Transporte paralelo - Parallel transport

Transporte paralelo de un vector alrededor de un bucle cerrado (de A a N a B y de regreso a A) en la esfera. El ángulo en el que gira, es proporcional al área dentro del bucle.${\ Displaystyle \ alpha}$

En geometría , el transporte paralelo (o traslación paralela ) es una forma de transportar datos geométricos a lo largo de curvas suaves en una variedad . Si el colector está equipado con una conexión afín (una derivada covariante o conexión en el haz tangente ), entonces esta conexión permite transportar vectores del colector a lo largo de curvas para que permanezcan paralelos con respecto a la conexión.

El transporte paralelo para una conexión proporciona así una forma de, en cierto sentido, mover la geometría local de una variedad a lo largo de una curva: es decir, de conectar las geometrías de puntos cercanos. Puede haber muchas nociones de transporte paralelo disponibles, pero la especificación de una (una forma de conectar las geometrías de los puntos en una curva) equivale a proporcionar una conexión . De hecho, la noción habitual de conexión es el análogo infinitesimal del transporte paralelo. O, viceversa , el transporte paralelo es la realización local de una conexión.

Como el transporte paralelo proporciona una realización local de la conexión, también proporciona una realización local de la curvatura conocida como holonomía . El teorema de Ambrose-Singer hace explícita esta relación entre curvatura y holonomía.

Otras nociones de conexión también vienen equipadas con sus propios sistemas de transporte paralelo. Por ejemplo, una conexión Koszul en un paquete de vectores también permite el transporte paralelo de vectores de la misma manera que con una derivada covariante. Una conexión Ehresmann o Cartan proporciona una elevación de curvas desde el colector hasta el espacio total de un paquete principal . A veces, se puede pensar en tal elevación de curvas como el transporte paralelo de marcos de referencia .

Transporte paralelo en un paquete de vectores

Sea M una variedad suave. Deje E → M ser un paquete del vector con derivada covariante ∇ y γ : I → M una curva suave parametrizado por un intervalo abierto I . Una sección de a lo largo de γ se llama paralelo si ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle E}$

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} X = 0 {\ text {for}} t \ in I. \,}$

Por ejemplo, si es un espacio tangente en un paquete tangente de una variedad, esta expresión significa que, para cada en el intervalo, los vectores tangentes en son "constantes" (la derivada desaparece) cuando un desplazamiento infinitesimal en la dirección de la tangente el vector está hecho. ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle t}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle \ gamma (t)}$${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$

Suponga que se nos da un elemento e ₀ ∈ E _P en P = γ (0) ∈ M , en lugar de una sección. El transporte paralelo de e _{0 a lo} largo de γ es la extensión de e ₀ a una sección paralela X en γ . Más precisamente, X es la sección única de E a lo largo de γ tal que

1. ${\ Displaystyle \ nabla _ {\ dot {\ gamma}} X = 0}$
2. ${\ Displaystyle X _ {\ gamma (0)} = e_ {0}.}$

Tenga en cuenta que en cualquier parche de coordenadas dado, (1) define una ecuación diferencial ordinaria , con la condición inicial dada por (2). Así, el teorema de Picard-Lindelöf garantiza la existencia y unicidad de la solución.

Así, la conexión ∇ define una forma de mover elementos de las fibras a lo largo de una curva, y esto proporciona isomorfismos lineales entre las fibras en puntos a lo largo de la curva:

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}$

desde el espacio vectorial que se encuentra sobre γ ( s ) al espacio sobre γ ( t ). Este isomorfismo se conoce como mapa de transporte paralelo asociado a la curva. Los isomorfismos entre las fibras obtenidas de esta manera serán, en general, dependerá de la elección de la curva: si no lo hacen, entonces transporte paralelo a lo largo de cada curva se puede utilizar para definir secciones paralelas de E sobre la totalidad de M . Esto solo es posible si la curvatura de ∇ es cero.

