Toro complejo - Complex torus

El toro complejo asociado a una celosía dividida en dos períodos, ω ₁ y ω ₂ . Se identifican los bordes correspondientes.

En matemáticas , un toro complejo es un tipo particular de variedad compleja M cuya variedad suave subyacente es un toro en el sentido habitual (es decir, el producto cartesiano de algunos círculos de número N ). Aquí N debe ser el número par 2 n , donde n es la dimensión compleja de M .

Todas estas estructuras complejas se pueden obtener de la siguiente manera: tome una red Λ en un espacio vectorial V isomorfo a C ⁿ considerado como espacio vectorial real; luego el grupo del cociente

{\ Displaystyle V / \ Lambda}

es un colector complejo compacto . Todos los toros complejos, hasta el isomorfismo, se obtienen de esta forma. Para n = 1, esta es la construcción de celosía de período clásico de curvas elípticas . Para n > 1, Bernhard Riemann encontró las condiciones necesarias y suficientes para que un toro complejo sea una variedad algebraica ; las que son variedades pueden integrarse en un espacio proyectivo complejo , y son las variedades abelianas .

Las incrustaciones proyectivas reales son complicadas (ver ecuaciones que definen variedades abelianas ) cuando n > 1, y son realmente coextensivas con la teoría de funciones theta de varias variables complejas (con módulo fijo). No hay nada tan simple como la descripción de la curva cúbica para n = 1. El álgebra computacional puede manejar casos para n pequeña razonablemente bien. Según el teorema de Chow , ningún toro complejo que no sean las variedades abelianas puede "encajar" en el espacio proyectivo .

Definición

Una forma de definir toros complejos es como un grupo de Lie complejo conectado compacto . Estos son grupos de Lie donde los mapas de estructura son mapas holomórficos de variedades complejas. Resulta que todos estos grupos de Lie conectados compactos son conmutativos y son isomorfos a un cociente de su álgebra de Lie cuyo mapa de cobertura es el mapa exponencial de un álgebra de Lie a su grupo de Lie asociado. El núcleo de este mapa es una red y . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} = T_ {0} G}$ ${\ Displaystyle \ Lambda \ subconjunto {\ mathfrak {g}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {g}} / \ Lambda \ cong U}$

Por el contrario, dado un espacio vectorial complejo y una red de rango máximo, la variedad compleja del cociente tiene una estructura de grupo de Lie compleja, y también es compacta y está conectada. Esto implica que las dos definiciones de toros complejos son equivalentes. ${\ Displaystyle V}$ ${\ Displaystyle \ Lambda \ subseteq V}$ ${\ Displaystyle V / \ Lambda}$

Matriz de período de un toro complejo

Una forma de describir un toro complejo ^{pg 9} es usando una matriz cuyas columnas corresponden a una base de la red expandida usando una base de . Es decir, escribimos ${\ Displaystyle g \ times 2g}$ ${\ Displaystyle \ Pi}$ ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}, \ ldots, \ lambda _ {2g}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$ ${\ Displaystyle e_ {1}, \ ldots, e_ {g}}$ ${\ Displaystyle V}$

{\ Displaystyle \ Pi = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1,1} & \ cdots & \ lambda _ {1,2g} \\\ vdots && \ vdots \\\ lambda _ {g, 1} & \ cdots & \ lambda _ {g, 2g} \ end {pmatrix}}}

asi que

{\ Displaystyle \ lambda _ {i} = \ sum _ {j} \ lambda _ {ji} e_ {j}}

Entonces podemos escribir el toro como

{\ Displaystyle X = V / \ Lambda}

{\ Displaystyle X = \ mathbb {C} ^ {g} / \ Pi \ mathbb {Z} ^ {2g}}

Si vamos en la dirección inversa seleccionando una matriz , corresponde a una matriz de período si y solo si la matriz correspondiente construida al unir la matriz compleja conjugada a , entonces

{\ Displaystyle \ Pi \ in Mat _ {\ mathbb {C}} (g, 2g)}

{\ Displaystyle P \ in Mat _ {\ mathbb {C}} (2g, 2g)}

{\ Displaystyle {\ overline {\ Pi}}}

{\ Displaystyle \ Pi}

{\ Displaystyle P = {\ begin {pmatrix} \ Pi \\ {\ overline {\ Pi}} \ end {pmatrix}}}

no es singular . Esto garantiza que los vectores de columna de tramo en una red, por lo tanto, deben ser vectores linealmente independientes .

