Mapa exponencial (teoría de Lie) - Exponential map (Lie theory)

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En la teoría de los grupos de Lie , el mapa exponencial es un mapa del álgebra de Lie de un grupo de Lie al grupo que permite recapturar la estructura del grupo local del álgebra de Lie. La existencia del mapa exponencial es una de las principales razones por las que las álgebras de Lie son una herramienta útil para estudiar grupos de Lie. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$

La función exponencial ordinaria del análisis matemático es un caso especial del mapa exponencial cuando es el grupo multiplicativo de números reales positivos (cuya álgebra de Lie es el grupo aditivo de todos los números reales). El mapa exponencial de un grupo de Lie satisface muchas propiedades análogas a las de la función exponencial ordinaria, sin embargo, también difiere en muchos aspectos importantes. ${\ Displaystyle G}$

Definiciones

Sea un grupo de Lie y sea ​​su álgebra de Lie (pensado como el espacio tangente al elemento identidad de ). El mapa exponencial es un mapa ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$

${\ Displaystyle \ exp \ colon {\ mathfrak {g}} \ to G}$

que se puede definir de varias formas diferentes. La definición moderna típica es esta:

Definición : El exponencial de viene dado por donde ${\ Displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle \ exp (X) = \ gamma (1)}$

${\ Displaystyle \ gamma \ colon \ mathbb {R} \ to G}$

es el subgrupo único de un parámetro de cuyo vector tangente en la identidad es igual a .${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

De la regla de la cadena se sigue fácilmente que . El mapa puede construirse como la curva integral del campo vectorial invariante a la derecha o a la izquierda asociado con . El hecho de que la curva integral exista para todos los parámetros reales se deduce de la traducción hacia la derecha o hacia la izquierda de la solución cerca de cero. ${\ Displaystyle \ exp (tX) = \ gamma (t)}$${\ Displaystyle \ gamma}$${\ Displaystyle X}$

Tenemos una definición más concreta en el caso de un grupo de Lie matricial . El mapa exponencial coincide con la matriz exponencial y viene dado por la expansión de la serie ordinaria:

${\ Displaystyle \ exp (X) = \ sum _ {k = 0} ^ {\ infty} {\ frac {X ^ {k}} {k!}} = I + X + {\ frac {1} {2} } X ^ {2} + {\ frac {1} {6}} X ^ {3} + \ cdots}$,

donde está la matriz de identidad . Por lo tanto, en la configuración de grupos de Lie matriciales, el mapa exponencial es la restricción de la matriz exponencial al álgebra de Lie de . ${\ Displaystyle I}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$

Comparación con el mapa exponencial de Riemann

Si G es compacto, tiene una métrica invariante de Riemann en traslaciones a la izquierda y a la derecha, y el mapa exponencial de la teoría de Lie para G coincide con el mapa exponencial de esta métrica de Riemann .

Para una G general , no existirá una invariante métrica de Riemann en las traslaciones tanto a la izquierda como a la derecha. Aunque siempre hay una métrica invariante de Riemann bajo, digamos, traslaciones a la izquierda, el mapa exponencial en el sentido de la geometría de Riemann para una métrica invariante a la izquierda no coincidirá en general con el mapa exponencial en el sentido del grupo de Lie. Es decir, si G es un grupo de Lie equipado con una izquierda a la derecha, pero no métrica invariante, las geodésicas a través de la identidad no será subgrupos con un parámetro de G .

Otras definiciones

Otras definiciones equivalentes del exponencial del grupo de Lie son las siguientes:

• Es el mapa exponencial de una conexión afín canónica invariante a la izquierda en G , de modo que el transporte paralelo viene dado por traslación a la izquierda. Es decir, dónde está la geodésica única con el punto inicial en el elemento de identidad y la velocidad inicial X (pensado como un vector tangente).${\ Displaystyle \ exp (X) = \ gamma (1)}$${\ Displaystyle \ gamma}$
• Es el mapa exponencial de una conexión afín derecho canónico sobre invariante G . Esto suele ser diferente de la conexión canónica invariante a la izquierda, pero ambas conexiones tienen las mismas geodésicas (órbitas de subgrupos de 1 parámetro que actúan por multiplicación por la izquierda o por la derecha), así que proporcione el mismo mapa exponencial.
• La correspondencia entre el grupo de Lie y el álgebra de Lie también da la definición: para X en , es el homomorfismo del grupo de Lie único correspondiente al homomorfismo del álgebra de Lie (nota:. )${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle t \ mapsto \ exp (tX)}$${\ Displaystyle t \ mapsto tX.}$${\ Displaystyle \ operatorname {Mentira} (\ mathbb {R}) = \ mathbb {R}}$