En particular, el transporte paralelo alrededor de una curva cerrada que comienza en un punto x define un automorfismo del espacio tangente en x que no es necesariamente trivial. Los automorfismos de transporte paralelo definidos por todas las curvas cerradas basadas en x forman un grupo de transformación llamado grupo de holonomía de ∇ en x . Existe una estrecha relación entre este grupo y el valor de la curvatura de ∇ en x ; este es el contenido del teorema de holonomía de Ambrose-Singer .

Recuperando la conexión del transporte paralelo

Dada una derivada covariante ∇, el transporte paralelo a lo largo de una curva γ se obtiene integrando la condición . Por el contrario, si se dispone de una noción adecuada de transporte paralelo, entonces se puede obtener una conexión correspondiente por diferenciación. Este enfoque se debe, esencialmente, a Knebelman (1951) ; véase Guggenheimer (1977) . Lumiste (2001) también adopta este enfoque. ${\ Displaystyle \ scriptstyle {\ nabla _ {\ dot {\ gamma}} = 0}}$error de harvtxt: sin destino: CITEREFLumiste2001 ( ayuda )

Considere una asignación a cada curva γ en la variedad una colección de asignaciones

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: E _ {\ gamma (s)} \ rightarrow E _ {\ gamma (t)}}$

tal que

1. ${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {s} = Id}$, la transformación de identidad de E _{γ (s)} .
2. ${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {u} ^ {t} \ circ \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {u} = \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}.}$
3. La dependencia de Γ en γ, s , y t es "suave".

La noción de suavidad en la condición 3. es algo difícil de precisar (ver la discusión a continuación sobre el transporte paralelo en haces de fibras). En particular, los autores modernos como Kobayashi y Nomizu generalmente ven el transporte paralelo de la conexión como proveniente de una conexión en algún otro sentido, donde la suavidad se expresa más fácilmente.

No obstante, dada esta regla para el transporte paralelo, es posible recuperar la conexión infinitesimal asociada en E de la siguiente manera. Sea γ una curva diferenciable en M con el punto inicial γ (0) y el vector tangente inicial X = γ ′ (0). Si V es una sección de E sobre γ, entonces sea

${\ Displaystyle \ nabla _ {X} V = \ lim _ {h \ to 0} {\ frac {\ Gamma (\ gamma) _ {h} ^ {0} V _ {\ gamma (h)} - V _ {\ gamma (0)}} {h}} = \ izquierda. {\ frac {d} {dt}} \ Gamma (\ gamma) _ {t} ^ {0} V _ {\ gamma (t)} \ derecha | _ {t = 0}.}$

Esto define la conexión asociada infinitesimal en ∇ E . Se recupera el mismo transporte paralelo Γ de esta conexión infinitesimal.

Caso especial: el paquete tangente

Sea M una variedad suave. Luego, una conexión en el haz tangente de M , llamada conexión afín , distingue una clase de curvas llamadas geodésicas ( afines) ( Kobayashi y Nomizu , Volumen 1, Capítulo III) . Una curva suave γ : I → M es una geodésica afín si se transporta en paralelo , es decir error de harv: sin destino: CITEREFKobayashiNomizu ( ayuda )${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$${\ Displaystyle \ gamma}$

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t} {\ dot {\ gamma}} (s) = {\ dot {\ gamma}} (t). \,}$

Tomando la derivada con respecto al tiempo, esto toma la forma más familiar

${\ Displaystyle \ nabla _ {{\ dot {\ gamma}} (t)} {\ dot {\ gamma}} = 0. \,}$

Transporte paralelo en geometría riemanniana

En la geometría ( pseudo ) riemanniana , una conexión métrica es cualquier conexión cuyas asignaciones de transporte paralelo conservan el tensor métrico . Por lo tanto, una conexión métrica es cualquier conexión Γ tal que, para dos vectores cualesquiera X , Y ∈ T _{γ (s)}

${\ Displaystyle \ langle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t} X, \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t} Y \ rangle _ {\ gamma (t)} = \ langle X , Y \ rangle _ {\ gamma (s)}.}$

Tomando la derivada en t = 0, el operador diferencial asociado ∇ debe satisfacer una regla de producto con respecto a la métrica:

