Grupo algebraico lineal - Linear algebraic group

En matemáticas , un grupo algebraico lineal es un subgrupo del grupo de matrices invertibles (bajo multiplicación de matrices ) que está definido por ecuaciones polinómicas . Un ejemplo es el grupo ortogonal , definido por la relación donde es la transposición de . ${\ Displaystyle n \ times n}$ ${\ Displaystyle M ^ {T} M = 1}$ ${\ Displaystyle M ^ {T}}$ ${\ Displaystyle M}$

Muchos grupos de Lie pueden verse como grupos algebraicos lineales sobre el campo de los números reales o complejos . (Por ejemplo, cada grupo de Lie compacto puede considerarse como un grupo algebraico lineal sobre R (necesariamente R -anisotrópico y reductivo), al igual que muchos grupos no compactos, como el grupo de Lie simple SL ( n , R )) . fueron clasificados por Wilhelm Killing y Élie Cartan en las décadas de 1880 y 1890. En ese momento, no se hizo un uso especial del hecho de que la estructura del grupo puede ser definida por polinomios, es decir, que estos son grupos algebraicos. Los fundadores de la teoría de los grupos algebraicos incluyen a Maurer , Chevalley y Kolchin ( 1948 ). En la década de 1950, Armand Borel construyó gran parte de la teoría de los grupos algebraicos tal como existe en la actualidad.

Uno de los primeros usos de la teoría fue definir los grupos de Chevalley .

Ejemplos de

Para un entero positivo , el grupo lineal general sobre un campo , que consta de todas las matrices invertibles , es un grupo algebraico lineal sobre . Contiene los subgrupos ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle GL (n)}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle n \ times n}$ ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle U \ subconjunto B \ subconjunto GL (n)}

que consta de matrices de la forma

{\ Displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc} 1 & * & \ dots & * \\ 0 & 1 & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & * \\ 0 & \ dots & 0 & 1 \ end {array}} \ right)}

y .

{\ Displaystyle \ left ({\ begin {array} {cccc} * & * & \ dots & * \\ 0 & * & \ ddots & \ vdots \\\ vdots & \ ddots & \ ddots & * \\ 0 & \ dots & 0 & * \ end {array}} \ right)}

El grupo es un ejemplo de un grupo algebraico lineal unipotente , el grupo es un ejemplo de un grupo algebraico solucionable llamado subgrupo de Borel . Es una consecuencia del teorema de Lie-Kolchin en el que se conjuga cualquier subgrupo resoluble conectado de . Se puede conjugar en cualquier subgrupo unipotente . ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle GL (n)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ Displaystyle B}$ ${\ Displaystyle U}$

Otro subgrupo algebraico de es el grupo lineal especial de matrices con determinante 1. ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (n)}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {SL} (n)}$

El grupo se llama grupo multiplicativo , generalmente denotado por . El grupo de -puntos es el grupo multiplicativo de elementos distintos de cero del campo . El grupo aditivo , cuyos -puntos son isomorfos al grupo aditivo de , también se puede expresar como un grupo de matriz, por ejemplo, como el subgrupo en : ${\ Displaystyle GL (1)}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {m}} (k)}$ ${\ Displaystyle k ^ {*}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {a}}}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle k}$ ${\ Displaystyle U}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {GL} (2)}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & * \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}

Estos dos ejemplos básicos de grupos algebraicos lineales conmutativos, los grupos multiplicativo y aditivo, se comportan de manera muy diferente en términos de sus representaciones lineales (como grupos algebraicos). Cada representación del grupo multiplicativo es una suma directa de representaciones irreductibles . (Todas sus representaciones irreductibles tienen dimensión 1, de la forma de un número entero ). Por el contrario, la única representación irreductible del grupo aditivo es la representación trivial. Entonces, cada representación de (como la representación bidimensional anterior) es una extensión iterada de representaciones triviales, no una suma directa (a menos que la representación sea trivial). La teoría de la estructura de los grupos algebraicos lineales analiza cualquier grupo algebraico lineal en términos de estos dos grupos básicos y sus generalizaciones, tori y grupos unipotentes, como se analiza a continuación. ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {m}}}$ ${\ Displaystyle x \ mapsto x ^ {n}}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {a}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {G} _ {\ mathrm {a}}}$

Definiciones

Para un campo k algebraicamente cerrado , gran parte de la estructura de una variedad algebraica X sobre k está codificada en su conjunto X ( k ) de k - puntos racionales , lo que permite una definición elemental de un grupo algebraico lineal. Primero, defina una función del grupo abstracto GL ( n , k ) ak para que sea regular si se puede escribir como un polinomio en las entradas de una matriz A de n × n y en 1 / det ( A ), donde det es el determinante . Entonces, un grupo algebraico lineal G sobre un campo algebraicamente cerrado k es un subgrupo G ( k ) del grupo abstracto GL ( n , k ) para algún número natural n tal que G ( k ) se define por la desaparición de algún conjunto de regular funciones.

