Grupo Profinite - Profinite group

En matemáticas , los grupos profinitos son grupos topológicos que en cierto sentido se ensamblan a partir de grupos finitos . Comparten muchas propiedades con sus cocientes finitos: por ejemplo, tanto el teorema de Lagrange como los teoremas de Sylow se generalizan bien a los grupos profinitos.

Una generalización no compacta de un grupo lucrativo es un grupo lucrativo local .

Definición

Los grupos lucrativos se pueden definir de dos formas equivalentes.

Primera definicion

Un grupo profinito es un grupo topológico que es isomorfo al límite inverso de un sistema inverso de grupos finitos discretos . En este contexto, un sistema inverso consiste en un conjunto dirigido , una colección de grupos finitos , cada uno de los cuales tiene la topología discreta, y una colección de homomorfismos tal que la identidad y la colección satisfacen la propiedad de composición . El límite inverso es el conjunto: ${\ Displaystyle (I, \ leq)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {G}} = \ {G_ {i}: i \ in I \}}$ ${\ Displaystyle \ {f_ {i} ^ {j}: G_ {j} \ to G_ {i} \ mid i, j \ in I, i \ leq j \}}$ ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {i}}$ ${\ Displaystyle G_ {i}}$ ${\ Displaystyle f_ {i} ^ {j} \ circ f_ {j} ^ {k} = f_ {i} ^ {k}}$

{\ Displaystyle \ varprojlim G_ {i} = \ left \ {(g_ {i}) _ {i \ in I} \ in \ prod _ {i \ in I} G_ {i}: f_ {i} ^ {j } (g_ {j}) = g_ {i} {\ text {para todos}} j \ geq i \ right \}}

equipado con la topología de producto relativa . En términos categóricos , este es un caso especial de construcción de límite cofiltrado . También se puede definir el límite inverso en términos de una propiedad universal .

Segunda definición

Un grupo profinito es un grupo topológico de Hausdorff , compacto y totalmente desconectado : es decir, un grupo topológico que también es un espacio de piedra . Dada esta definición, es posible recuperar la primera definición utilizando el límite inverso donde se extiende a través de los subgrupos normales abiertos de ordenados por inclusión (inversa). ${\ Displaystyle \ varprojlim G / N}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$

Ejemplos de

Los grupos finitos son profinitos, si se les da la topología discreta .
El grupo de enteros p -ádicos bajo adición es profinito (de hecho, procíclico ). Es el límite inverso de los grupos finitos donde n rangos sobre todos los números naturales y los mapas naturales para se utilizan para el proceso de límite. La topología en este grupo profinito es la misma que la topología que surge de la valoración p-ádica en . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / p ^ {m} \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle n \ geq m}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$
El grupo de enteros profinitos es el límite inverso de los grupos finitos donde y usamos los mapas para en el proceso de límite. Este grupo es el producto de todos los grupos , y es el grupo de Galois absoluto de cualquier campo finito. ${\ Displaystyle {\ widehat {\ mathbb {Z}}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle n = 1,2,3, \ dots}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z} \ to \ mathbb {Z} / m \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle m | n}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$
La teoría de Galois de extensiones de campo de grado infinito da lugar naturalmente a grupos de Galois que son profinitos. Específicamente, si L / K es una extensión de Galois , consideramos el grupo G = Gal ( L / K ) que consta de todos los automorfismos de campo de L que mantienen todos los elementos de K fijos. Este grupo es el límite inverso de los grupos finitos Gal ( F / K ), donde F varía en todos los campos intermedios de manera que F / K es una extensión finita de Galois. Para el proceso de límite, usamos los homomorfismos de restricción Gal ( F ₁ / K ) → Gal ( F ₂ / K ), donde F ₂ ⊆ F ₁ . La topología que obtenemos en Gal ( L / K ) se conoce como topología de Krull después de Wolfgang Krull . Waterhouse (1974) mostró que cada grupo lucrativo es isomorfo a uno que surge de la teoría de Galois de algún campo K , pero no se puede (todavía) controlar qué campo K será en este caso. De hecho, para muchos campos K uno no sabe en general con precisión qué grupos finitos se producen como grupos de Galois sobre K . Este es el problema de Galois inversa para un campo K . (Para algunos campos K, el problema de Galois inverso está resuelto, como el campo de funciones racionales en una variable sobre los números complejos). No todos los grupos profinitos se presentan como un grupo de Galois absoluto de un campo.
Los grupos fundamentales considerados en geometría algebraica también son grupos profinitos, hablando en términos generales porque el álgebra sólo puede "ver" cubiertas finitas de una variedad algebraica . Los grupos fundamentales de la topología algebraica , sin embargo, en general no son profinitos: para cualquier grupo prescrito, hay un complejo CW bidimensional cuyo grupo fundamental es igual a él (fije una presentación del grupo; el complejo CW tiene una celda 0, un bucle para cada generador, y una celda de 2 para cada relación, cuyo mapa adjunto corresponde a la relación de la manera "obvia": por ejemplo, para la relación abc = 1 , el mapa adjunto traza un generador de los grupos fundamentales de los bucles para un , b , y c en orden. El cálculo sigue por el teorema de Van Kampen .)
El grupo de automorfismo de un árbol de raíces localmente finitas es profinito.

