p -grupo - p-group

Estructura algebraica → Teoría de grupos Teoría de grupos
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Grupos finitos Clasificación de grupos simples finitos cíclico alterno Tipo de mentira esporádico Teorema de Cauchy Teorema de lagrange Teoremas de Sylow Teorema de Hall grupo p Grupo abeliano elemental Grupo Frobenius Multiplicador de Schur Grupo simétrico S n Klein de cuatro grupos V Grupo diedro D n Grupo de cuaterniones Q Grupo dicíclico Dic n
Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Lazo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En matemáticas , específicamente la teoría de grupos , dado un número primo p , un p -grupo es un grupo en el que el orden de cada elemento es una potencia de p . Es decir, para cada elemento g de un p -grupo G , existe un número entero no negativo n tal que el producto de p ⁿ copias de g , y no menos, es igual al elemento identidad . Los órdenes de los diferentes elementos pueden tener diferentes potencias de p .

Los grupos p abelianos también se denominan p -primarios o simplemente primarios .

Un grupo finito es un grupo p si y solo si su orden (el número de sus elementos) es una potencia de p . Dado un grupo finito G , los teoremas de Sylow garantizar la existencia de un subgrupo de G de orden p ⁿ para cada potencia principal p ⁿ que divide el orden de G .

El resto de este artículo trata de grupos p finitos . Para obtener un ejemplo de un grupo p abeliano infinito , consulte el grupo Prüfer , y para un ejemplo de un grupo p infinito simple , consulte el grupo de monstruos de Tarski .

Propiedades

Cada grupo p es periódico ya que, por definición, cada elemento tiene un orden finito .

Si p es primo y G es un grupo de orden p ^k , entonces G tiene un subgrupo normal de orden p ^m para cada 1 ≤ m ≤ k . Esto sigue por inducción, usando el teorema de Cauchy y el teorema de correspondencia para grupos. Un bosquejo de prueba es el siguiente: debido a que el centro Z de G no es trivial (ver más abajo), de acuerdo con el teorema de Cauchy, Z tiene un subgrupo H de orden p . Ser central en G , H es necesariamente lo normal en G . Ahora podemos aplicar la hipótesis inductiva a G / H , y el resultado se sigue del Teorema de correspondencia.

Centro no trivial

Uno de los primeros resultados estándar que utiliza la ecuación de clase es que el centro de un grupo p finito no trivial no puede ser el subgrupo trivial.

Esto forma la base de muchos métodos inductivos en p -grupos.

Por ejemplo, el normalizador N de un subgrupo propio H de un p -grupo finito G contiene apropiadamente H , porque para cualquier contraejemplo con H = N , el centro Z está contenido en N , y por tanto también en H , pero entonces hay un ejemplo más pequeño H / Z cuyo normalizador en G / Z es N / Z = H / Z , creando un descenso infinito. Como corolario, todo grupo p finito es nilpotente .

En otra dirección, todo subgrupo normal de un grupo p finito interseca el centro de manera no trivial, como puede demostrarse considerando los elementos de N que son fijos cuando G actúa sobre N por conjugación. Dado que cada subgrupo central es normal, se deduce que cada subgrupo normal mínimo de un grupo p finito es central y tiene orden p . De hecho, el zócalo de un p -grupo finito es el subgrupo del centro que consta de los elementos centrales de orden p .

Si G es un grupo p , entonces también lo es G / Z , por lo que también tiene un centro no trivial. La preimagen en G del centro de G / Z se llama segundo centro y estos grupos comienzan la serie central superior . Generalizando los comentarios anteriores sobre el zócalo, un p -grupo finito con orden p ⁿ contiene subgrupos normales de orden p ⁱ con 0 ≤ i ≤ n , y cualquier subgrupo normal de orden p ⁱ está contenido en el i- ésimo centro Z _i . Si un subgrupo normal no está contenido en Z _i , entonces su intersección con Z _{i +1} tiene un tamaño de al menos p ^{i +1} .

Automorfismos

Los grupos de automorfismos de p -grupos están bien estudiados. Así como cada grupo p finito tiene un centro no trivial de modo que el grupo de automorfismo interno es un cociente adecuado del grupo, cada grupo p finito tiene un grupo de automorfismo externo no trivial . Cada automorfismo de G induce un automorfismo en G / Φ ( G ), donde Φ ( G ) es el subgrupo Frattini de G . El cociente G / Φ ( G ) es un grupo abeliano elemental y su grupo de automorfismo es un grupo lineal general , muy bien entendido. El mapa del grupo de automorfismo de G en este grupo lineal general ha sido estudiado por Burnside , quien demostró que el núcleo de este mapa es un grupo p .

Ejemplos de

Los p -grupos del mismo orden no son necesariamente isomórficos ; por ejemplo, el grupo cíclico C ₄ y el grupo de cuatro Klein V ₄ son 2 grupos de orden 4, pero no son isomorfos.

Tampoco es necesario que un grupo p sea abeliano ; el grupo diedro Dih ₄ de orden 8 es un grupo 2 no abeliano. Sin embargo, todo grupo de orden p ² es abeliano.