Para un campo arbitrario k , las variedades algebraicas sobre k se definen como un caso especial de esquemas sobre k . En ese lenguaje, un grupo algebraico lineal G sobre un campo k es un esquema de subgrupo cerrado suave de GL ( n ) sobre k para algún número natural n . En particular, G se define por la desaparición de algún conjunto de funciones regulares en GL ( n ) sobre k , y estas funciones deben tener la propiedad de que para cada k conmutativa - álgebra R , G ( R ) es un subgrupo del grupo abstracto GL ( n , R ). (Por lo tanto, un grupo algebraico G sobre k no es solo el grupo abstracto G ( k ), sino más bien la familia completa de grupos G ( R ) para k -álgebras conmutativas R ; esta es la filosofía de describir un esquema por su functor de puntos .)

En cualquier idioma, uno tiene la noción de un homomorfismo de grupos algebraicos lineales. Por ejemplo, cuando k es algebraicamente cerrado, un homomorfismo de G ⊂ GL ( m ) a H ⊂ GL ( n ) es un homomorfismo de grupos abstractos G ( k ) → H ( k ) que se define por las funciones regulares sobre G . Esto convierte a los grupos algebraicos lineales sobre k en una categoría . En particular, esto define lo que significa que dos grupos algebraicos lineales sean isomorfos .

En el lenguaje de los esquemas, un grupo algebraico lineal G sobre un campo k es en particular un esquema de grupo sobre k , es decir, un esquema sobre k junto con un k -punto 1 ∈ G ( k ) y morfismos

{\ Displaystyle m \ colon G \ times _ {k} G \ to G, \; i \ colon G \ to G}

sobre k que satisfacen los axiomas habituales para la multiplicación y los mapas inversos en un grupo (asociatividad, identidad, inversos). Un grupo algebraico lineal también es suave y de tipo finito sobre k , y es afín (como esquema). A la inversa, cada esquema de grupo afín G de tipo finito sobre un campo k tiene una representación fiel en GL ( n ) sobre k para algún n . Un ejemplo es la inclusión del grupo de aditivos G _a en GL (2), como se mencionó anteriormente. Como resultado, uno puede pensar en grupos algebraicos lineales como grupos matriciales o, de manera más abstracta, como esquemas de grupos afines suaves sobre un campo. (Algunos autores usan "grupo algebraico lineal" para referirse a cualquier esquema de grupo afín de tipo finito sobre un campo).

Para una comprensión completa de los grupos algebraicos lineales, hay que considerar esquemas de grupo más generales (no uniformes). Por ejemplo, sea k un campo algebraicamente cerrado de característica p > 0. Entonces el homomorfismo f : G _m → G _m definido por x ↦ x ^p induce un isomorfismo de grupos abstractos k * → k *, pero f no es un isomorfismo de grupos algebraicos (porque x ^{1 / p} no es una función regular). En el lenguaje de los esquemas de grupo, hay una razón más clara por la que f no es un isomorfismo: f es sobreyectiva, pero tiene un núcleo no trivial , a saber, el esquema de grupo μ _p de p- ésima raíz de unidad. Este problema no surge en la característica cero. De hecho, todo esquema de grupo de tipo finito sobre un campo k de característica cero es uniforme sobre k . Un esquema de grupo de tipo finito sobre cualquier campo k es suave sobre k si y solo si está geométricamente reducido , lo que significa que el cambio de base se reduce , donde es un cierre algebraico de k . ${\ Displaystyle G _ {\ overline {k}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {k}}}$

Dado que un esquema afín X está determinado por su anillo O ( X ) de funciones regulares, un esquema de grupo afín G sobre un campo k está determinado por el anillo O ( G ) con su estructura de álgebra de Hopf (procedente de la multiplicación y la inversa mapas en G ). Esto da una equivalencia de categorías (flechas inversas) entre esquemas de grupos afines sobre k y álgebras de Hopf conmutativas sobre k . Por ejemplo, el álgebra de Hopf correspondiente al grupo multiplicativo G _m = GL (1) es el anillo polinomial de Laurent k [ x , x ⁻¹ ], con la comultiplicación dada por

{\ Displaystyle x \ mapsto x \ otimes x.}

Nociones basicas

Para un grupo algebraico lineal G sobre un campo k , el componente de identidad G ^o (el componente conectado que contiene el punto 1) es un subgrupo normal de índice finito . Entonces hay una extensión grupal

{\ Displaystyle 1 \ to G ^ {\ circ} \ to G \ to F \ to 1,}

donde F es un grupo algebraico finito. (Para k algebraicamente cerrado, F puede identificarse con un grupo finito abstracto.) Por esto, el estudio de grupos algebraicos se enfoca principalmente en grupos conectados.

