Espacio totalmente desconectado - Totally disconnected space

En topología y ramas relacionadas de las matemáticas , un espacio totalmente desconectado es un espacio topológico que está desconectado al máximo, en el sentido de que no tiene subconjuntos conectados no triviales . En todo espacio topológico, los singletons (y, cuando se considera conectado, el conjunto vacío) están conectados; en un espacio totalmente desconectado, estos son los únicos subconjuntos adecuados conectados.

Un ejemplo importante de un espacio totalmente desconectado es el conjunto Cantor . Otro ejemplo, que juega un papel clave en la teoría algebraica de números , es el campo Q _p de p -números ádicos .

Definición

Un espacio topológico está totalmente desconectado si los componentes conectados en son los conjuntos de un punto. Análogamente, un espacio topológico es totalmente path-desconectado si todos de caminos componentes en son los conjuntos de un punto. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Otra noción estrechamente relacionada es la de un espacio totalmente separado , es decir, un espacio donde los cuasicomponentes son singletons. De manera equivalente, un espacio topológico es un espacio totalmente separado si y solo si para cada , la intersección de todos los vecindarios abiertos de es el singleton . De manera equivalente, para cada par de puntos distintos , hay un par de vecindarios abiertos disjuntos de tal que . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x \ in X}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle \ {x \}}$${\ Displaystyle x, y \ en X}$${\ Displaystyle U, V}$${\ Displaystyle x, y}$${\ Displaystyle X = U \ sqcup V}$

Cada espacio totalmente separado está evidentemente totalmente desconectado, pero lo contrario es falso incluso para los espacios métricos. Por ejemplo, considere el tipi de Cantor, que es el abanico Knaster-Kuratowski sin el ápice. Entonces está totalmente desconectado pero sus cuasicomponentes no son singletons. Para espacios de Hausdorff localmente compactos, las dos nociones ( totalmente desconectadas y totalmente separadas ) son equivalentes. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Desafortunadamente en la literatura (por ejemplo), los espacios totalmente desconectados a veces se denominan desconectados hereditariamente, mientras que la terminología totalmente desconectada se usa para espacios totalmente separados.

Ejemplos de

Los siguientes son ejemplos de espacios totalmente desconectados:

• Espacios discretos
• Los números racionales
• Los números irracionales
• Los números p-ádicos ; de manera más general, todos los grupos lucrativos están totalmente desconectados.
• El plató Cantor y el espacio Cantor
• El espacio Baire
• La línea Sorgenfrey
• Cada espacio de Hausdorff de pequeña dimensión inductiva 0 está totalmente desconectado
• El espacio de Erdős ℓ ² es un espacio de Hausdorff totalmente desconectado que no tiene una pequeña dimensión inductiva 0.${\ Displaystyle \, \ cap \, \ mathbb {Q} ^ {\ omega}}$
• Espacios de Hausdorff extremadamente desconectados
• Espacios de piedra
• El ventilador Knaster – Kuratowski proporciona un ejemplo de un espacio conectado, de modo que la eliminación de un solo punto produce un espacio totalmente desconectado.

Propiedades

• Los subespacios , productos y coproductos de espacios totalmente desconectados están totalmente desconectados.
• Espacios totalmente desconectados son T ₁ espacios , ya singletons están cerrados.
• Las imágenes continuas de espacios totalmente desconectados no necesariamente están totalmente desconectados, de hecho, cada espacio métrico compacto es una imagen continua del conjunto de Cantor .
• Un espacio de Hausdorff localmente compacto tiene una pequeña dimensión inductiva 0 si y solo si está totalmente desconectado.
• Cada espacio métrico compacto totalmente desconectado es homeomorfo a un subconjunto de un producto contable de espacios discretos .
• En general, no es cierto que todos los conjuntos abiertos en un espacio totalmente desconectado también estén cerrados.
• En general, no es cierto que el cierre de cada conjunto abierto en un espacio totalmente desconectado sea abierto, es decir, no todos los espacios de Hausdorff totalmente desconectados están extremadamente desconectados .

Construyendo un espacio totalmente desconectado

Sea un espacio topológico arbitrario. Sea si y solo si (donde denota el subconjunto conectado más grande que contiene ). Obviamente, esta es una relación de equivalencia cuyas clases de equivalencia son los componentes conectados de . Dotar de la topología de cociente , es decir, la topología más fina que hace que el mapa sea continuo. Con un poco de esfuerzo podemos ver que está totalmente desconectado. También tenemos la siguiente propiedad universal : si es un mapa continuo a un espacio totalmente desconectado , entonces existe un mapa continuo único con . ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle x \ sim y}$${\ Displaystyle y \ in \ mathrm {conexión} (x)}$${\ Displaystyle \ mathrm {conexión} (x)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X / {\ sim}}$${\ Displaystyle m: x \ mapsto \ mathrm {conexión} (x)}$${\ Displaystyle X / {\ sim}}$${\ displaystyle f: X \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ displaystyle {\ breve {f}} :( X / \ sim) \ rightarrow Y}$${\ Displaystyle f = {\ breve {f}} \ circ m}$

Ver también

• Espacio extremadamente desconectado
• Grupo totalmente desconectado

Referencias

• Willard, Stephen (2004), topología general , publicaciones de Dover , ISBN 978-0-486-43479-7, MR  2048350(reimpresión del original de 1970, MR 0264581 )