de las álgebras booleanas , que culminó en su teorema de representación para las álgebras booleanas .

Condiciones equivalentes

Las siguientes condiciones en el espacio topológico son equivalentes: ${\ Displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle X}$ es un espacio de piedra;
• ${\ Displaystyle X}$es homeomorfo hasta el límite proyectivo (en la categoría de espacios topológicos ) de un sistema inverso de espacios finitos discretos ;
• ${\ Displaystyle X}$es compacto y totalmente separado ;
• ${\ Displaystyle X}$es compacto, T ₀ y de dimensión cero (en el sentido de la pequeña dimensión inductiva );
• ${\ Displaystyle X}$es coherente y de Hausdorff.

Ejemplos de

Ejemplos importantes de espacios Stone incluyen espacios discretos finitos , el conjunto de Cantor y el espacio de enteros -adic , donde está cualquier número primo . Generalizando estos ejemplos, cualquier producto de espacios discretos finitos es un espacio de piedra, y el espacio topológico subyacente a cualquier grupo profinito es un espacio de piedra. La compactación Stone-Čech de los números naturales con la topología discreta, o incluso de cualquier espacio discreto, es un espacio Stone. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle p}$

Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole

Para cada álgebra de Boole podemos asociar un espacio de piedra de la siguiente manera: los elementos de son los ultrafiltros en y la topología de llamada${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle S (B)}$${\ Displaystyle S (B)}$${\ Displaystyle B,}$${\ Displaystyle S (B),}$ la topología de Stone , es generada por los conjuntos de la formadonde${\ Displaystyle \ {F \ en S (B): b \ en F \},}$${\ Displaystyle b \ in B.}$

El teorema de representación de Stone para álgebras booleanas establece que cada álgebra booleana es isomórfica al álgebra booleana de conjuntos abiertos del espacio de Stone ; y además, cada espacio de Stone es homeomorfo al espacio de Stone perteneciente al álgebra booleana de conjuntos abiertos de Estas asignaciones son functoriales , y obtenemos una dualidad teórica de categorías entre la categoría de álgebras de Boole (con homomorfismos como morfismos) y la categoría de Espacios de piedra (con mapas continuos como morfismos). ${\ Displaystyle S (B)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X.}$

El teorema de Stone dio lugar a una serie de dualidades similares, ahora conocidas colectivamente como dualidades de Stone .

Ver también

• Compactación Stone – Čech # Construcción con ultrafiltros
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.

Referencias

Otras lecturas

• Peter Johnstone , Stone Spaces , Cambridge University Press, 1982