Los grupos diedros son muy similares y muy diferentes a los grupos cuaternión y los grupos semidiédricos . Juntos, los grupos diedro, semidiédrico y cuaternión forman los 2 grupos de clase máxima , es decir, los grupos de orden 2 ^{n +1} y nilpotencia clase n .

Productos de coronas iteradas

Los productos de corona iterados de grupos cíclicos de orden p son ejemplos muy importantes de p -grupos. Denote el grupo cíclico de orden p como W (1) y el producto de corona de W ( n ) con W (1) como W ( n  + 1). Entonces W ( n ) es el subgrupo p de Sylow del grupo simétrico Sym ( p ⁿ ). Los p- subgrupos máximos del grupo lineal general GL ( n , Q ) son productos directos de varios W ( n ). Tiene orden p ^k donde k  = ( p ⁿ  - 1) / ( p  - 1). Tiene clase de nilpotencia p ^{n −1} , y su serie central inferior, serie central superior, exponente inferior- p serie central y exponente superior- p serie central son iguales. Es generado por sus elementos de orden p , pero su exponente es p ⁿ . El segundo grupo de este tipo, W (2), es también un grupo p de clase máxima, ya que tiene el orden p ^{p +1} y la clase de potencia nula p , pero no es un grupo p regular . Dado que los grupos de orden p ^p son siempre grupos regulares, también es un ejemplo mínimo.

Grupos diedros generalizados

Cuando p  = 2 y n  = 2, W ( n ) es el grupo diedro de orden 8, por lo que, en cierto sentido, W ( n ) proporciona un análogo del grupo diedro para todos los primos p cuando n  = 2. Sin embargo, para n más altos la analogía se vuelve tensa. Hay una familia diferente de ejemplos que imita más de cerca los grupos diedros de orden 2 ⁿ , pero eso requiere un poco más de configuración. Sea ζ una p- ésima raíz primitiva de la unidad en los números complejos, sea Z [ζ] el anillo de los enteros ciclotómicos generados por él, y sea P el ideal primo generado por 1 − ζ. Sea G un grupo cíclico de orden p generado por un elemento z . Forme el producto semidirecto E ( p ) de Z [ζ] y G donde z actúa como una multiplicación por ζ. Las potencias P ⁿ son subgrupos normales de E ( p ), y los grupos de ejemplo son E ( p , n ) =  E ( p ) / P ⁿ . E ( p , n ) tiene orden p ^{n +1} y nilpotencia clase n , por lo que es un p -grupo de clase máxima. Cuando p  = 2, E (2, n ) es el grupo diedro de orden 2 ⁿ . Cuando p es impar, tanto W (2) como E ( p , p ) son grupos irregulares de clase máxima y orden p ^{p +1} , pero no son isomorfos.

Grupos de matrices triangulares unitarias

Los subgrupos de Sylow de grupos lineales generales son otra familia fundamental de ejemplos. Sea V un espacio vectorial de dimensión n con base { e ₁ , e ₂ , ..., e _n } y defina V _i como el espacio vectorial generado por { e _i , e _{i +1} , ..., e _n } para 1 ≤ i ≤ n , y defina V _i = 0 cuando i > n . Para cada 1 ≤ m ≤ n , el conjunto de transformaciones lineales invertibles de V que toman cada V _i a V _{i + m} forman un subgrupo de Aut ( V ) denotado U _m . Si V es un espacio vectorial sobre Z / p Z , entonces U ₁ es un subgrupo p de Sylow de Aut ( V ) = GL ( n , p ), y los términos de su serie central inferior son solo U _m . En términos de matrices, U _m son aquellas matrices triangulares superiores con 1 en la diagonal y 0 en las primeras m −1 superdiagonales. El grupo U ₁ tiene orden p ^{n · ( n −1) / 2} , clase n de potencia n , y exponente p ^k donde k es el menor número entero al menos tan grande como el logaritmo base p de n .

Clasificación

Los grupos de orden p ⁿ para 0 ≤ n ≤ 4 se clasificaron temprano en la historia de la teoría de grupos, y el trabajo moderno ha extendido estas clasificaciones a grupos cuyo orden divide p ⁷ , aunque la gran cantidad de familias de tales grupos crece tan rápidamente que Las clasificaciones ulteriores a lo largo de estas líneas se consideran difíciles de comprender para la mente humana. Por ejemplo, Marshall Hall Jr. y James K. Senior clasificaron grupos de orden 2 ⁿ para n ≤ 6 en 1964.

En lugar de clasificar los grupos por orden, Philip Hall propuso utilizar una noción de isoclinismo de grupos que reunían grupos p finitos en familias basadas en grandes cocientes y subgrupos.