{\ Displaystyle \ Pi}

{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {g}}

{\ Displaystyle \ mathbb {R}}

Ejemplo

Para un toro complejo bidimensional, tiene una matriz de período de la forma

{\ Displaystyle \ Pi = {\ begin {pmatrix} \ lambda _ {1,1} & \ lambda _ {1,2} & \ lambda _ {1,3} & \ lambda _ {1,4} \\\ lambda _ {2,1} & \ lambda _ {2,2} & \ lambda _ {2,3} & \ lambda _ {2,4} \ end {pmatrix}}}

por ejemplo, la matriz

{\ displaystyle \ Pi = {\ begin {pmatrix} 1 & 0 & i & 2i \\ 1 & -i & 1 & 1 \ end {pmatrix}}}

forma una matriz de período ya que la matriz de período asociada tiene el determinante 4.

Matriz de período normalizado

Para cualquier toro complejo de dimensión , tiene una matriz de período de la forma ${\ Displaystyle X = V / \ Lambda}$ ${\ Displaystyle g}$ ${\ Displaystyle \ Pi}$

{\ Displaystyle (Z, 1_ {g})}

dónde está la matriz de identidad y dónde . Podemos obtener esto tomando un cambio de base del espacio vectorial que da una matriz de bloques de la forma anterior. La condición para se sigue de mirar la -matriz correspondiente

{\ Displaystyle 1_ {g}}

{\ Displaystyle Z \ in Mat _ {\ mathbb {C}} (g)}

{\ Displaystyle \ det {\ text {Im}} (Z) \ neq 0}

{\ Displaystyle V}

{\ Displaystyle \ det {\ text {Im}} (Z) \ neq 0}

{\ Displaystyle P}

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} Z & 1_ {g} \\ {\ overline {Z}} & 1_ {g} \ end {pmatrix}}}

ya que esta debe ser una matriz no singular. Esto se debe a que si calculamos el determinante de la matriz de bloques, esto es simplemente

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ det P & = \ det (1_ {g}) \ det (Z-1_ {g} 1_ {g} {\ overline {Z}}) \\ & = \ det (Z - {\ overline {Z}}) \\ & \ Rightarrow \ det ({\ text {Im}} (Z)) \ neq 0 \ end {alineado}}}

lo que da la implicación.

Ejemplo

Por ejemplo, podemos escribir una matriz de período normalizado para un toro complejo bidimensional como

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} z_ {1,1} & z_ {1,2} & 1 & 0 \\ z_ {2,1} & z_ {2,2} & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

un ejemplo es la matriz de períodos normalizados

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 + i & 1-i & 1 & 0 \\ 1 + 2i & 1 + {\ sqrt {2}} i & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

dado que el determinante de es distinto de cero, igual a .

{\ Displaystyle {\ text {Im}} (Z)}

{\ Displaystyle 2 + {\ sqrt {2}}}

Matrices de período de variedades abelianas

Para obtener una matriz de período que dé una variedad compleja proyectiva, por lo tanto, una variedad algebraica, la matriz de período necesita satisfacer aún más las relaciones bilineales de Riemann .

Homomorfismos de toros complejos

Si tenemos toros complejos y de dimensiones, entonces un homomorfismo

^{pg 11} de toros complejos es una función

{\ Displaystyle X = V / \ Lambda}

{\ Displaystyle X '= V' / \ Lambda '}

{\ Displaystyle g, g '}

{\ Displaystyle f: X \ to X '}

de manera que se conserve la estructura del grupo. Esto tiene una serie de consecuencias, como que cada homomorfismo induce un mapa de sus espacios de cobertura.

{\ Displaystyle F: V \ to V '}

que es compatible con sus mapas de cobertura. Además, debido a que induce un homomorfismo grupal, debe restringirse a un morfismo de las celosías.

{\ Displaystyle F}

{\ Displaystyle F _ {\ Lambda}: \ Lambda \ to \ Lambda '}

En particular, hay inyecciones.

{\ Displaystyle \ rho _ {a}: {\ text {Hom}} (X, X ') \ to {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {C}} (V, V')}

y que se denominan representaciones analíticas y racionales del espacio de los homomorfismos. Estos son útiles para determinar alguna información sobre el anillo de endomorfismo que tiene dimensión racional .

