Nilpotente - Nilpotent

En matemáticas , un elemento x de un anillo R se llama nilpotente si existe algún número entero positivo n , llamado índice (o algunas veces grado ), tal que x ⁿ = 0.

El término fue introducido por Benjamin Peirce en el contexto de su trabajo sobre la clasificación de álgebras.

Ejemplos de

Esta definición se puede aplicar en particular a matrices cuadradas . La matriz

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \\ 0 & 0 & 0 \ end {pmatrix}}}

es nilpotente porque A ³ = 0. Consulte la matriz nilpotente para obtener más información.

En el anillo de factor Z / 9 Z , la clase de equivalencia de 3 es nilpotente porque 3 ² es congruente con 0 módulo 9.
Suponga que dos elementos a , b en un anillo R satisfacen ab = 0. Entonces el elemento c = ba es nilpotente cuando c ² = ( ba ) ² = b ( ab ) a = 0. Un ejemplo con matrices (para a , b ):

{\ displaystyle A = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \; \; B = {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}.}

Aquí AB = 0, BA = B .

Por definición, cualquier elemento de un nilsemigroup es nilpotente.

Propiedades

Ningún elemento nilpotente puede ser una unidad (excepto en el anillo trivial {0}, que tiene un solo elemento 0 = 1 ). Todos los elementos nilpotentes distintos de cero son divisores de cero .

Una matriz A de n por n con entradas de un campo es nilpotente si y solo si su polinomio característico es t ⁿ .

Si x es nilpotente, entonces 1 - x es una unidad , porque x ⁿ = 0 implica

{\ Displaystyle (1-x) (1 + x + x ^ {2} + \ cdots + x ^ {n-1}) = 1-x ^ {n} = 1.}

De manera más general, la suma de un elemento unitario y un elemento nilpotente es una unidad cuando se desplazan.

Anillos conmutativos

Los elementos nilpotentes de un anillo conmutativo forman un ideal ; esto es una consecuencia del teorema del binomio . Este ideal es el nilradical del anillo. Cada elemento nilpotente en un anillo conmutativo está contenido en cada ideal primo de ese anillo, desde . Por eso está contenido en la intersección de todos los ideales primarios. ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}}}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle x ^ {n} = 0 \ in {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}}}$

Si no es nilpotente, podemos localizar con respecto a las potencias de : para obtener un anillo distinto de cero . Los ideales principales del anillo localizado corresponden exactamente a los ideales principales de con . Como todo anillo conmutativo distinto de cero tiene un ideal máximo, que es primo, todo no nilpotente no está contenido en algún ideal primo. Así es exactamente la intersección de todos los ideales primarios. ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle S = \ {1, x, x ^ {2}, ... \}}$ ${\ Displaystyle S ^ {- 1} R}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}}}$ ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {p}} \ cap S = \ emptyset}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {N}}}$

Una característica similar a la de Jacobson radical y aniquilación de módulos simples está disponible para nilradical: los elementos nilpotentes del anillo R son precisamente aquellos que aniquilan todos los dominios integrales internos al anillo R (es decir, de la forma R / I para los ideales primos I ). Esto se sigue del hecho de que nilradical es la intersección de todos los ideales primarios.

Elementos nilpotentes en el álgebra de Lie

Sea un álgebra de mentira . Entonces, un elemento de se llama nilpotente si está dentro y es una transformación nilpotente. Ver también: Descomposición de Jordan en un álgebra de Lie . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle [{\ mathfrak {g}}, {\ mathfrak {g}}]}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {ad} x}$

Nilpotencia en física

Un operando Q que satisface Q ² = 0 es nilpotente. Los números de Grassmann que permiten una representación integral de caminos para campos fermiónicos son nilpotentes ya que sus cuadrados desaparecen. La carga BRST es un ejemplo importante en física .

Como los operadores lineales forman un álgebra asociativa y, por lo tanto, un anillo, este es un caso especial de la definición inicial. De manera más general, en vista de las definiciones anteriores, un operador Q es nilpotente si hay n ∈ N tal que Q ⁿ = 0 (la función cero ). Por lo tanto, un mapa lineal es nilpotente si tiene una matriz nilpotente en alguna base. Otro ejemplo de esto es la derivada exterior (nuevamente con n = 2 ). Ambos están vinculados, también a través de la supersimetría y la teoría de Morse , como lo muestra Edward Witten en un célebre artículo.

El campo electromagnético de una onda plana sin fuentes es nilpotente cuando se expresa en términos del álgebra del espacio físico . De manera más general, la técnica de microaditividad utilizada para derivar teoremas hace uso de infinitesimales nilpotentes o nilcuadrados, y es en parte un análisis infinitesimal suave .

Nilpotentes algebraicos

Los números duales bidimensionales contienen un espacio nilpotente. Otras álgebras y números que contienen espacios nilpotentes incluyen cuaterniones divididos (cocuaterniones), octoniones divididos , biquaterniones y octoniones complejos . ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} \ otimes \ mathbb {O}}$

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