Número dual - Dual number

En álgebra , los números duales son un sistema numérico hipercomplejo introducido por primera vez en el siglo XIX. Son expresiones de la forma $a + bε$ , donde $a$ y $b$ son números reales , y $ε$ es un símbolo que se toma para satisfacer . ${\ displaystyle \ varepsilon ^ {2} = 0}$

Los números duales se pueden agregar por componentes y multiplicar por la fórmula

{\ Displaystyle (a + b \ varepsilon) (c + d \ varepsilon) = ac + (ad + bc) \ varepsilon,}

que se deriva de la propiedad $ε 2 = 0$ y del hecho de que la multiplicación es una operación bilineal .

Los números duales forman un álgebra conmutativa de dimensión dos sobre los reales, y también un anillo local artiniano . Son uno de los ejemplos más simples de un anillo que tiene elementos nilpotentes distintos de cero .

Historia

Los números duales fueron introducidos en 1873 por William Clifford , y fueron utilizados a principios del siglo XX por el matemático alemán Eduard Study , quien los utilizó para representar el ángulo dual que mide la posición relativa de dos líneas oblicuas en el espacio. El estudio definió un ángulo dual como $ϑ + dε$ , donde $ϑ$ es el ángulo entre las direcciones de dos líneas en un espacio tridimensional $yd$ es una distancia entre ellas. La generalización $n-$ dimensional, el número de Grassmann , fue introducida por Hermann Grassmann a finales del siglo XIX.

Definición en álgebra abstracta

En álgebra abstracta , el álgebra de números duales a menudo se define como el cociente de un anillo polinomial sobre los números reales por el ideal principal generado por el cuadrado del indeterminado , es decir ${\ Displaystyle (\ mathbb {R})}$

{\ Displaystyle \ mathbb {R} [X] / \ langle X ^ {2} \ rangle.}

Representación en álgebras

El número dual se puede representar mediante la matriz . Esto funciona porque la matriz se cuadra con la matriz cero, similar al número dual . ${\ Displaystyle a + b \ epsilon}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ 0 & a \ end {pmatrix}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 0 & 1 \\ 0 & 0 \ end {pmatrix}}}$ ${\ Displaystyle \ epsilon}$

Hay otras formas de representar números duales como matrices. Consideremos solo el caso de matrices reales. Suponiendo que el número dual está representado por la matriz identidad, entonces puede representarse por cualquier matriz de la forma ${\ Displaystyle 2 \ times 2}$ ${\ Displaystyle 1}$ ${\ Displaystyle \ epsilon}$

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} a & b \\ c & -a \ end {pmatrix}}}

donde excepto cuando ${\ Displaystyle a ^ {2} + bc = 0,}$ ${\ Displaystyle a = b = c = 0.}$

Diferenciación

Una aplicación de los números duales es la diferenciación automática . Considere los números duales reales anteriores. Dado cualquier polinomio real $P (x) = p 0 + p 1 x + p 2 x 2 + ... + p n x n$ , es sencillo extender el dominio de este polinomio de los números reales a los números duales. Entonces tenemos este resultado:

{\ Displaystyle {\ begin {align} P (a + b \ varepsilon) = {} & p_ {0} + p_ {1} (a + b \ varepsilon) + \ cdots + p_ {n} (a + b \ varepsilon ) ^ {n} \\ [5pt] = {} & p_ {0} + p_ {1} a + p_ {2} a ^ {2} + \ cdots + p_ {n} a ^ {n} + p_ {1 } b \ varepsilon + 2p_ {2} ab \ varepsilon + \ cdots + np_ {n} a ^ {n-1} b \ varepsilon \\ [5pt] = {} & P (a) + bP ^ {\ prime} ( a) \ varepsilon, \ end {alineado}}}

donde $P'$ es la derivada de $P$ .