{\ Displaystyle \ rho _ {r}: {\ text {Hom}} (X, X ') \ to {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {Z}} (\ Lambda, \ Lambda')}

{\ Displaystyle {\ text {End}} (X) \ otimes \ mathbb {Q}}

{\ Displaystyle m \ leq 4gg '}

Mapas holomorfos de toros complejos

La clase de mapas homomórficos entre toros complejos tiene una estructura muy simple. Por supuesto, todo homomorfismo induce un mapa holomórfico, pero todo mapa holomórfico es la composición de un tipo especial de mapa holomorfo con un homomorfismo. Para un elemento definimos el mapa de traducción ${\ Displaystyle x_ {0} \ in X}$

{\ Displaystyle t_ {x_ {0}}: X \ a X}

enviando Entonces, si hay un mapa holomorfo entre toros complejos , hay un homomorfismo único tal que

{\ Displaystyle x \ mapsto x + x_ {0}}

{\ Displaystyle h}

{\ Displaystyle X, X '}

{\ Displaystyle f: X \ to X '}

{\ Displaystyle h = t_ {h (0)} \ circ f}

que muestran que los mapas holomorfos no son mucho más grandes que el conjunto de homomorfismos de toros complejos.

Isogenias

Una clase distinta de homomorfismos de toros complejos se denominan isogenias. Estos son endomorfismos de toros complejos con un núcleo distinto de cero. Por ejemplo, si dejamos ser un número entero, entonces hay un mapa asociado ${\ Displaystyle n \ in \ mathbb {Z} _ {\ neq 0}}$

{\ Displaystyle n_ {X}: X \ a X}

enviando que tiene kernel

{\ Displaystyle x \ mapsto nx}

{\ Displaystyle X_ {n} \ cong (\ mathbb {Z} / n \ mathbb {Z}) ^ {2g}}

isomorfo a .

{\ Displaystyle \ Lambda / n \ Lambda}

Toros complejos isomorfos

Existe un isomorfismo de estructuras complejas en el espacio vectorial real y el conjunto ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2g}}$

{\ Displaystyle GL _ {\ mathbb {C}} (g) / GL _ {\ mathbb {R}} (2g)}

y toros isomorfos se pueden dar por un cambio de base de sus celosías, por lo tanto, una matriz en . Esto le da al conjunto de clases de isomorfismo de toros complejo de dimensión , como el espacio de clase lateral doble

{\ Displaystyle GL _ {\ mathbb {Z}} (2g)}

{\ Displaystyle g}

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {g}}

{\ Displaystyle {\ mathcal {T}} _ {g} \ cong GL _ {\ mathbb {Z}} (2g) \ barra invertida GL _ {\ mathbb {C}} (g) / GL _ {\ mathbb {R}} ( 2g)}

Tenga en cuenta que como una variedad real, esto tiene dimensión

{\ Displaystyle 2g ^ {2} -g ^ {2} = g ^ {2}}

esto es importante cuando se consideran las dimensiones de los módulos de las variedades abelianas , lo que muestra que hay toros mucho más complejos que las variedades abelianas.

Paquetes de líneas y formas automórficas

Para variedades complejas , en particular toros complejos, hay una construcción ^{pg 571 que} relaciona los haces de líneas holomórficas cuyo retroceso es trivial usando la cohomología de grupo de . Afortunadamente para toros complejos, cada paquete de líneas complejas se vuelve trivial desde entonces . ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle L \ a X}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {*} L \ a {\ tilde {X}}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$ ${\ Displaystyle \ pi ^ {*} L}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {X}} \ cong \ mathbb {C} ^ {n}}$

Factores de automorfia

Partiendo del primer grupo de cohomología grupal

{\ Displaystyle H ^ {1} (\ pi _ {1} (X), H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ tilde {X}} ^ {*}))}

recordamos cómo se pueden representar sus elementos. Dado que actúa sobre hay una acción inducida sobre todas sus gavillas, por lo tanto en

{\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}

{\ Displaystyle {\ tilde {X}}}

{\ Displaystyle H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ tilde {X}} ^ {*}) = \ {f: {\ tilde {X}} \ to \ mathbb {C} ^ { *} \}}

La -acción se puede representar entonces como un mapa holomórfico . Este mapa satisface la condición de ciclo si

{\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}

{\ Displaystyle f: \ pi _ {1} (X) \ times {\ tilde {X}} \ to \ mathbb {C} ^ {*}}

{\ Displaystyle f (a \ cdot b, x) = f (a, b \ cdot x) f (b, x)}

para todos y . El grupo abeliano de 1-cociclos se denomina grupo de factores de automorfia . Tenga en cuenta que estas funciones también se denominan simplemente factores .