Varias nociones de la teoría de grupos abstractos pueden extenderse a grupos algebraicos lineales. Es sencillo definir lo que significa que un grupo algebraico lineal sea conmutativo , nilpotente o resoluble , por analogía con las definiciones de la teoría de grupos abstracta. Por ejemplo, un grupo algebraico lineal se puede resolver si tiene una serie de composición de subgrupos algebraicos lineales de manera que los grupos de cocientes sean conmutativos. También, el normalizador , el centro , y el centralizador de un subgrupo cerrado H de un grupo algebraico lineal G son, naturalmente, vistos como esquemas subgrupo cerrado de G . Si son suaves sobre k , entonces son grupos algebraicos lineales como se definió anteriormente.

Cabe preguntarse hasta qué punto las propiedades de un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo k están determinadas por el grupo abstracto G ( k ). Un resultado útil en esta dirección es que si el campo k es perfecto (por ejemplo, de característica cero), o si G es reductivo (como se define a continuación), entonces G es uniracional sobre k . Por lo tanto, si además k es infinito, el grupo G ( k ) es Zariski densa en G . Por ejemplo, bajo los supuestos mencionados, G es conmutativo, nilpotente o solucionable si y solo si G ( k ) tiene la propiedad correspondiente.

El supuesto de conexión no puede omitirse en estos resultados. Por ejemplo, sea G sea el grupo mu ₃ ⊂ GL (1) de raíces cúbicas de la unidad a través de los números racionales Q . Entonces G es un grupo algebraico lineal sobre Q para el cual G ( Q ) = 1 no es Zariski denso en G , porque es un grupo de orden 3. ${\ Displaystyle G ({\ overline {\ mathbf {Q}}})}$

Sobre un campo algebraicamente cerrado, hay un resultado más fuerte sobre los grupos algebraicos como variedades algebraicas: cada grupo algebraico lineal conectado sobre un campo algebraicamente cerrado es una variedad racional .

El álgebra de Lie de un grupo algebraico

El álgebra de Lie de un grupo algebraico G se puede definir de varias formas equivalentes: como el espacio tangente T ₁ ( G ) en el elemento identidad 1 ∈ G ( k ), o como el espacio de derivaciones invariantes a la izquierda . Si k es algebraicamente cerrado, una derivación D : O ( G ) → O ( G ) sobre k del anillo de coordenadas de G es invariante a la izquierda si ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ Displaystyle D \ lambda _ {x} = \ lambda _ {x} D}

para cada x en G ( k ), donde λ _x : O ( G ) → O ( G ) es inducida por la multiplicación por la izquierda por x . Para un campo arbitrario k , la invariancia izquierda de una derivación se define como una igualdad análoga de dos mapas lineales O ( G ) → O ( G ) ⊗ O ( G ). El corchete de Lie de dos derivaciones se define por [ D ₁ , D ₂ ] = D ₁D ₂ - D ₂D ₁ .

El paso de G a es, por tanto, un proceso de diferenciación . Para un elemento x ∈ G ( k ), la derivada en 1 ∈ G ( k ) del mapa de conjugación G → G , g ↦ xgx ⁻¹ , es un automorfismo de , dando la representación adjunta : ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

{\ Displaystyle \ operatorname {Ad} \ colon G \ to \ operatorname {Aut} ({\ mathfrak {g}}).}

Sobre un campo de característica cero, un subgrupo H conectado de un grupo algebraico lineal G está determinado únicamente por su álgebra de Lie . Pero no todos los subálgebra de Lie de corresponde a un subgrupo algebraica de G , como se ve en el ejemplo del torus G = ( G _m ) ² sobre C . En característica positiva, puede haber muchos subgrupos conectados diferentes de un grupo G con el mismo álgebra de Lie (nuevamente, el toro G = ( G _m ) ² proporciona ejemplos). Por estas razones, aunque el álgebra de Lie de un grupo algebraico es importante, la teoría de la estructura de los grupos algebraicos requiere herramientas más globales. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {h}} \ subconjunto {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$

