Extensión de campo - Field extension

En las matemáticas , particularmente en álgebra , una extensión de campo es un par de campos tales que las operaciones de E son los de F restringido a E . En este caso, F es un campo de extensión de E y E es un subcampo de F . Por ejemplo, bajo las nociones habituales de suma y multiplicación , los números complejos son un campo de extensión de los números reales. ; los números reales son un subcampo de los números complejos.

Las extensiones de campo son fundamentales en la teoría algebraica de números y en el estudio de raíces polinomiales a través de la teoría de Galois , y se utilizan ampliamente en geometría algebraica .

Subcampo

Un subcampo de un campo L es un subconjunto K de L que es un campo con respecto a las operaciones de campo heredados de L . De manera equivalente, un subcampo es un subconjunto que contiene 1, y está cerrada en las operaciones de suma, resta, multiplicación, y tomando el inverso de un elemento no nulo de K .

Como 1 - 1 = 0 , la última definición implica que K y L tienen el mismo elemento cero.

Por ejemplo, el campo de los números racionales es un subcampo de los números reales , que a su vez es un subcampo de los números complejos. De manera más general, el campo de los números racionales es (o es isomórfico a) un subcampo de cualquier campo de característica 0.

La característica de un subcampo es la misma que la característica del campo más grande.

Campo de extensión

Si K es un subcampo de L , entonces L es un campo de extensión o simplemente una extensión de K , y este par de campos es una extensión de campo . Tal extensión de campo se denota L / K (leído como " L sobre K ").

Si L es una extensión de F , que es a su vez una extensión de K , entonces F se dice que es un campo intermedio (o extensión intermedia o subextension ) de L / K .

Dada una extensión de campo L / K , el campo más grande L es un K - espacio vectorial . La dimensión de este espacio vectorial se llama grado de extensión y se denota por [ L  :  K ].

El grado de una extensión es 1 si y solo si los dos campos son iguales. En este caso, la extensión es una extensión trivial . Las extensiones de grado 2 y 3 se denominan extensiones cuadráticas y extensiones cúbicas , respectivamente. Una extensión finita es una extensión que tiene un grado finito.

Dadas dos extensiones L / K y M / L , la extensión M / K es finita si y solo si tanto L / K como M / L son finitas. En este caso, uno tiene

Dada una extensión de campo L / K y un subconjunto S de L , hay un subcampo más pequeño de L que contiene K y S . Es la intersección de todos los subcampos de L que contienen K y S , y se denota por K ( S ). Se dice que K ( S ) es el campo generado por S sobre K , y que S es un conjunto de generación de K ( S ) sobre K . Cuando es finito, uno escribe en lugar de y se dice que K ( S ) es de tipo finito sobre K . Si S consta de un solo elemento s , la extensión K ( s ) / K se denomina extensión simple y s se denomina elemento primitivo de la extensión.

A menudo se dice que un campo de extensión de la forma K ( S ) resulta de la adjunción deSaK.

En la característica 0, cada extensión finita es una extensión simple. Este es el teorema del elemento primitivo , que no es válido para campos de característica distinta de cero.

Si una simple extensión K ( s ) / K no es finito, el campo K ( s ) es isomorfo al campo de las fracciones racionales en s más de K .

Advertencias

La notación L / K es puramente formal y no implica la formación de un anillo o grupo de cocientes o cualquier otro tipo de división. En cambio, la barra inclinada expresa la palabra "sobre". En alguna literatura se usa la notación L : K.

A menudo es deseable hablar de extensiones de campo en situaciones en las que el campo pequeño no está realmente contenido en el más grande, sino que está naturalmente incrustado. Para este propósito, se define de manera abstracta una extensión de campo como un homomorfismo de anillo inyectivo entre dos campos. Todo homomorfismo de anillo distinto de cero entre campos es inyectivo porque los campos no poseen ideales propios no triviales, por lo que las extensiones de campo son precisamente los morfismos en la categoría de campos .

De ahora en adelante, suprimiremos el homomorfismo inyectivo y asumiremos que estamos tratando con subcampos reales.

Ejemplos de

El campo de los números complejos es un campo de extensión del campo de los números reales y, a su vez, es un campo de extensión del campo de los números racionales . Claramente, entonces, también es una extensión de campo. Tenemos porque es una base, por lo que la extensión es finita. Esta es una extensión simple porque (la cardinalidad del continuo ), por lo que esta extensión es infinita.

El campo

es un campo de extensión de también claramente una extensión simple. El grado es 2 porque puede servir de base.