{\ Displaystyle a, b \ in \ pi _ {1} (X)}

{\ Displaystyle x \ in {\ tilde {X}}}

{\ Displaystyle Z ^ {1} (\ pi _ {1} (X), H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ tilde {X}} ^ {*}))}

{\ Displaystyle f}

En toros complejos

Para tori complejos, estas funciones están dadas por funciones ${\ Displaystyle f}$

{\ Displaystyle f: \ mathbb {C} ^ {n} \ times \ mathbb {Z} ^ {2n} \ to \ mathbb {C} ^ {*}}

que siguen la condición de ciclo. Estas son funciones automórficas , más precisamente, las funciones automórficas utilizadas en las leyes de transformación para funciones theta . Además, cualquier mapa de este tipo se puede escribir como

{\ Displaystyle f = \ exp (2 \ pi i \ cdot g)}

por

{\ Displaystyle g: V \ times \ Lambda \ to \ mathbb {C}}

que es útil para calcular invariantes relacionados con el paquete de líneas asociado.

Paquetes de líneas de factores de automorfia

Dado un factor de automorfia , podemos definir un paquete de líneas de la siguiente manera: el paquete de líneas trivial tiene una -acción dada por ${\ Displaystyle f}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle {\ tilde {X}} \ times \ mathbb {C} \ to {\ tilde {X}}}$ ${\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}$

{\ Displaystyle a \ cdot (x, t) = (a \ cdot x, f (a, x) \ cdot t)}

para el factor . Dado que esta acción es gratuita y propiamente discontinua, el paquete cociente

{\ Displaystyle f}

{\ Displaystyle L = {\ tilde {X}} \ times \ mathbb {C} / \ pi _ {1} (X)}

es una variedad compleja. Además, la proyección inducida por la proyección de cobertura . Esto da un mapa

{\ Displaystyle p: L \ a X}

{\ Displaystyle \ pi: {\ tilde {X}} \ to X}

{\ Displaystyle Z ^ {1} (\ pi _ {1} (X), H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ tilde {X}} ^ {*})) \ a H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*})}

que induce un isomorfismo

{\ Displaystyle H ^ {1} (\ pi _ {1} (X), H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ tilde {X}} ^ {*})) \ to \ ker (H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) \ to H ^ {1} ({\ tilde {X}}, {\ mathcal {O}} _ { \ tilde {X}} ^ {*}))}

dando el resultado deseado.

Para toros complejos

En el caso de toros complejos, tenemos, por lo tanto, hay un isomorfismo ${\ Displaystyle H ^ {1} ({\ tilde {X}}, {\ mathcal {O}} _ {\ tilde {X}} ^ {*}) \ cong 0}$

{\ Displaystyle H ^ {1} (\ pi _ {1} (X), H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {\ tilde {X}} ^ {*})) \ cong H ^ {1} (X, {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*})}

que representan haces de líneas en toros complejos como 1-cocíles en la cohomología del grupo asociado. Es típico escribir el grupo como la celosía que define , por lo tanto

{\ Displaystyle \ pi _ {1} (X)}

{\ Displaystyle \ Lambda}

{\ Displaystyle X}

{\ Displaystyle H ^ {1} (\ Lambda, H ^ {0} ({\ mathcal {O}} _ {V} ^ {*}))}

contiene las clases de isomorfismo de paquetes de líneas en .