Elementos semisimple y unipotente

Para un campo k algebraicamente cerrado , una matriz g en GL ( n , k ) se llama semisimple si es diagonalizable y unipotente si la matriz g - 1 es nilpotente . De manera equivalente, g es unipotente si todos los autovalores de g son iguales a 1. La forma canónica de Jordan para matrices implica que cada elemento g de GL ( n , k ) puede escribirse únicamente como un producto g = g _ssg _u tal que g _ss es semisimple, g _u es unipotente y g _ss y g _{u se} conmutan entre sí.

Para cualquier campo k , se dice que un elemento g de GL ( n , k ) es semisimple si se vuelve diagonalizable sobre el cierre algebraico de k . Si el campo k es perfecto, entonces las partes semisimple y unipotente de g también se encuentran en GL ( n , k ). Finalmente, para cualquier grupo algebraico lineal G ⊂ GL ( n ) sobre un campo k , defina un punto k de G como semisimple o unipotente si es semisimple o unipotente en GL ( n , k ). (Estas propiedades son de hecho independiente de la elección de una representación fiel de G .) Si el campo k es perfecto, entonces las partes semisimples y unipotentes de un k -punto de G son automáticamente en G . Es decir (la descomposición de Jordan ): cada elemento g de G ( k ) se puede escribir únicamente como un producto g = g _ssg _u en G ( k ) tal que g _ss es semisimple, g _u es unipotente y g _ss y g _u viajar entre sí. Esto reduce el problema de describir las clases de conjugación en G ( k ) a los casos semisimple y unipotente.

Tori

Un toro sobre un campo algebraicamente cerrado k significa un grupo isomorfo a ( G _m ) ⁿ , el producto de n copias del grupo multiplicativo sobre k , para algún número natural n . Para un grupo algebraico lineal G , un toro máximo en G significa un toro en G que no está contenido en ningún toro mayor. Por ejemplo, el grupo de matrices diagonales en GL ( n ) sobre k es un toro máximo en GL ( n ), isomorfo a ( G _m ) ⁿ . Un resultado básico de la teoría es que cualesquiera dos toros máximos en un grupo G sobre un campo k algebraicamente cerrado son conjugados por algún elemento de G ( k ). El rango de G significa la dimensión de cualquier toro máximo.

Para un campo arbitrario k , un toro T sobre k significa un grupo algebraico lineal sobre k cuyo cambio de base al cierre algebraico de k es isomorfo a ( G _m ) ⁿ sobre , para algún número natural n . Un toro dividido sobre k significa un grupo isomorfo a ( G _m ) ⁿ sobre k para algunos n . Un ejemplo de un toro no dividido sobre los números reales R es ${\ Displaystyle T _ {\ overline {k}}}$ ${\ Displaystyle {\ overline {k}}}$

{\ Displaystyle T = \ {(x, y) \ in A _ {\ mathbf {R}} ^ {2}: x ^ {2} + y ^ {2} = 1 \},}

con estructura de grupo dada por la fórmula para multiplicar números complejos x + iy . Aquí T es un toro de dimensión 1 sobre R . No está dividido, porque su grupo de puntos reales T ( R ) es el grupo circular , que no es isomorfo ni siquiera como grupo abstracto a G _m ( R ) = R *.

Cada punto de un toro sobre un campo k es semisimple. Por el contrario, si G es un grupo algebraico lineal conectado tal que cada elemento de es semisimple, entonces G es un toro. ${\ Displaystyle G ({\ overline {k}})}$

Para un grupo algebraico lineal G sobre un campo general k , no se puede esperar que todos los toros máximos en G sobre k estén conjugados por elementos de G ( k ). Por ejemplo, tanto el grupo multiplicativo G _m y el grupo círculo T anteriormente se producen como máximo Tori en SL (2) sobre R . Sin embargo, siempre es cierto que dos toros divididos máximos en G sobre k (es decir, toros divididos en G que no están contenidos en un toro dividido más grande ) se conjugan con algún elemento de G ( k ). Como resultado, tiene sentido definir el rango k o rango dividido de un grupo G sobre k como la dimensión de cualquier toro dividido máximo en G sobre k .