${\ Displaystyle Z \ langle X, Y \ rangle = \ langle \ nabla _ {Z} X, Y \ rangle + \ langle X, \ nabla _ {Z} Y \ rangle.}$

Geodésicas

Si ∇ es una conexión métrica, entonces las geodésicas afines son las geodésicas habituales de la geometría de Riemann y son las curvas que minimizan la distancia localmente. Más precisamente, primera nota que si γ : I → M , donde I es un intervalo abierto, es una geodésica, entonces la norma de es constante en I . Por supuesto, ${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}}}$

${\ Displaystyle {\ frac {d} {dt}} \ langle {\ dot {\ gamma}} (t), {\ dot {\ gamma}} (t) \ rangle = 2 \ langle \ nabla _ {{\ punto {\ gamma}} (t)} {\ punto {\ gamma}} (t), {\ punto {\ gamma}} (t) \ rangle = 0.}$

Se deduce de una aplicación del lema de Gauss que si A es la norma de entonces la distancia, inducida por la métrica, entre dos puntos suficientemente cercanos en la curva γ , digamos γ ( t ₁ ) y γ ( t ₂ ), está dada por ${\ Displaystyle {\ dot {\ gamma}} (t)}$

${\ Displaystyle {\ mbox {dist}} {\ big (} \ gamma (t_ {1}), \ gamma (t_ {2}) {\ big)} = A | t_ {1} -t_ {2} | .}$

La fórmula anterior puede no ser cierta para los puntos que no están lo suficientemente cerca, ya que la geodésica podría, por ejemplo, envolver la variedad (por ejemplo, en una esfera).

Generalizaciones

El transporte paralelo se puede definir con mayor generalidad para otros tipos de conexiones, no solo las definidas en un paquete de vectores. Una generalización es para las conexiones principales ( Kobayashi y Nomizu 1996 , Volumen 1, Capítulo II). Sea P → M un paquete principal sobre una variedad M con estructura Lie grupo G y una conexión principal ω. Como en el caso de los paquetes de vectores, una conexión principal ω en P define, para cada curva γ en M , un mapeo

${\ Displaystyle \ Gamma (\ gamma) _ {s} ^ {t}: P _ {\ gamma (s)} \ rightarrow P _ {\ gamma (t)}}$

de la fibra sobre γ ( s ) a que más del γ ( t ), que es un isomorfismo de espacios homogéneos : es decir, para cada g ∈ G . ${\ Displaystyle \ Gamma _ {\ gamma (s)} gu = g \ Gamma _ {\ gamma (s)}}$

También son posibles otras generalizaciones del transporte paralelo. En el contexto de las conexiones de Ehresmann , donde la conexión depende de una noción especial de " elevación horizontal " de los espacios tangentes, se puede definir el transporte paralelo a través de ascensores horizontales . Las conexiones de Cartan son conexiones de Ehresmann con una estructura adicional que permite pensar en el transporte paralelo como un mapa que "rueda" un cierto espacio modelo a lo largo de una curva en el colector. Este balanceo se llama desarrollo .

Aproximación: escalera de Schild

Dos peldaños de la escalera de Schild . Los segmentos A ₁ X ₁ y A ₂ X ₂ son una aproximación al primer orden del transporte paralelo de A ₀ X _{0 a lo} largo de la curva.

Transporte paralelo se puede discretamente aproximar por la escalera de Schild , que toma medidas finitos largo de una curva, y se aproxima parallelogramoids Levi-Civita por aproximadas paralelogramos .

Ver también

• Introducción básica a las matemáticas del espacio-tiempo curvo
• Conexión (matemáticas)
• Desarrollo (geometría diferencial)
• Conexión afín
• Derivado covariante
• Geodésico (relatividad general)
• Fase geométrica
• Derivada de la mentira
• Escalera de Schild
• Paralelogramoide Levi-Civita
• Curva paralela , con un nombre similar, pero una noción diferente.

Notas

Citas

Referencias

enlaces externos

• Demostración de geometría esférica . Un subprograma que demuestra el transporte paralelo de vectores tangentes en una esfera.