De manera más general, podemos extender cualquier función real (analítica) a los números duales mirando su serie de Taylor :

{\ Displaystyle f (a + b \ varepsilon) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {f ^ {(n)} (a) b ^ {n} \ varepsilon ^ {n} } {n!}} = f (a) + bf '(a) \ varepsilon,}

ya que todos los términos que implican $ε 2$ o más son trivialmente 0 según la definición de $ε$ .

Al calcular las composiciones de estas funciones sobre los números duales y examinar el coeficiente de $ε$ en el resultado, encontramos que hemos calculado automáticamente la derivada de la composición.

Un método similar funciona para polinomios de $n$ variables, utilizando el álgebra exterior de un espacio vectorial $n-$ dimensional.

Geometría

El "círculo unitario" de números duales consiste en aquellos con $a = \pm 1$ ya que estos satisfacen $zz * = 1$ donde $z * = a - bε$ . Sin embargo, tenga en cuenta que

{\ displaystyle e ^ {b \ varepsilon} = \ left (\ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} {\ frac {\ left (b \ varepsilon \ right) ^ {n}} {n!}} \ right) = 1 + b \ varepsilon,}

por lo que el mapa exponencial aplicado al eje $ε$ cubre solo la mitad del "círculo".

Sea $z = a + bε$ . Si $a \neq 0$ y $m =.mw-parser-output .sfrac{white-space:nowrap}.mw-parser-output .sfrac.tion,.mw-parser-output .sfrac .tion{display:inline-block;vertical-align:-0.5em;font-size:85%;text-align:center}.mw-parser-output .sfrac .num,.mw-parser-output .sfrac .den{display:block;line-height:1em;margin:0 0.1em}.mw-parser-output .sfrac .den{border-top:1px solid}.mw-parser-output .sr-only{border:0;clip:rect(0,0,0,0);height:1px;margin:-1px;overflow:hidden;padding:0;position:absolute;width:1px} B/a$ , entonces $z = a (1 + mε)$ es la descomposición polar del número dual $z$ , y la pendiente $m$ es su parte angular. El concepto de rotación en el plano numérico dual es equivalente a un mapeo de corte vertical ya que $(1 + pε) (1 + qε) = 1 + (p + q) ε$ .

En el espacio y el tiempo absolutos la transformación galileana

{\ Displaystyle \ left (t ', x' \ right) = (t, x) {\ begin {pmatrix} 1 & v \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}} \ ,,}

es decir

{\ Displaystyle t '= t, \ quad x' = vt + x,}

relaciona el sistema de coordenadas en reposo con un marco de referencia móvil de velocidad $v$ . Con números duales $t + xε que$ representan eventos a lo largo de una dimensión espacial y temporal, la misma transformación se efectúa con la multiplicación por $1 + vε$ .

Ciclos

Dados dos números duales $p$ y $q$ , determinan el conjunto de $z$ tal que la diferencia en las pendientes ( "ángulo de galileo") entre las líneas de $z$ a $p$ y $q$ es constante. Este conjunto es un ciclo en el plano numérico dual; dado que la ecuación que establece la diferencia en las pendientes de las líneas en una constante es una ecuación cuadrática en la parte real de $z$ , un ciclo es una parábola . La "rotación cíclica" del plano numérico dual ocurre como un movimiento de su línea proyectiva . Según Isaak Yaglom , el ciclo $Z = {z : y = αx 2}$ es invariante bajo la composición de la cizalla

{\ Displaystyle x_ {1} = x, \ quad y_ {1} = vx + y}

con la traducción

{\ Displaystyle x '= x_ {1} = {\ frac {v} {2a}}, \ quad y' = y_ {1} + {\ frac {v ^ {2}} {4a}}.}

División

La división de números duales se define cuando la parte real del denominador no es cero. El proceso de división es análogo a la división compleja en que el denominador se multiplica por su conjugado para cancelar las partes no reales.