Para cualquier toro máximo T en un grupo algebraico lineal G sobre un campo k , Grothendieck mostró que es un toro máximo en . De ello se deduce que dos toros máximos cualesquiera en G sobre un campo k tienen la misma dimensión, aunque no es necesario que sean isomorfos. ${\ Displaystyle T _ {\ overline {k}}}$ ${\ Displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Grupos unipotentes

Sea U _n el grupo de matrices triangulares superiores en GL ( n ) con entradas diagonales iguales a 1, sobre un campo k . Un esquema de grupo sobre un campo k (por ejemplo, un grupo algebraico lineal) se llama unipotente si es isomorfo a un esquema de subgrupo cerrado de U _n para algún n . Es sencillo comprobar que el grupo U _n es nilpotente. Como resultado, todo esquema de grupo unipotente es nilpotente.

Un grupo algebraico lineal G sobre un campo k es unipotente si y solo si cada elemento de es unipotente. ${\ Displaystyle G ({\ overline {k}})}$

El grupo B _n de matrices triangulares superiores en GL ( n ) es un producto semidirecto

{\ Displaystyle B_ {n} = T_ {n} \ ltimes U_ {n},}

donde T _n es el toro diagonal ( G _m ) ⁿ . Más en general, cada grupo algebraico lineal solucionable conectado es un producto semidirecto de un toro con un grupo unipotente, T ⋉ U .

Un grupo unipotente conectado uniformemente sobre un campo perfecto k (por ejemplo, un campo algebraicamente cerrado) tiene una serie de composición con todos los grupos cocientes isomorfos al grupo aditivo G _a .

Subgrupos de borel

Los subgrupos de Borel son importantes para la teoría de la estructura de grupos algebraicos lineales. Para un grupo algebraico lineal G sobre un campo algebraicamente cerrado k , un subgrupo de Borel de G significa un subgrupo solucionable conectado uniformemente máximo. Por ejemplo, un subgrupo Borel de GL ( n ) es el subgrupo B de matrices triangulares superiores (todas las entradas debajo de la diagonal son cero).

Un resultado básico de la teoría es que dos subgrupos de Borel cualesquiera de un grupo G conectado sobre un campo k algebraicamente cerrado se conjugan mediante algún elemento de G ( k ). (Una demostración estándar usa el teorema del punto fijo de Borel : para un grupo resoluble conectado G que actúa sobre una variedad adecuada X sobre un campo k algebraicamente cerrado , hay un punto k en X que está fijado por la acción de G ). La conjugación de subgrupos de Borel en GL ( n ) equivale al teorema de Lie-Kolchin : cada subgrupo solucionable de conexión suave de GL ( n ) se conjuga a un subgrupo del subgrupo triangular superior en GL ( n ).

Para un campo arbitrario k , un subgrupo B de G de Borel se define como un subgrupo sobre k tal que, sobre un cierre algebraico de k , es un subgrupo de Borel de . Por tanto, G puede tener o no un subgrupo de Borel sobre k . ${\ Displaystyle {\ overline {k}}}$ ${\ Displaystyle B _ {\ overline {k}}}$ ${\ Displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Para un esquema de subgrupo cerrado H de G , el espacio del cociente G / H es un esquema cuasi-proyectivo suave sobre k . Un subgrupo suave P de un grupo conectado G se llama parabólico si G / P es proyectivo sobre k (o equivalentemente, propio sobre k ). Una propiedad importante de Borel subgrupos B es que G / B es una variedad proyectiva, llamada la variedad bandera de G . Es decir, los subgrupos de Borel son subgrupos parabólicos. Más precisamente, para k algebraicamente cerrado, los subgrupos de Borel son exactamente los subgrupos parabólicos mínimos de G ; a la inversa, cada subgrupo que contiene un subgrupo de Borel es parabólico. Entonces, uno puede enumerar todos los subgrupos parabólicos de G (hasta la conjugación por G ( k )) enumerando todos los subgrupos algebraicos lineales de G que contienen un subgrupo Borel fijo. Por ejemplo, los subgrupos P ⊂ GL (3) sobre k que contienen el subgrupo B de Borel de matrices triangulares superiores son el propio B , el grupo completo GL (3) y los subgrupos intermedios

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} * & * & * \\ 0 & * & * \\ 0 & * & * \ end {bmatrix}} \ right \}}

y

{\ Displaystyle \ left \ {{\ begin {bmatrix} * & * & * \\ * & * & * \\ 0 & 0 & * \ end {bmatrix}} \ right \}.}

Las correspondientes variedades proyectivas homogéneas GL (3) / P son (respectivamente): la variedad bandera de todas las cadenas de subespacios lineales

{\ Displaystyle 0 \ subconjunto V_ {1} \ subconjunto V_ {2} \ subconjunto A_ {k} ^ {3}}

con V _i de dimensión i ; un punto; el espacio proyectivo P ² de líneas ( subespacios lineales unidimensionales ) en A ³ ; y el espacio proyectivo dual P ² de planos en A ³ .