El campo

es un campo de extensión de ambos y de grado 2 y 4 respectivamente. También es una extensión simple, ya que se puede demostrar que

Las extensiones finitas de también se denominan campos numéricos algebraicos y son importantes en la teoría de números . Otro campo de extensión de los racionales, que también es importante en la teoría de números, aunque no es una extensión finita, es el campo de los números p-ádicos para un número primo p .

Es común para la construcción de un campo de extensión de un campo dado K como un anillo cociente del anillo de polinomios K [ X ] con el fin de "crear" una raíz de un polinomio dado f ( X ). Supongamos, por ejemplo, que K no contiene ningún elemento x con x 2 = −1. A continuación, el polinomio es irreducible en K [ X ], en consecuencia, la ideales generada por este polinomio es máxima , y es un campo de extensión de K que hace contener un elemento cuyo cuadrado es -1 (es decir, la clase de residuo de X ).

Al iterar la construcción anterior, se puede construir un campo de división de cualquier polinomio a partir de K [ X ]. Este es un campo de extensión L de K en el que el polinomio dado se divide en un producto de factores lineales.

Si p es cualquier número primo y n es un entero positivo, tenemos un campo finito GF ( p n ) con p n elementos; este es un campo de extensión del campo finito con p elementos.

Dado un campo K , podemos considerar el campo K ( X ) de todas las funciones racionales en la variable X con coeficientes en K ; los elementos de K ( X ) son fracciones de dos polinomios sobre K , y de hecho K ( X ) es el campo de fracciones del anillo polinomial K [ X ]. Este campo de funciones racionales es un campo de extensión de K . Esta extensión es infinita.

Dada una superficie de Riemann M , el conjunto de todas las funciones meromorfas definidos en M es un campo, denotado por que es un campo de extensión trascendental de si identificamos cada número complejo con la correspondiente función constante definida en M . Más en general, dada una variedad algebraica V sobre algún campo K , entonces el campo de función de V , que consta de las funciones racionales definidos en V y denotadas por K ( V ), es un campo de extensión de K .

Extensión algebraica

Un elemento x de una extensión de campo L / K es algebraico sobre K si es una raíz de un distinto de cero polinomio con coeficientes en K . Por ejemplo, es algebraico sobre los números racionales, porque es raíz de Si un elemento x de L es algebraico sobre K , el polinomio mónico de menor grado que tiene x como raíz se llama polinomio mínimo de x . Este mínimo polinomio es irreducible sobre K .

Un elemento s de L es algebraico sobre K si y solo si la extensión simple K ( s ) / K es una extensión finita. En este caso, el grado de extensión es igual al grado del polinomio mínimo, y una base del K - espacio vectorial K ( s ) consiste en donde d es el grado del polinomio mínimo.

El conjunto de los elementos de L que son algebraico sobre K forman un subextension, que se llama la clausura algebraica de K en L . Esto resulta de la caracterización anterior: si s y t son algebraicos, las extensiones K ( s ) / K y K ( s ) ( t ) / K ( s ) son finitos. Así, K ( s , t ) / K también es finito, así como las sub extensiones K ( s ± t ) / K , K ( st ) / K y K (1 / s ) / K (si s ≠ 0 ). De ello se deduce que s ± t , st y 1 / s son todos algebraicos.

Una extensión algebraica L / K es una extensión tal que cada elemento de L es algebraico sobre K . De manera equivalente, una extensión algebraica es una extensión generada por elementos algebraicos. Por ejemplo, es una extensión algebraica de , porque y son algebraicos sobre

Una extensión simple es algebraica si y solo si es finita. Esto implica que una extensión es algebraica si y solo si es la unión de sus subextensiones finitas, y que toda extensión finita es algebraica.

Cada campo K tiene un cierre algebraico, que es hasta un isomorfismo el campo de extensión más grande de K que es algebraico sobre K , y también el campo de extensión más pequeño de manera que cada polinomio con coeficientes en K tiene una raíz en él. Por ejemplo, es un cierre algebraico de , pero no un cierre algebraico de , ya que no es algebraico sobre (por ejemplo, π no es algebraico sobre ).