{\ Displaystyle X}

Primera clase chern de paquetes de líneas en tori complejos

De la secuencia exponencial exacta

{\ Displaystyle 0 \ to \ mathbb {Z} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} \ to {\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*} \ to 0}

el morfismo de conexión

{\ Displaystyle c_ {1}: H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) \ to H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}

es el primer mapa de clase Chern , que envía una clase de isomorfismo de un paquete de líneas a su primera clase Chern asociada. Resulta que hay es un isomorfismo entre y el módulo de formularios en la red alterna , . Por lo tanto, se puede considerar como una forma 2 de valor alterno en . Si tiene factor de automorfia, entonces la forma alterna se puede expresar como

{\ Displaystyle H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}

{\ Displaystyle \ Lambda}

{\ Displaystyle Alt ^ {2} (\ Lambda, \ mathbb {Z})}

{\ Displaystyle c_ {1} (L)}

{\ Displaystyle \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle E_ {L}}

{\ Displaystyle \ Lambda}

{\ Displaystyle L}

{\ Displaystyle f = \ exp (2 \ pi ig)}

{\ Displaystyle E_ {L} (\ lambda, \ mu) = g (\ mu, v + \ lambda) + g (\ lambda, v) -g (\ lambda, v + \ mu) -g (\ mu, v) }

para y .

{\ Displaystyle \ mu, \ lambda \ in \ Lambda}

{\ Displaystyle v \ in V}

Ejemplo

Para una matriz de período normalizada

{\ displaystyle \ Pi = {\ begin {pmatrix} z_ {1,1} & z_ {1,2} & 1 & 0 \\ z_ {2,1} & z_ {2,2} & 0 & 1 \ end {pmatrix}}}

expandido usando la base estándar de tenemos los vectores de columna que definen la celosía . Entonces, cualquier forma alterna en es de la forma

{\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {2}}

{\ Displaystyle \ Lambda \ subset \ mathbb {C} ^ {2}}

{\ Displaystyle E_ {L}}

{\ Displaystyle \ Lambda}

{\ displaystyle E_ {L} = {\ begin {pmatrix} 0 & e_ {2,1} & e_ {3,1} & e_ {4,1} \\ - e_ {2,1} & 0 & e_ {3,2} & e_ {4 , 2} \\ - e_ {3,1} & - e_ {2,3} & 0 & e_ {4,3} \\ - e_ {4,1} & - e_ {4,2} & - e_ {4,3 } & 0 \ end {pmatrix}}}

donde se deben cumplir una serie de condiciones de compatibilidad.

Secciones de paquetes de líneas y funciones theta

Para un haz de líneas dado por un factor de automorfia , entonces y , hay un haz asociado de secciones donde ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle f: \ Lambda \ times V \ to \ mathbb {C} ^ {*}}$ ${\ Displaystyle [f] \ in H ^ {1} (\ Lambda, H ^ {0} (V, {\ mathcal {O}} _ {V} ^ {*}))}$ ${\ Displaystyle \ phi _ {1} [f] = [L] \ in {\ text {Pic}} (X)}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

{\ Displaystyle {\ mathcal {L}} (U) = \ left \ {\ theta: \ pi ^ {- 1} (U) \ to \ mathbb {C}: {\ begin {matrix} \ theta {\ text {holomórfico con}} \ theta (v + \ lambda) = f (\ lambda, v) \ theta (v) \\ {\ text {para todos}} (\ lambda, v) \ in \ Lambda \ times \ pi ^ {-1} (U) \ end {matriz}} \ right \}}

con abierto. Luego, evaluado en secciones globales, este es el conjunto de funciones holomorfas tales que

{\ Displaystyle U \ subconjunto X}

{\ Displaystyle \ theta: V \ to \ mathbb {C}}

{\ Displaystyle \ theta (v + \ lambda) = f (\ lambda, v) \ theta (v)}

que son exactamente las funciones theta en el plano. A la inversa, este proceso se puede hacer al revés donde el factor automórfico en la función theta es de hecho el factor de automorfia que define un paquete de líneas en un toro complejo.

Formas hermitianas y el teorema de Appell-Humbert

Para la forma 2 de valor alterno asociada al paquete de líneas , se puede extender para que se valore. Entonces, resulta que cualquier forma alterna valorada que satisfaga las siguientes condiciones ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle E_ {L}}$ ${\ Displaystyle L \ a X}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {R}}$ ${\ Displaystyle E: V \ times V \ to \ mathbb {R}}$

${\ Displaystyle E (\ Lambda, \ Lambda) \ subseteq \ mathbb {Z}}$
${\ Displaystyle E (iv, iw) = E (v, w)}$ para cualquier ${\ Displaystyle v, w \ in V}$

es la extensión de alguna primera clase Chern de un paquete de líneas . Además, hay una forma hermitiana asociada que satisface ${\ Displaystyle c_ {1} (L)}$ ${\ Displaystyle L \ a X}$ ${\ Displaystyle H: V \ times V \ to \ mathbb {C}}$