Por lo tanto, para dividir una ecuación de la forma

{\ Displaystyle {\ frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}}}

multiplicamos la parte superior e inferior por el conjugado del denominador:

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ frac {a + b \ varepsilon} {c + d \ varepsilon}} & = {\ frac {(a + b \ varepsilon) (cd \ varepsilon)} {(c + d \ varepsilon) (cd \ varepsilon)}} \\ [5pt] & = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + bc \ varepsilon -bd \ varepsilon ^ {2}} {c ^ {2} + cd \ varepsilon -cd \ varepsilon -d ^ {2} \ varepsilon ^ {2}}} \\ [5pt] & = {\ frac {ac-ad \ varepsilon + bc \ varepsilon -0} {c ^ {2} -0} } \\ [5pt] & = {\ frac {ac + \ varepsilon (bc-ad)} {c ^ {2}}} \\ [5pt] & = {\ frac {a} {c}} + {\ frac {bc-ad} {c ^ {2}}} \ varepsilon \ end {alineado}}}

que se define cuando $c$ es distinto de cero .

Si, por otro lado, $c$ es cero mientras que $d$ no lo es, entonces la ecuación

{\ displaystyle {a + b \ varepsilon = (x + y \ varepsilon) d \ varepsilon} = {xd \ varepsilon +0}}

no tiene solución si $a$ es distinto de cero
de lo contrario, se resuelve con cualquier número dual de la forma $B / D + yε$ .

Esto significa que la parte no real del "cociente" es arbitraria y, por lo tanto, la división no está definida para números duales puramente no reales. De hecho, son (trivialmente) divisores cero y forman claramente un ideal del álgebra asociativa (y por lo tanto el anillo ) de los números duales.

Aplicaciones en mecánica

Los números duales encuentran aplicaciones en mecánica , especialmente para la síntesis cinemática. Por ejemplo, los números duales permiten transformar las ecuaciones de entrada / salida de un enlace esférico de cuatro barras, que incluye solo uniones rotoides, en un mecanismo espacial de cuatro barras (rotoid, rotoid, rotoid, cilíndrico). Los ángulos dualizados están formados por una parte primitiva, los ángulos, y una parte dual, que tiene unidades de longitud. Consulte la teoría del tornillo para obtener más información.

Generalizaciones

Esta construcción se puede llevar a cabo de manera más general: para un anillo conmutativo $R$ se pueden definir los números duales sobre $R$ como el cociente del anillo polinomial $R [X]$ por el ideal $(X 2)$ : la imagen de $X$ tiene entonces un cuadrado igual a cero y corresponde al elemento $ε$ de arriba.

Módulo arbitrario de elementos de cuadrado cero

Hay una construcción más general de los números duales. Dado un anillo conmutativo y un módulo , hay un anillo llamado anillo de números duales que tiene las siguientes estructuras: ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle M}$ ${\ Displaystyle R [M]}$

Es el módulo -con la multiplicación definida por para y ${\ Displaystyle R}$ ${\ Displaystyle R \ oplus M}$ ${\ Displaystyle (r, i) \ cdot (r ', i') = (rr ', ri' + r'i)}$ ${\ Displaystyle r, r '\ in R}$ ${\ Displaystyle i, i '\ in I.}$

El álgebra de números duales es el caso especial donde y ${\ Displaystyle M = R}$ ${\ Displaystyle \ varepsilon = (0,1).}$

Superespacio

Los números duales encuentran aplicaciones en la física , donde constituyen uno de los ejemplos no triviales más simples de un superespacio . De manera equivalente, son supernúmeros con un solo generador; los supernúmeros generalizan el concepto en $n$ generadores distintos $ε$ , cada uno de los cuales es anti-conmutación, posiblemente llevando $n$ al infinito. Superspace generaliza ligeramente los supernúmeros, al permitir múltiples dimensiones de desplazamiento.