Propiedades y hechos

Cada producto de (arbitrariamente muchos) grupos lucrativos es lucrativo; la topología que surge de la profinidad concuerda con la topología del producto . El límite inverso de un sistema inverso de grupos lucrativos con mapas de transición continuos es lucrativo y el functor límite inverso es exacto en la categoría de grupos lucrativos. Además, ser lucrativo es una propiedad de extensión.
Cada subgrupo cerrado de un grupo lucrativo es, en sí mismo, lucrativo; la topología que surge de la profinidad concuerda con la topología del subespacio . Si N es un subgrupo normal cerrado de un grupo lucrativo G , entonces el grupo de factores G / N es lucrativo; la topología que surge de la profinidad concuerda con la topología del cociente .
Debido a que cada grupo profinito G es compacto Hausdorff, tenemos una medida de Haar en G , lo que nos permite medir el "tamaño" de subconjuntos de G , calculamos ciertas probabilidades, e integrar las funciones de G .
Un subgrupo de un grupo lucrativo está abierto si y solo si está cerrado y tiene un índice finito .
Según un teorema de Nikolay Nikolov y Dan Segal , en cualquier grupo profinito generado topológicamente de forma finita (es decir, un grupo profinito que tiene un subgrupo denso generado de forma finita) los subgrupos de índice finito están abiertos. Esto generaliza un resultado análogo anterior de Jean-Pierre Serre para grupos pro-p generados topológicamente de forma finita . La demostración utiliza la clasificación de grupos simples finitos .
Como corolario fácil del resultado de Nikolov-Segal anterior, cualquier homomorfismo de grupo discreto sobreyectivo φ: G → H entre los grupos profinitos G y H es continuo siempre que G se genere topológicamente de forma finita. De hecho, cualquier subgrupo abierto de H es de índice finito, por lo que su preimagen en G también es de índice finito, por lo que debe estar abierto.
Suponga que G y H son grupos profinitos topológicamente generados de forma finita que son isomorfos como grupos discretos por un isomorfismo ι. Entonces ι es biyectiva y continua por el resultado anterior. Además, ι ⁻¹ también es continuo, por lo que ι es un homeomorfismo. Por lo tanto, la topología de un grupo de profinitas topológicamente generado de forma finita está determinada únicamente por su estructura algebraica .

Finalización lucrativa

Dado un grupo arbitrario , hay un grupo lucrativo relacionado , la finalización lucrativa de . Se define como el límite inverso de los grupos , donde atraviesa los subgrupos normales en de índice finito (estos subgrupos normales están parcialmente ordenados por inclusión, lo que se traduce en un sistema inverso de homomorfismos naturales entre los cocientes). Hay un homomorfismo natural , y la imagen de bajo este homomorfismo es densa en . El homomorfismo es inyectivo si y solo si el grupo es residualmente finito (es decir , donde la intersección atraviesa todos los subgrupos normales de índice finito). El homomorfismo se caracteriza por la siguiente propiedad universal : dado cualquier grupo profinito y cualquier homomorfismo de grupo , existe un homomorfismo de grupo continuo único con . ${\ Displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G / N}$ ${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ eta: G \ rightarrow {\ widehat {G}}}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ displaystyle {\ widehat {G}}}$ ${\ Displaystyle \ eta}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ bigcap {N} = 1}$ ${\ Displaystyle \ eta}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle f: G \ rightarrow H}$ ${\ Displaystyle g: {\ widehat {G}} \ rightarrow H}$ ${\ Displaystyle f = g \ eta}$