Extensión trascendental

Dada una extensión de campo L / K , un subconjunto S de L se llama algebraicamente independiente sobre K si ninguna relación polinomio no trivial con coeficientes en K existe entre los elementos de S . El mayor cardinalidad de un conjunto algebraicamente independiente se llama el grado de trascendencia de L / K . Siempre es posible encontrar un conjunto S , algebraicamente independiente sobre K , tal que L / K ( S ) es algebraico. Tal conjunto S se llama una base trascendencia de L / K . Todas las bases de trascendencia tienen la misma cardinalidad, igual al grado de trascendencia de la extensión. Se dice que una extensión L / K espuramente trascendental si y sólo si existe una base de trascendenciaSdeL/Ktal queL=K(S). Tal extensión tiene la propiedad de que todos los elementos deL,excepto los deK,son trascendentales sobreK, pero, sin embargo, hay extensiones con esta propiedad que no son puramente trascendentales; una clase de tales extensiones toman la formaL/Kdonde tantoLyKson algebraicamente cerrados. Además, siL/Kes puramente trascendental ySes una base de trascendencia de la extensión, no se sigue necesariamente queL=K(S). Por ejemplo, considere la extensióndondexes trascendental sobreEl conjuntoes algebraicamente independiente ya quexes trascendental. Evidentemente, la extensiónes algebraica, por tantoes una base de trascendencia. No genera la extensión completa porque no hay una expresión polinomial enpara. Pero es fácil ver quees una base de trascendencia la que generapor lo que esta extensión es en verdad puramente trascendental.

Extensiones normales, separables y de Galois

Una extensión algebraica L / K se llama normales si cada polinomio irreducible en K [ X ] que tiene una raíz en L completamente factores en factores lineales más de L . Toda extensión algebraica F / K admite un cierre normal L , que es un campo de extensión de F tal que L / K es normal y que es mínimo con esta propiedad.

Una extensión algebraica L / K se llama separable si el polinomio mínimo de cada elemento de L sobre K es separable , es decir, no ha repetido raíces en un cierre algebraico sobre K . Una extensión de Galois es una extensión de campo que es tanto normal como separable.

Una consecuencia del teorema del elemento primitivo establece que toda extensión separable finita tiene un elemento primitivo (es decir, es simple).

Dado cualquier extensión campo L / K , podemos considerar su grupo de automorfismos Aut ( L / K ), que consiste en todos los campo automorfismos alpha : LL con α ( x ) = x para todo x en K . Cuando la extensión es Galois, este grupo de automorfismo se denomina grupo de Galois de la extensión. Las extensiones cuyo grupo de Galois es abeliano se denominan extensiones abelianas .

Para una extensión de campo dada L / K , a menudo uno está interesado en los campos intermedios F (subcampos de L que contienen K ). La importancia de las extensiones de Galois y los grupos de Galois es que permiten una descripción completa de los campos intermedios: existe una biyección entre los campos intermedios y los subgrupos del grupo de Galois, descrito por el teorema fundamental de la teoría de Galois .

Generalizaciones

Las extensiones de campo se pueden generalizar a extensiones de anillo que constan de un anillo y uno de sus subanillos . Un análogo no conmutativo más cercano son las álgebras simples centrales (CSA): extensiones de anillo sobre un campo, que son álgebra simple (sin ideales bilaterales no triviales, como para un campo) y donde el centro del anillo es exactamente el campo. Por ejemplo, la única extensión de campo finito de los números reales son los números complejos, mientras que los cuaterniones son un álgebra central simple sobre los reales, y todos los CSA sobre los reales son equivalentes de Brauer a los reales o los cuaterniones. Los CSA se pueden generalizar aún más a las álgebras de Azumaya , donde el campo base se reemplaza por un anillo local conmutativo .

Extensión de escalares

Dada una extensión de campo, uno puede " extender escalares " en objetos algebraicos asociados. Por ejemplo, dado un espacio vectorial real, se puede producir un espacio vectorial complejo mediante la complexificación . Además de los espacios vectoriales, se pueden realizar extensiones de escalares para álgebras asociativas definidas sobre el campo, como polinomios o álgebras de grupo y las representaciones de grupo asociadas . La extensión de escalares de polinomios a menudo se usa implícitamente, simplemente considerando los coeficientes como elementos de un campo más grande, pero también se puede considerar de manera más formal. La extensión de escalares tiene numerosas aplicaciones, como se explica en extensión de escalares: aplicaciones .

Ver también

Notas

  1. ^ Fraleigh (1976 , p. 293)
  2. ^ Herstein (1964 , p. 167)
  3. McCoy (1968 , p. 116)
  4. Fraleigh (1976 , p. 298)
  5. ^ Herstein (1964 , p. 193)
  6. ^ Fraleigh (1976 , p. 363)
  7. ^ Fraleigh (1976 , p. 319)
  8. ^ Herstein (1964 , p. 169)

Referencias

  • Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2a ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
  • Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
  • Lang, Serge (2004), Álgebra , Textos de posgrado en matemáticas , 211 (Cuarta impresión corregida, tercera edición revisada), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 978-0-387-95385-4
  • McCoy, Neal H. (1968), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn y Bacon , LCCN  68015225

enlaces externos