Grupos semisimple y reductivo

Un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo algebraicamente cerrado se llama semisimple si cada subgrupo normal resoluble de conexión suave de G es trivial. De manera más general, un grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo algebraicamente cerrado se llama reductivo si todo subgrupo normal unipotente conectado uniformemente de G es trivial. (Algunos autores no requieren que los grupos reductivos estén conectados). Un grupo semisimple es reductivo. Un grupo G sobre un campo arbitrario k se llama semisimple o reductivo si es semisimple o reductivo. Por ejemplo, el grupo SL ( n ) de n × n matrices con determinante 1 sobre cualquier campo k es semisimple, mientras que un toro no trivial es reductivo pero no semisimple. Del mismo modo, GL ( n ) es reductivo pero no semisimple (porque su centro G _m es un subgrupo normal solucionable de conexión suave no trivial). ${\ Displaystyle G _ {\ overline {k}}}$

Cada grupo de Lie compacto conectado tiene una complexificación , que es un grupo algebraico reductivo complejo. De hecho, esta construcción da una correspondencia uno a uno entre los grupos de Lie conectados compactos y los grupos reductores complejos, hasta el isomorfismo.

Un grupo algebraica lineal G sobre un campo k se llama sencilla (o k - sencilla ) si es semisimple, no trivial, y cada subgrupo normal suavizar conectado de G sobre k es trivial o igual a G . (Algunos autores llaman a esta propiedad "casi simple".) Esto difiere ligeramente de la terminología para grupos abstractos, en que un grupo algebraico simple puede tener un centro no trivial (aunque el centro debe ser finito). Por ejemplo, para cualquier número entero n al menos 2 y cualquier campo k , el grupo SL ( n ) sobre k es simple, y su centro es el esquema de grupo μ _n de raíces n -ésimas de la unidad.

Cada grupo algebraico lineal conectado G sobre un campo perfecto k es (de una manera única) una extensión de un grupo reductor R por un grupo unipotente U conectado uniformemente , llamado el radical unipotente de G :

{\ Displaystyle 1 \ a U \ a G \ a R \ a 1.}

Si k tiene la característica cero, entonces se tiene la descomposición de Levi más precisa : cada grupo algebraico lineal conectado G sobre k es un producto semidirecto de un grupo reductor por un grupo unipotente. ${\ Displaystyle R \ ltimes U}$

Clasificación de grupos reductivos

Los grupos reductivos incluyen los grupos algebraicos lineales más importantes en la práctica, como los grupos clásicos : GL ( n ), SL ( n ), los grupos ortogonales SO ( n ) y los grupos simplécticos Sp (2 n ). Por otro lado, la definición de grupos reductivos es bastante "negativa" y no está claro que se pueda esperar decir mucho sobre ellos. Sorprendentemente, Claude Chevalley dio una clasificación completa de los grupos reductivos sobre un campo algebraicamente cerrado: están determinados por datos raíz . En particular, los grupos simples sobre un campo k algebraicamente cerrado se clasifican (hasta cocientes por esquemas de subgrupos centrales finitos) por sus diagramas de Dynkin . Llama la atención que esta clasificación sea independiente de la característica de k . Por ejemplo, los grupos de Lie excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ y E ₈ pueden definirse en cualquier característica (e incluso como esquemas de grupo sobre Z ). La clasificación de grupos simples finitos dice que la mayoría de los grupos simples finitos surgen como el grupo de k puntos de un grupo algebraico simple sobre un campo finito k , o como variantes menores de esa construcción.

Cada grupo reductivo sobre un campo es el cociente por un esquema de subgrupo central finito del producto de un toro y algunos grupos simples. Por ejemplo,

{\ Displaystyle GL (n) \ cong (G_ {m} \ times SL (n)) / \ mu _ {n}.}

Para un campo arbitrario k , un grupo reductor G se llama división si contiene un toro máximo dividido sobre k (es decir, un toro dividido en G que permanece máximo sobre un cierre algebraico de k ). Por ejemplo, GL ( n ) es un grupo reductor dividido sobre cualquier campo k . Chevalley demostró que la clasificación de los grupos reductores divididos es la misma en cualquier campo. Por el contrario, la clasificación de grupos reductores arbitrarios puede ser difícil, dependiendo del campo base. Por ejemplo, cada forma cuadrática no degenerada q sobre un campo k determina un grupo reductivo SO ( q ), y cada álgebra central simple A sobre k determina un grupo reductivo SL ₁ ( A ). Como resultado, el problema de clasificar grupos reductivos sobre k incluye esencialmente el problema de clasificar todas las formas cuadráticas sobre k o todas las álgebras centrales simples sobre k . Estos problemas son fáciles para k algebraicamente cerrados, y se entienden para algunos otros campos como los campos numéricos , pero para campos arbitrarios hay muchas preguntas abiertas.