Ejemplos de

• El círculo unitario centrado en 0 en el plano complejo es un grupo de Lie (llamado grupo circular ) cuyo espacio tangente en 1 se puede identificar con la línea imaginaria en el plano complejo.El mapa exponencial para este grupo de Lie está dado por${\ Displaystyle \ {it: t \ in \ mathbb {R} \}.}$

${\ Displaystyle it \ mapsto \ exp (it) = e ^ {it} = \ cos (t) + i \ sin (t), \,}$

es decir, la misma fórmula que la exponencial compleja ordinaria .

• De manera más general, para toros complejos ^{pg 8} para algún entramado integral de rango (tan isomórfico a ) el toro viene equipado con un mapa de cobertura universal${\ Displaystyle X = \ mathbb {C} ^ {n} / \ Lambda}$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathbb {Z} ^ {n}}$

${\ Displaystyle \ pi: \ mathbb {C} ^ {n} \ to X}$

del cociente por la celosía. Dado que es isomorfo a nivel local como variedades complejas , podemos identificar con el espacio tangente , y el mapa${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle T_ {0} X}$

${\ Displaystyle \ pi: T_ {0} X \ to X}$

corresponde al mapa exponencial del grupo complejo de Lie . ${\ Displaystyle X}$

• En los cuaterniones , el conjunto de cuaterniones de longitud unitaria forma un grupo de Lie (isomorfo al grupo unitario especial SU (2) ) cuyo espacio tangente en 1 se puede identificar con el espacio de cuaterniones puramente imaginarios, El mapa exponencial para este grupo de Lie es dado por${\ Displaystyle \ mathbb {H}}$${\ Displaystyle \ {it + ju + kv: t, u, v \ in \ mathbb {R} \}.}$

${\ Displaystyle \ mathbf {w}: = (it + ju + kv) \ mapsto \ exp (it + ju + kv) = \ cos (| \ mathbf {w} |) 1+ \ sin (| \ mathbf {w } |) {\ frac {\ mathbf {w}} {| \ mathbf {w} |}}. \,}$

Este mapa lleva la esfera 2 de radio R dentro de los cuaterniones puramente imaginarios a una esfera 2 de radio (cf. Exponencial de un vector de Pauli ). Compare esto con el primer ejemplo anterior.${\ Displaystyle \ {s \ in S ^ {3} \ subset \ mathbf {H}: \ operatorname {Re} (s) = \ cos (R) \}}$${\ Displaystyle \ sin (R)}$

• Sea V un espacio vectorial real de dimensión finita y considérelo como un grupo de Lie bajo la operación de suma vectorial. Luego, a través de la identificación de V con su espacio tangente en 0, y el mapa exponencial${\ Displaystyle \ operatorname {Mentira} (V) = V}$

${\ Displaystyle \ operatorname {exp}: \ operatorname {Lie} (V) = V \ to V}$

es la aplicación identidad, es decir, .${\ Displaystyle \ exp (v) = v}$

• En el plano de números complejos divididos, la línea imaginaria forma el álgebra de Lie del grupo de hipérbola unitaria , ya que el mapa exponencial está dado por${\ Displaystyle z = x + y \ jmath, \ quad \ jmath ^ {2} = + 1,}$${\ Displaystyle \ lbrace \ jmath t: t \ in \ mathbb {R} \ rbrace}$${\ Displaystyle \ lbrace \ cosh t + \ jmath \ \ sinh t: t \ in \ mathbb {R} \ rbrace}$

${\ Displaystyle \ jmath t \ mapsto \ exp (\ jmath t) = \ cosh t + \ jmath \ \ sinh t.}$

Propiedades

Propiedades elementales del exponencial

Para todos , el mapa es el subgrupo único de un parámetro de cuyo vector tangente en la identidad es . Resulta que: ${\ Displaystyle X \ in {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle \ gamma (t) = \ exp (tX)}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle X}$

• ${\ Displaystyle \ exp ((t + s) X) = \ exp (tX) \ exp (sX) \,}$
• ${\ Displaystyle \ exp (-X) = \ exp (X) ^ {- 1}. \,}$

Más generalmente:

• ${\ Displaystyle \ exp (X + Y) = \ exp (X) \ exp (Y), \ quad {\ text {if}} [X, Y] = 0}$.