La motivación para introducir números duales en la física se deriva del principio de exclusión de Pauli para fermiones. La dirección a lo largo de $ε$ se denomina dirección "fermiónica" y el componente real se denomina dirección "bosónica". La dirección fermiónica recibe este nombre del hecho de que los fermiones obedecen al principio de exclusión de Pauli: bajo el intercambio de coordenadas, la función de onda de la mecánica cuántica cambia de signo y, por lo tanto, desaparece si se juntan dos coordenadas; esta idea física es capturada por la relación algebraica $ε 2 = 0$ .

Línea proyectiva

Grünwald y Corrado Segre propusieron la idea de una línea proyectiva sobre números duales .

Así como la esfera de Riemann necesita un punto del polo norte en el infinito para cerrar la compleja línea proyectiva , una línea en el infinito logra cerrar el plano de números duales a un cilindro .

Suponga que $D$ es el anillo de números duales $x + yε$ y $U$ es el subconjunto con $x \neq 0$ . Entonces $T$ es el grupo de unidades de $D$ . Sea $B = {(a, b) \in D \times D : a \in U o b \in U}$ . Una relación se define en B de la siguiente manera: $(a, b) ~ (c, d)$ cuando hay una $u$ en $U$ tal que $ua = c$ y $ub = d$ . Esta relación es de hecho una relación de equivalencia . Los puntos de la línea proyectiva sobre $D$ son clases de equivalencia en $B$ bajo esta relación: $P (D) = B / ~$ . Se representan con coordenadas proyectivas $[a, b]$ .

Considere la inclusión $D \to P (D)$ por $z \to [z, 1]$ . Entonces los puntos $[1, n]$ , para $n 2 = 0$ , están en $P (D)$ pero no son la imagen de ningún punto debajo de la incrustación. $P (D)$ se mapea en un cilindro por proyección : tome un cilindro tangente al plano numérico doble en la línea ${yε : y \in ℝ}$ , $ε 2 = 0$ . Ahora tome la línea opuesta en el cilindro para el eje de un lápiz de planos. Los planos que intersecan el plano numérico dual y el cilindro proporcionan una correspondencia de puntos entre estas superficies. El plano paralelo al plano numérico dual corresponde a los puntos $[1, n]$ , $n 2 = 0$ en la línea proyectiva sobre números duales.

Ver también

Referencias

Otras lecturas

Bencivenga, Ulderico (1946). "Sulla rappresentazione geometrica delle algebre doppie dotate di modulo" [Sobre la representación geométrica de álgebras dobles con módulo]. Atti della Reale Accademia delle Scienze y Belle-Lettere di Napoli . 3 (en italiano). 2 (7). Señor 0021123 .
Clifford, William Kingdon (1873). "Bosquejo preliminar de Bi-cuaterniones". Actas de la London Mathematical Society . 4 : 381–395.
Harkin, Anthony A .; Harkin, Joseph B. (abril de 2004). "Geometría de números complejos generalizados" (PDF) . Revista de Matemáticas . 77 (2): 118-129. doi : 10.1080 / 0025570X.2004.11953236 . S2CID 7837108 .
Miller, William; Boehning, Rochelle (1968). "Números gaussianos, parabólicos e hiperbólicos". El profesor de matemáticas . 61 (4): 377–382.
Estudio, Eduard (1903). Geometrie der Dynamen . pag. 196.De Cornell Historical Mathematical Monographs en la Universidad de Cornell .
Yaglom, IM (1968). Números complejos en geometría . Traducido del ruso por Eric JF Primrose. Nueva York y Londres: Academic Press . pag. 12 –18.
Brand, Louis (1947). Análisis vectorial y tensorial . Nueva York: John Wiley & Sons.
Fischer, Ian S. (1999). Métodos de doble número en cinemática, estática y dinámica . Boca Ratón: CRC Press.
Bertram, W. (2008). Geometría diferencial, grupos de mentiras y espacios simétricos sobre campos base generales y anillos . Memorias de la AMS. 192 . Providence, Rhode Island: Amer. Matemáticas. Soc.
" Espacio tangente " " superior" . math.stackexchange.com .

Languages

In other projects