${\ Displaystyle {\ text {Im}} H (v, w) = E (v, w)}$
${\ Displaystyle H (v, w) = E (iv, w) + iE (v, w)}$

para cualquiera . ${\ Displaystyle v, w \ in V}$

Grupo Neron-Severi

Para un complejo torus podemos definir el

grupo Neron-serveri como el grupo de formas hermitianos en con

{\ Displaystyle X = V / \ Lambda}

{\ Displaystyle NS (X)}

{\ Displaystyle H}

{\ Displaystyle V}

{\ Displaystyle {\ text {Im}} H (\ Lambda, \ Lambda) \ subseteq \ mathbb {Z}}

De manera equivalente, es la imagen del homomorfismo

{\ Displaystyle c_ {1}: H ^ {1} ({\ mathcal {O}} _ {X} ^ {*}) \ to H ^ {2} (X, \ mathbb {Z})}

de la primera clase Chern. También podemos identificarlo con el grupo de formas alternas alternas de valor real en tal que .

{\ Displaystyle E}

{\ Displaystyle V}

{\ Displaystyle E (\ Lambda, \ Lambda) \ subseteq \ mathbb {Z}}

Ejemplo de una forma hermitiana en una curva elíptica

Para una curva elíptica dada por la celosía donde podemos encontrar la forma integral mirando una matriz alterna genérica y encontrando las condiciones de compatibilidad correctas para que se comporte como se esperaba. Si usamos la base estándar de como un espacio vectorial real (entonces ), entonces podemos escribir una matriz alterna ${\ Displaystyle {\ mathcal {E}}}$ ${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & \ tau \ end {pmatrix}}}$ ${\ Displaystyle \ tau \ in \ mathbb {H}}$ ${\ Displaystyle E \ in {\ text {Alt}} ^ {2} (\ Lambda, \ mathbb {Z})}$ ${\ Displaystyle x_ {1}, y_ {1}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle z = z_ {1} + iz_ {2} = z_ {1} x_ {1} + z_ {2} y_ {1}}$

{\ displaystyle E = {\ begin {pmatrix} 0 & e \\ - e & 0 \ end {pmatrix}}}

y calcular los productos asociados sobre los vectores asociados a . Estos son

{\ Displaystyle 1, \ tau}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} E \ cdot {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} 0 \\ - e \ end {pmatrix}} && E \ cdot { \ begin {pmatrix} \ tau _ {1} \\\ tau _ {2} \ end {pmatrix}} = {\ begin {pmatrix} e \ tau _ {2} \\ - e \ tau _ {1} \ end {pmatrix}} \ end {alineado}}}

Luego, tomando los productos internos (con el producto interno estándar) de estos vectores con los vectores obtenemos

{\ Displaystyle 1, \ tau}

{\ displaystyle {\ begin {alineado} {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ - e \ end {pmatrix}} = 0 && {\ begin { pmatrix} \ tau _ {1} \\\ tau _ {2} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} 0 \\ - e \ end {pmatrix}} = - e \ tau _ {2} \\ {\ begin {pmatrix} 1 \\ 0 \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} e \ tau _ {2} \\ - e \ tau _ {1} \ end {pmatrix}} = e \ tau _ {2} && {\ begin {pmatrix} \ tau _ {1} \\\ tau _ {2} \ end {pmatrix}} \ cdot {\ begin {pmatrix} e \ tau _ {2} \ \ -e \ tau _ {1} \ end {pmatrix}} = 0 \ end {alineado}}}

entonces si , entonces

{\ Displaystyle E (\ Lambda, \ Lambda) \ subconjunto \ mathbb {Z}}

{\ Displaystyle e = a {\ frac {1} {{\ text {Im}} (\ tau)}}}

Luego podemos verificar directamente , lo que es válido para la matriz anterior. Para un fijo , escribiremos la forma integral como . Entonces, hay una forma hermitiana asociada