Es importante enfatizar que la identidad anterior no se sostiene en general; la suposición de que y conmutar es importante. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle Y}$

La imagen del mapa exponencial siempre se encuentra en el componente de identidad de . ${\ Displaystyle G}$

Lo exponencial cerca de la identidad

El mapa exponencial es un mapa suave . Su diferencial en cero, es el mapa de identidad (con las identificaciones habituales). ${\ Displaystyle \ exp \ colon {\ mathfrak {g}} \ to G}$${\ Displaystyle \ exp _ {*} \ colon {\ mathfrak {g}} \ to {\ mathfrak {g}}}$

Se deduce del teorema de la función inversa que el mapa exponencial, por lo tanto, se restringe a un difeomorfismo desde algún vecindario de 0 pulg hasta un vecindario de 1 pulg . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle G}$

A continuación, no es difícil demostrar que si G está conectado, cada elemento g de G es un producto de exponenciales de elementos de : . ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle g = \ exp (X_ {1}) \ exp (X_ {2}) \ cdots \ exp (X_ {n}), \ quad X_ {j} \ in {\ mathfrak {g}}}$

Globalmente, el mapa exponencial no es necesariamente sobreyectivo. Además, el mapa exponencial puede no ser un difeomorfismo local en todos los puntos. Por ejemplo, el mapa exponencial de (3) a SO (3) no es un difeomorfismo local; ver también locus de corte sobre esta falla. Consulte la derivada del mapa exponencial para obtener más información. ${\ Displaystyle {\ mathfrak {so}}}$

Sobrejetividad de lo exponencial

En estos importantes casos especiales, se sabe que el mapa exponencial siempre es sobreyectivo:

• G está conectado y es compacto,
• G está conectado y es nilpotente (por ejemplo, G conectado y abeliano), y
• ${\ Displaystyle G = GL_ {n} (\ mathbb {C})}$.

Para los grupos que no satisfacen ninguna de las condiciones anteriores, el mapa exponencial puede ser sobreyectivo o no.

La imagen del mapa exponencial del grupo SL ₂ ( R ) conectado pero no compacto no es el grupo completo. Su imagen consta de matrices C -diagonalizables con autovalores positivos o con módulo 1, y de matrices no diagonalizables con autovalor repetido 1, y la matriz . (Por lo tanto, la imagen excluye matrices con valores propios negativos reales, distintos de ). ${\ Displaystyle -I}$${\ Displaystyle -I}$

Mapa exponencial y homomorfismos

Sea un homomorfismo de grupo de Lie y sea ​​su derivado en la identidad. Luego, el siguiente diagrama conmuta : ${\ Displaystyle \ phi \ colon G \ to H}$${\ Displaystyle \ phi _ {*}}$

En particular, cuando se aplica a la acción adjunta de un grupo de Lie , ya que tenemos la identidad útil: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ operatorname {Ad} _ {*} = \ operatorname {ad}}$

${\ Displaystyle \ mathrm {Anuncio} _ {\ exp X} (Y) = \ exp (\ mathrm {anuncio} _ {X}) (Y) = Y + [X, Y] + {\ frac {1} {2 !}} [X, [X, Y]] + {\ frac {1} {3!}} [X, [X, [X, Y]]] + \ cdots}$.

Coordenadas logarítmicas

Dado un grupo de Lie con álgebra de Lie , cada elección de una base de determina un sistema de coordenadas cerca del elemento de identidad e para G , como sigue. Según el teorema de la función inversa , el mapa exponencial es un difeomorfismo de alguna vecindad del origen a una vecindad de . Su inverso: ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle X_ {1}, \ dots, X_ {n}}$${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {exp}: N {\ overset {\ sim} {\ to}} U}$${\ Displaystyle N \ subconjunto {\ mathfrak {g}} \ simeq \ mathbb {R} ^ {n}}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle e \ in G}$

${\ Displaystyle \ log: U {\ overset {\ sim} {\ to}} N \ subset \ mathbb {R} ^ {n}}$

es entonces un sistema de coordenadas en T . Se le llama por varios nombres como coordenadas logarítmicas, coordenadas exponenciales o coordenadas normales. Consulte el teorema del subgrupo cerrado para ver un ejemplo de cómo se utilizan en las aplicaciones.

Observación : La cubierta abierta le da una estructura de una variedad real-analítica a G de manera que la operación de grupo es real-analítica. ${\ Displaystyle \ {Ug | g \ in G \}}$${\ Displaystyle (g, h) \ mapsto gh ^ {- 1}}$

Ver también

• Lista de temas exponenciales
• Derivada del mapa exponencial
• Matriz exponencial

Citas

Trabajos citados