Números reales positivos - Positive real numbers

En las matemáticas , el conjunto de los números reales positivos , es el subconjunto de los números reales que son mayores que cero. Los números reales no negativos , también incluyen cero. Aunque los símbolos y se usan de manera ambigua para cualquiera de estos, la notación o para y o para también se ha utilizado ampliamente, está alineada con la práctica en álgebra de denotar la exclusión del elemento cero con una estrella, y debería ser comprensible para la mayoría. matemáticos practicantes.

En un plano complejo , se identifica con el eje real positivo , y generalmente se dibuja como un rayo horizontal . Este rayo se utiliza como referencia en forma polar de un número complejo . El eje positivo real corresponde a números complejos con argumento

Propiedades

El conjunto se cierra bajo suma, multiplicación y división. Hereda una topología de la línea real y, por tanto, tiene la estructura de un grupo topológico multiplicativo o de un semigrupo topológico aditivo .

Para un número real positivo dado, la secuencia de sus potencias integrales tiene tres destinos diferentes: cuando el límite es cero; cuando la secuencia es constante; y cuando la secuencia es ilimitada .

y la función inversa multiplicativa intercambia los intervalos. Las funciones de piso , y exceso , se han utilizado para describir un elemento como una fracción continua que es una secuencia de números enteros obtenidos a partir de la función de suelo después el exceso ha sido correspondido. Para racional la secuencia termina con una expresión fraccionaria exacta y para cuadrática irracional la secuencia se convierte en una fracción continua periódica .

El conjunto ordenado forma un orden total pero no es un conjunto bien ordenado . La progresión geométrica doblemente infinita donde es un número entero , se encuentra íntegramente y sirve para seccionarlo para el acceso. forma una escala de razón , el nivel más alto de medición . Los elementos pueden escribirse en notación científica como dónde y es el número entero en la progresión doblemente infinita, y se llama década . En el estudio de magnitudes físicas, el orden de décadas proporciona ordinales positivos y negativos que se refieren a una escala ordinal implícita en la escala de razón.

En el estudio de grupos clásicos , para cada el determinante da un mapa de matrices sobre los reales a los números reales: La restricción a matrices invertibles da un mapa del grupo lineal general a los números reales no nulos: Restricción de matrices con un determinante positivo da el mapa ; interpretar la imagen como un grupo cociente por el subgrupo normal llamado grupo lineal especial , expresa los reales positivos como un grupo de Lie .

Escala de proporción

Entre los niveles de medición, la escala de relación proporciona el más mínimo detalle. La función de división toma un valor de uno (1) cuando el numerador y el denominador son iguales. Otras razones se comparan con uno por logaritmos, a menudo logaritmos comunes usando base 10. La escala de razones luego segmenta por órdenes de magnitud usados ​​en ciencia y tecnología, expresados ​​en varias unidades de medida .

Una expresión temprana de la escala de razón fue articulada geométricamente por Eudoxo : "fue ... en lenguaje geométrico que se desarrolló la teoría general de la proporción de Eudoxo, que es equivalente a una teoría de números reales positivos".

Medida logarítmica

Si es un intervalo , determina una medida en ciertos subconjuntos de correspondiente al retroceso de la medida de Lebesgue habitual en los números reales bajo el logaritmo: es la longitud en la escala logarítmica . De hecho, es una medida invariante con respecto a la multiplicación por a, al igual que la medida de Lebesgue es invariante bajo la suma. En el contexto de los grupos topológicos, esta medida es un ejemplo de medida Haar .

La utilidad de esta medida se muestra en su uso para describir magnitudes estelares y niveles de ruido en decibelios , entre otras aplicaciones de la escala logarítmica . A los efectos de las normas internacionales ISO 80000-3 , las cantidades adimensionales se denominan niveles .

Aplicaciones

Los reales no negativos sirven como imagen para métricas , normas y medidas en matemáticas.

Incluyendo 0, el conjunto tiene una estructura de semiring (0 es la identidad aditiva ), conocida como probabilidad de semiring ; tomar logaritmos (con una elección de base que da una unidad logarítmica ) da un isomorfismo con el logaritmo de semiring (con 0 correspondiente a ), y sus unidades (los números finitos, excluyendo ) corresponden a los números reales positivos.

Cuadrado

Sea el primer cuadrante del plano cartesiano. El cuadrante en sí está dividido en cuatro partes por la línea y la hipérbola estándar

El forma un tridente mientras que es el punto central. Es el elemento de identidad de dos grupos de un parámetro que se cruzan allí:

Dado que es un grupo , es un producto directo de grupos . Los subgrupos de un parámetro L y H en Q perfilan la actividad en el producto y son una resolución de los tipos de acción de grupo.

Los ámbitos de los negocios y la ciencia abundan en proporciones, y cualquier cambio en las proporciones llama la atención. El estudio se refiere a las coordenadas hiperbólicas en Q . El movimiento contra el eje L indica un cambio en la media geométrica, mientras que un cambio a lo largo de H indica un nuevo ángulo hiperbólico .

Ver también

  • Semicampo  : una de las dos generalizaciones de campos, ya sea relajando la asociatividad y conmutatividad de la multiplicación, o relajando la existencia de inversos aditivos.
  • Signo (matemáticas)

Referencias

Bibliografía