Grupo localmente finito - Locally finite group
En matemáticas , en el campo de la teoría de grupos , un grupo localmente finito es un tipo de grupo que puede estudiarse de forma análoga a un grupo finito . Se han estudiado los subgrupos de Sylow , los subgrupos de Carter y los subgrupos abelianos de grupos localmente finitos. El matemático ruso Sergei Chernikov atribuye al concepto su funcionamiento en la década de 1930 .
Definición y primeras consecuencias
Un grupo localmente finito es un grupo para el cual cada subgrupo generado finita es finito .
Dado que los subgrupos cíclicos de un grupo localmente finito se generan finitamente y, por lo tanto, son finitos, cada elemento tiene un orden finito , por lo que el grupo es periódico .
Ejemplos y no ejemplos
Ejemplos:
- Cada grupo finito es localmente finito
- Toda suma directa infinita de grupos finitos es localmente finita ( Robinson 1996 , p. 443) (aunque el producto directo puede no serlo).
- Grupos omega-categóricos
- Los grupos de Prüfer son grupos abelianos localmente finitos
- Cada grupo hamiltoniano es localmente finito
- Cada grupo resoluble periódico es localmente finito ( Dixon 1994 , Prop. 1.1.5).
- Cada subgrupo de un grupo localmente finito es localmente finito. ( Prueba. Sea G un grupo localmente finito y S un subgrupo. Cada subgrupo de S generado de forma finita es un subgrupo de G (generado de forma finita) .)
- El grupo universal de Hall es un grupo finito localmente contable que contiene cada grupo finito localmente contable como subgrupo.
- Cada grupo tiene un subgrupo localmente finito normal máximo único ( Robinson 1996 , p. 436)
- Cada subgrupo periódico del grupo lineal general sobre los números complejos es localmente finito. Dado que todos los grupos localmente finitos son periódicos, esto significa que para los grupos lineales y los grupos periódicos las condiciones son idénticas.
No ejemplos:
- Ningún grupo con un elemento de orden infinito es un grupo localmente finito
- Ningún grupo libre no trivial es localmente finito
- Un grupo de monstruos Tarski es periódico, pero no localmente finito.
Propiedades
La clase de grupos localmente finitos se cierra en subgrupos, cocientes y extensiones ( Robinson 1996 , p. 429).
Los grupos localmente finitos satisfacen una forma más débil de los teoremas de Sylow . Si un grupo localmente finito tiene un p- subgrupo finito contenido en ningún otro p- subgrupo, entonces todos los p- subgrupos máximos son finitos y conjugados. Si hay un número finito de conjugados, entonces el número de conjugados es congruente con 1 módulo p . De hecho, si cada subgrupo contable de un grupo localmente finito solo tiene muchos p- subgrupos máximos, entonces cada p- subgrupo máximo del grupo es conjugado ( Robinson 1996 , p. 429).
La clase de grupos localmente finitos se comporta de manera algo similar a la clase de grupos finitos. Gran parte de la teoría de las formaciones y las clases de adaptación de los años sesenta, así como la teoría de los subgrupos de Sylow del siglo XIX y de los años treinta, tiene un análogo en la teoría de los grupos localmente finitos ( Dixon 1994 , p. V.).
De manera similar al problema de Burnside , los matemáticos se han preguntado si cada grupo infinito contiene un subgrupo abeliano infinito . Si bien esto no tiene por qué ser cierto en general, un resultado de Philip Hall y otros es que cada grupo infinito localmente finito contiene un grupo abeliano infinito. La prueba de este hecho en la teoría de grupos infinitos se basa en el teorema de Feit-Thompson sobre la solubilidad de grupos finitos de orden impar ( Robinson 1996 , p. 432).
Referencias
- ^ Dixon, MR; Kirichenko, VV; Kurdachenko, LA; Otal, J .; Semko, NN; Shemetkov, LA; Subbotin, I. Ya. (2012). "SN Chernikov y el desarrollo de la teoría de grupos infinitos". Álgebra y Matemática Discreta . 13 (2): 169-208.
- ^ Curtis, Charles; Reiner, Irving (1962), Teoría de la representación de grupos finitos y álgebras asociadas , John Wiley & Sons, págs. 256–262
- Dixon, Martyn R. (1994), teoría de Sylow, formaciones y clases de ajuste en grupos localmente finitos , Series in Algebra, 2 , River Edge, Nueva Jersey: World Scientific Publishing Co. Inc., ISBN 978-981-02-1795-2, MR 1313499
- Robinson, Derek John Scott (1996), Un curso de teoría de grupos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-94461-6
enlaces externos
- AL Shmel'kin (2001) [1994], "Grupo localmente finito" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press
- Otto H. Kegel y Bertram AF Wehrfritz (1973), Grupos localmente finitos , Elsevier