{\ Displaystyle E (v, w) = E (iv, iw)}

{\ Displaystyle a}

{\ Displaystyle E_ {a}}

{\ Displaystyle H_ {a}: \ mathbb {C} \ times \ mathbb {C} \ to \ mathbb {C}}

dada por

{\ Displaystyle H_ {a} (z, w) = a \ cdot {\ frac {z {\ overline {w}}} {{\ text {Im}} (\ tau)}}}

dónde

{\ Displaystyle a \ in \ mathbb {Z}}

Pares de semi-caracteres para formas hermitianas

Para una forma hermitiana, un semi-personaje es un mapa. ${\ Displaystyle H}$

{\ Displaystyle \ chi: \ Lambda \ to U (1)}

tal que

{\ Displaystyle \ chi (\ lambda + \ mu) = \ chi (\ lambda) \ chi (\ mu) \ exp (i \ pi {\ text {Im}} H (\ lambda, \ mu))}

de ahí que el mapa se comporte como un personaje torcido por la forma hermitiana. Tenga en cuenta que si es el elemento cero en , por lo que corresponde al paquete de línea trivial , entonces los semi-caracteres asociados son el grupo de caracteres en . Resultará que esto corresponde al grupo de paquetes de líneas de grados en , o de manera equivalente, su toro dual, que se puede ver calculando el grupo de caracteres

{\ Displaystyle \ chi}

{\ Displaystyle H}

{\ Displaystyle NS (X)}

{\ Displaystyle \ mathbb {C} \ times X \ to X}

{\ Displaystyle \ Lambda}

{\ Displaystyle {\ text {Pic}} ^ {0} (X)}

{\ Displaystyle X}

${\ Displaystyle {\ text {Hom}} (\ Lambda, U (1))}$

cuyos elementos se pueden factorizar como mapas

${\ Displaystyle \ Lambda \ to \ mathbb {R} \ to \ mathbb {R} / \ mathbb {Z} \ cong U (1)}$

mostrar un personaje es de la forma

${\ Displaystyle \ chi (\ cdot) = \ exp \ left (2 \ pi iv ^ {*} (\ cdot) \ right)}$

para algún vector de celosía dual fijo . Esto da el isomorfismo ${\ Displaystyle v ^ {*} \ in \ Lambda ^ {*}}$

${\ Displaystyle {\ text {Hom}} (\ Lambda, U (1)) \ cong \ mathbb {R} ^ {2g} / \ mathbb {Z} ^ {2g}}$

del conjunto de personajes con un toro real. El conjunto de todos los pares de semi-caracteres y su forma hermitiana asociada , o

pares de semi-caracteres , forma un grupo donde

{\ Displaystyle (\ chi, H)}

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Lambda)}

{\ Displaystyle (H_ {1}, \ chi _ {1}) * (H_ {2}, \ chi _ {2}) = (H_ {1} + H_ {2}, \ chi _ {1} \ chi _ {2})}

Esta estructura de grupo proviene de aplicar la ley de conmutación anterior para semi-caracteres al nuevo semi-carácter :

{\ Displaystyle \ chi _ {1} \ chi _ {2}}

{\ Displaystyle {\ begin {alineado} \ chi _ {1} \ chi _ {2} (\ lambda + \ mu) & = \ chi _ {1} (\ lambda + \ mu) \ chi _ {2} ( \ lambda + \ mu) \\ & = \ chi _ {1} (\ lambda) \ chi _ {1} (\ mu) \ chi _ {2} (\ lambda) \ chi _ {2} (\ mu) \ exp (i \ pi {\ text {Im}} H_ {1} (\ lambda, \ mu)) \ exp (i \ pi {\ text {Im}} H_ {2} (\ lambda, \ mu)) \\ & = \ chi _ {1} \ chi _ {2} (\ lambda) \ chi _ {1} \ chi _ {2} (\ mu) \ exp (i \ pi {\ text {Im}} H_ {1} (\ lambda, \ mu) + i \ pi {\ text {Im}} H_ {2} (\ lambda, \ mu)) \ end {alineado}}}

Resulta que este grupo se sobrepone y tiene kernel , dando una secuencia breve y exacta

{\ Displaystyle NS (X)}

{\ Displaystyle {\ text {Hom}} (\ Lambda, U (1))}

{\ Displaystyle 1 \ to {\ text {Hom}} (\ Lambda, U (1)) \ to {\ mathcal {P}} (\ Lambda) \ to NS (X) \ to 1}

Esta sobreyección se puede construir asociando a cada par de semi-caracteres un paquete de líneas .