Aplicaciones

Teoría de la representación

Una razón de la importancia de los grupos reductivos proviene de la teoría de la representación. Toda representación irreductible de un grupo unipotente es trivial. De manera más general, para cualquier grupo algebraico lineal G escrito como una extensión

{\ Displaystyle 1 \ a U \ a G \ a R \ a 1}

con U unipotent y R reductora, cada representación irreducible de G factores a través de R . Esto centra la atención en la teoría de la representación de grupos reductivos. (Para ser claros, las representaciones consideradas aquí son representaciones de G como un grupo algebraico . Por lo tanto, para un grupo G sobre un campo k , las representaciones están en espacios de k -vectores y la acción de G está dada por funciones regulares. Es un problema importante pero diferente clasificar representaciones continuas del grupo G ( R ) para un grupo reductivo real G , o problemas similares en otros campos.)

Chevalley demostró que las representaciones irreductibles de un grupo reductor dividido sobre un campo k son de dimensión finita y están indexadas por pesos dominantes . Esto es lo mismo que ocurre en la teoría de representación de grupos de Lie compactos conectados, o en la teoría de representación de dimensión finita de álgebras de Lie complejas semisimples . Para k de característica cero, todas estas teorías son esencialmente equivalentes. En particular, cada representación de un grupo reductor G sobre un campo de característica cero es una suma directa de representaciones irreductibles, y si G está dividido, los caracteres de las representaciones irreducibles vienen dados por la fórmula de caracteres de Weyl . El Borel-Weil teorema da una construcción geométrica de las representaciones irreducibles de un grupo reductora G en característica cero, como espacios de secciones de línea paquetes sobre la bandera colector G / B .

La teoría de la representación de grupos reductivos (distintos de tori) sobre un campo de característica positiva p se comprende menos. En esta situación, una representación no necesita ser una suma directa de representaciones irreductibles. Y aunque las representaciones irreductibles están indexadas por pesos dominantes, las dimensiones y caracteres de las representaciones irreductibles se conocen solo en algunos casos. Andersen, Jantzen y Soergel ( 1994 ) determinaron estos caracteres (demostrando la conjetura de Lusztig ) cuando la característica p es suficientemente grande en comparación con el número de Coxeter del grupo. Para pequeños números primos p , ni siquiera hay una conjetura precisa.

Acciones grupales y teoría invariante geométrica

Una acción de un grupo algebraico lineal G sobre una variedad (o esquema) X sobre un campo k es un morfismo

{\ Displaystyle G \ times _ {k} X \ a X}

que satisfaga los axiomas de una acción grupal . Como en otros tipos de teoría de grupos, es importante estudiar las acciones de los grupos, ya que los grupos surgen naturalmente como simetrías de objetos geométricos.

Parte de la teoría de las acciones grupales es la teoría geométrica invariante , que tiene como objetivo construir una variedad de cociente X / G , describiendo el conjunto de órbitas de un grupo algebraico lineal G sobre X como una variedad algebraica. Surgen varias complicaciones. Por ejemplo, si X es una variedad afín, entonces uno puede tratar de construir X / G como Spec del anillo de invariantes O ( X ) ^G . Sin embargo, Masayoshi Nagata demostró que el anillo de invariantes no necesita ser generado de forma finita como un k- álgebra (y por lo tanto, la especificación del anillo es un esquema pero no una variedad), una respuesta negativa al decimocuarto problema de Hilbert . En la dirección positiva, el anillo de invariantes se genera finitamente si G es reductivo, según el teorema de Haboush , demostrado en la característica cero por Hilbert y Nagata.

La teoría de invariantes geométricos implica además sutilezas cuando un grupo reductora G actúa sobre una variedad proyectiva X . En particular, la teoría define subconjuntos abiertos de puntos "estables" y "semiestables" en X , con el morfismo del cociente solo definido en el conjunto de puntos semiestables.