Un método completamente diferente clasifica los p -grupos finitos por su coclase , es decir, la diferencia entre su longitud de composición y su clase de nilpotencia . Las llamadas conjeturas de coclase describieron el conjunto de todos los p -grupos finitos de colases fijas como perturbaciones de un número finito de grupos pro-p . Las conjeturas de la coclase se probaron en la década de 1980 utilizando técnicas relacionadas con álgebras de Lie y poderosos grupos p . Las demostraciones finales de los teoremas de coclase se deben a A. Shalev e independientemente a CR Leedham-Green, ambos en 1994. Admiten una clasificación de p -grupos finitos en gráficos de coclase dirigidos que constan sólo de un número finito de árboles de coclase cuyos (infinitos) los miembros se caracterizan por presentar un número finito de presentaciones parametrizadas.

Todo grupo de orden p ⁵ es metabeliano .

Hasta p ³

El grupo trivial es el único grupo de orden uno, y el grupo cíclico C _p es el único grupo de orden p . Hay exactamente dos grupos de orden p ² , ambos abelianos, a saber, C _{p ²} y C _p  ×  C _p . Por ejemplo, el grupo cíclico C ₄ y el grupo de cuatro Klein V ₄ que es C ₂  ×  C ₂ son 2 grupos de orden 4.

Hay tres grupos abelianos de orden p ³ , a saber, C _{p ³} , C _{p ²} × C _p y C _p × C _p × C _p . También hay dos grupos no abelianos.

Para p  ≠ 2, uno es un producto semidirecto de C _p × C _p con C _p , y el otro es un producto semidirecto de C _{p ²} con C _p . El primero se puede describir en otros términos como grupo UT (3, p ) de matrices unitarias triangulares sobre campo finito con p elementos, también llamado grupo de Heisenberg mod p .

Para p  = 2, ambos productos semidirectos mencionados anteriormente son isomorfos al grupo diedro Dih ₄ de orden 8. El otro grupo no abeliano de orden 8 es el grupo de cuaterniones Q ₈ .

Predominio

Entre grupos

El número de clases de isomorfismo de grupos de orden p ⁿ crece a medida que , y estos están dominados por las clases que son nilpotentes en dos pasos. Debido a este rápido crecimiento, hay una conjetura del folclore que afirma que casi todos los grupos finitos son 2 grupos: se cree que la fracción de clases de isomorfismo de 2 grupos entre las clases de isomorfismo de grupos de orden como máximo n tiende a 1 cuando n tiende hasta el infinito. Por ejemplo, de los 49910529484 diferentes grupos de orden como máximo 2000, 49487365 422, o un poco más del 99%, son 2 grupos de orden 1024. ${\ Displaystyle p ^ {{\ frac {2} {27}} norte ^ {3} + O (norte ^ {8/3})}}$

Dentro de un grupo

Todo grupo finito cuyo orden es divisible por p contiene un subgrupo que es un grupo p no trivial , es decir, un grupo cíclico de orden p generado por un elemento de orden p obtenido del teorema de Cauchy . De hecho, contiene un p -grupo de máximo orden posible: si donde p no divide m, entonces G tiene un subgrupo P de orden llamado Sylow p -subgrupo. Este subgrupo no necesita ser único, pero cualquier subgrupo de este orden es conjugado, y cualquier p- subgrupo de G está contenido en un p- subgrupo de Sylow . Esta y otras propiedades se prueban en los teoremas de Sylow . ${\ Displaystyle | G | = n = p ^ {k} m}$${\ Displaystyle p ^ {k},}$

Aplicación a la estructura de un grupo

Los p -grupos son herramientas fundamentales para comprender la estructura de grupos y en la clasificación de grupos finitos simples . Los p -grupos surgen como subgrupos y como grupos cocientes. Como subgrupos, para un primer dada p tiene el Sylow p -subgroups P (mayor p -subgroup no es único, pero todos conjugado) y el p núcleo- (el único más grande normal de p -subgroup), y varios otros. Como cocientes, el mayor cociente del grupo p es el cociente de G por el subgrupo p -residual Estos grupos están relacionados (para diferentes números primos), poseen propiedades importantes como el teorema del subgrupo focal y permiten determinar muchos aspectos de la estructura del grupo. ${\ Displaystyle O_ {p} (G)}$ ${\ Displaystyle O ^ {p} (G).}$

Control local

Gran parte de la estructura de un grupo finito se lleva a cabo en la estructura de sus llamados subgrupos locales , los normalizadores de los subgrupos p sin identidad .

Los grandes subgrupos abelianos elementales de un grupo finito ejercen control sobre el grupo que se utilizó en la demostración del teorema de Feit-Thompson . Ciertas extensiones centrales de grupos abelianos elementales llamados grupos extraespeciales ayudan a describir la estructura de los grupos como actuando sobre espacios vectoriales simplécticos .

Richard Brauer clasificó todos los grupos cuyos 2 subgrupos de Sylow son el producto directo de dos grupos cíclicos de orden 4, y John Walter , Daniel Gorenstein , Helmut Bender , Michio Suzuki , George Glauberman y otros clasificaron aquellos grupos simples cuyos 2 subgrupos de Sylow eran abeliano, diedro, semidiédrico o cuaternión.

Ver también

• Grupo elemental
• Rango Prüfer
• Grupo p regular

Notas al pie

Notas

Citas

Referencias

Otras lecturas

enlaces externos

• Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "p-Group" . MathWorld .