Grupos ind-finitos

Existe una noción de grupo ind-finito , que es el dual conceptual de los grupos profinitos; es decir, un grupo G es ind-finito si es el límite directo de un sistema inductivo de grupos finitos. (En particular, es un grupo ind .) La terminología habitual es diferente: un grupo G se llama localmente finito si cada subgrupo generado finitamente es finito. Esto es equivalente, de hecho, a ser 'ind-finito'.

Al aplicar la dualidad de Pontryagin , se puede ver que los grupos abelianos profinitos están en dualidad con grupos abelianos discretos localmente finitos. Estos últimos son solo los grupos de torsión abelianos .

Grupos profinitos proyectivos

Un grupo lucrativo es proyectivo si tiene la propiedad de elevación para cada extensión. Esto es equivalente a decir que G es proyectivo si para cada morfismo sobreyectiva de un profinito H → G hay una sección G → H .

La proyectividad para un grupo profinito G es equivalente a cualquiera de las dos propiedades:

la dimensión cohomológica cd ( G ) ≤ 1;
para cada primo p los Sylow p -subgroups de G son gratuitas pro p -grupos.

Cada grupo profinito proyectivo puede realizarse como un grupo de Galois absoluto de un campo pseudoalgebraicamente cerrado . Este resultado se debe a Alexander Lubotzky y Lou van den Dries .

Grupo procíclico

Un grupo profinito es procíclico si es generado topológicamente por un solo elemento , es decir, del subgrupo . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ sigma}$ ${\ Displaystyle G = {\ overline {\ langle \ sigma \ rangle}}}$ ${\ Displaystyle \ langle \ sigma \ rangle = \ left \ {\ sigma ^ {n}: n \ in \ mathbb {Z} \ right \}}$

Un grupo topológico es procíclico iff donde se extiende sobre todos los primos racionales y es isomorfo a o . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G \ cong \ prod _ {p} G_ {p}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G_ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} _ {p}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / p ^ {n} \ mathbb {Z}, n \ in \ mathbb {N}}$

Ver también

Referencias

Fried, Michael D .; Jarden, Moshe (2008). Aritmética de campo . Ergebnisse der Mathematik und ihrer Grenzgebiete. 3. Folge. 11 (tercera edición revisada). Springer-Verlag . ISBN 978-3-540-77269-9. Zbl 1145.12001 .
Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "Sobre grupos profinitos generados de forma finita. I. Integridad fuerte y límites uniformes". arXiv : matemáticas.GR / 0604399 ..
Nikolov, Nikolay; Segal, Dan (2006). "Sobre grupos profinitos generados de forma finita. II. Productos en grupos cuasi simples". arXiv : matemáticas.GR / 0604400 ..
Lenstra, Hendrik (2003), Profinite Groups (PDF) , charla impartida en Oberwolfach.
Lubotzky, Alexander (2001), "Reseña de libros", Boletín de la American Mathematical Society , 38 (4): 475–479, doi : 10.1090 / S0273-0979-01-00914-4. Revisión de varios libros sobre grupos profinitos.
Serre, Jean-Pierre (1994), Cohomologie galoisienne , Lecture Notes in Mathematics (en francés), 5 (5 ed.), Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-58002-7, MR 1324577 , Zbl 0.812,12002. Serre, Jean-Pierre (1997), cohomología de Galois , traducido por Patrick Ion, Springer-Verlag , ISBN 3-540-61990-9, Zbl 0902.12004
Waterhouse, William C. (1974), "Los grupos profinitos son grupos de Galois", Proceedings of the American Mathematical Society , American Mathematical Society, 42 (2): 639–640, doi : 10.2307 / 2039560 , JSTOR 2039560 , Zbl 0281.20031.

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