Nociones relacionadas

Los grupos algebraicos lineales admiten variantes en varias direcciones. Descartando la existencia del mapa inverso , se obtiene la noción de un monoide algebraico lineal . ${\ Displaystyle i \ colon G \ to G}$

Grupos de mentiras

Para un grupo algebraico lineal G sobre los números reales R , el grupo de puntos reales G ( R ) es un grupo de Lie , esencialmente porque los polinomios reales, que describen la multiplicación en G , son funciones suaves . Asimismo, para un grupo algebraico lineal G sobre C , G ( C ) es un grupo de Lie complejo . Gran parte de la teoría de los grupos algebraicos se desarrolló por analogía con los grupos de Lie.

Hay varias razones por las cuales un grupo de Lie no puede tener la estructura de un grupo algebraico lineal en R .

Un grupo de Lie con un grupo infinito de componentes G / G ^o no se puede realizar como un grupo algebraico lineal.
Un grupo algebraico G sobre R puede estar conectado como un grupo algebraico mientras que el grupo de Lie G ( R ) no está conectado, y también para grupos simplemente conectados . Por ejemplo, el algebraica grupo SL (2) está conectado simplemente sobre cualquier campo, mientras que el grupo de Lie SL (2, R ) tiene grupo fundamental isomorfo a los números enteros Z . La cubierta doble H de SL (2, R ), conocido como el grupo metaplectic , es un grupo de Lie que no se puede ver como un grupo algebraica lineal en R . Más fuertemente, H no tiene una representación fiel de dimensión finita.
Anatoly Maltsev demostró que cada grupo de Lie nilpotente simplemente conectado puede verse como un grupo algebraico unipotente G sobre R de una manera única. (Como variedad, G es isomorfo al espacio afín de alguna dimensión sobre R ). Por el contrario, hay grupos de Lie que se pueden resolver simplemente y que no pueden verse como grupos algebraicos reales. Por ejemplo, la cobertura universal H del producto semidirecto S ¹ ⋉ R ² tiene centro isomorfo a Z , que no es un grupo algebraica lineal, y así H no se puede ver como un grupo algebraica lineal en R .

Variedades abelianas

Los grupos algebraicos que no son afines se comportan de manera muy diferente. En particular, un esquema de grupo conectado uniformemente que es una variedad proyectiva sobre un campo se llama variedad abeliana . En contraste con los grupos algebraicos lineales, cada variedad abeliana es conmutativa. No obstante, las variedades abelianas tienen una rica teoría. Incluso el caso de las curvas elípticas (variedades abelianas de dimensión 1) es fundamental para la teoría de números , con aplicaciones que incluyen la demostración del último teorema de Fermat .

Categorías de Tannakian

Las representaciones de dimensión finita de un grupo algebraico G , junto con el producto tensorial de representaciones, forman una categoría tannakian Rep _G . De hecho, las categorías tannakianas con un "functor de fibra" sobre un campo son equivalentes a esquemas de grupos afines. (Todo esquema de grupo afín sobre un campo k es pro-algebraico en el sentido de que es un límite inverso de esquemas de grupo afín de tipo finito sobre k .) Por ejemplo, el grupo de Mumford-Tate y el grupo de Galois motívico se construyen usando este formalismo. Ciertas propiedades de un grupo (pro) algebraico G pueden leerse a partir de su categoría de representaciones. Por ejemplo, sobre un campo de característica cero, Rep _G es una categoría semisimple si y solo si el componente de identidad de G es pro-reductivo.

Ver también

Los grupos de tipo Lie son los grupos simples finitos construidos a partir de grupos algebraicos simples sobre campos finitos.
Teorema de Lang
Variedad bandera generalizada , descomposición de Bruhat , par BN , grupo Weyl , subgrupo Cartan , grupo de tipo adjunto , inducción parabólica
Forma real (teoría de la mentira) , diagrama de Satake
Un grupo algebraico adelico , la conjetura de Weil sobre los números de Tamagawa
Clasificación Langlands , programa Langlands , programa Langlands geométrico
Torsor , cohomología nonabelian , grupo especial , invariante cohomológico , dimensión esencial , Kneser-tetas conjetura , conjetura II de Serre
Grupo pseudo-reductor
Teoría diferencial de Galois
Distribución en un grupo algebraico lineal

Notas

Referencias

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Borel, Armand (1991) [1969], Linear Algebraic Groups (2.a ed.), Nueva York: Springer-Verlag, ISBN 0-387-97370-2, Señor 1102012
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enlaces externos

"Grupo algebraico lineal" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]

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