{\ Displaystyle L (H, \ chi)}

Pares de semi-caracteres y paquetes de líneas

Para un par de semi-caracteres , podemos construir un ciclo de 1 como un mapa ${\ Displaystyle (H, \ chi)}$ ${\ Displaystyle a _ {(H, \ chi)}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda}$

{\ Displaystyle a _ {(H, \ chi)}: \ Lambda \ times V \ to \ mathbb {C} ^ {*}}

definido como

{\ Displaystyle a (\ lambda, v) = \ chi (v) \ exp (\ pi H (v, \ lambda) + \ pi / 2H (\ lambda, \ lambda))}

La relación del ciclo

{\ Displaystyle a (\ lambda + \ mu, v) = a (\ lambda, v + \ mu) a (\ mu, v)}

se puede verificar fácilmente mediante cálculo directo. Por lo tanto, el ciclo determina un paquete de líneas

{\ Displaystyle L (H, \ chi) \ cong V \ times \ mathbb {C} / \ Lambda}

donde la -acción está dada por

{\ Displaystyle \ Lambda}

{\ Displaystyle V \ times \ mathbb {C}}

{\ Displaystyle \ lambda \ circ (v, t) = (v + t, a _ {(H, \ chi)} (\ lambda, v) t)}

Tenga en cuenta que esta acción se puede usar para mostrar que las secciones del paquete de líneas están dadas por las funciones theta con factor de automorfia . A veces, esto se denomina factor canónico de automorfia para . Tenga en cuenta que debido a que cada paquete de líneas tiene una forma hermitiana asociada , y se puede construir un semi-carácter usando el factor de automorfia , obtenemos una sobreyección

{\ Displaystyle L (H, \ chi)}

{\ Displaystyle a _ {(H, \ chi)}}

{\ Displaystyle L}

{\ Displaystyle L \ a X}

{\ Displaystyle H}

{\ Displaystyle L}

{\ Displaystyle {\ mathcal {P}} (\ Lambda) \ a {\ text {Pic}} (X)}

Además, este es un homomorfismo de grupo con un núcleo trivial. Todos estos hechos se pueden resumir en el siguiente diagrama conmutativo

{\ Displaystyle {\ begin {matrix} 1 & \ to & {\ text {Hom}} (\ Lambda, U (1)) & \ to & {\ mathcal {P}} (\ Lambda) & \ to & NS (X ) & \ to 0 \\ && \ downarrow && \ downarrow && \ downarrow \\ 1 & \ to & {\ text {Pic}} ^ {0} (X) & \ to & {\ text {Pic}} (X) & \ a & {\ text {NS}} (X) & \ a 0 \ end {matriz}}}

donde las flechas verticales son isomorfismos o igualdad. Este diagrama se denomina típicamente teorema de Appell-Humbert .

Toro complejo dual

Como se mencionó anteriormente, un carácter en la celosía se puede expresar como una función

${\ Displaystyle \ chi (\ cdot) = \ exp \ left (2 \ pi iv ^ {*} (\ cdot) \ right)}$

para algún vector dual fijo . Si queremos poner una estructura compleja en el toro real de todos los caracteres, debemos comenzar con un espacio vectorial complejo que se incrusta en. Resulta que el espacio vectorial complejo ${\ Displaystyle v ^ {*} \ in \ Lambda ^ {*}}$ ${\ Displaystyle \ Lambda ^ {*}}$

${\ Displaystyle {\ overline {\ Omega}} = {\ text {Hom}} _ {\ overline {\ mathbb {C}}} (V, \ mathbb {C})}$

de mapas antilineales complejos , es isomorfo al espacio vectorial dual real , que es parte de la factorización para escribir caracteres. Además, hay una celosía asociada ${\ Displaystyle {\ text {Hom}} _ {\ mathbb {R}} (V, \ mathbb {R})}$

${\ Displaystyle {\ hat {\ Lambda}} = \ {l \ in {\ overline {\ Omega}}: \ langle l, \ Lambda \ rangle \ subseteq \ mathbb {Z} \}}$

llamado la celosía dual de . Entonces, podemos formar el

toro complejo dual

{\ Displaystyle \ Lambda}

${\ displaystyle {\ hat {X}} \ cong {\ overline {\ Omega}} / {\ hat {\ Lambda}}}$

que tiene la propiedad especial de que ese dual del toro complejo dual es el toro complejo original. Además, de la discusión anterior, podemos identificar el toro complejo dual con el grupo de Picard de ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ hat {X}} \ cong {\ text {Pic}} ^ {0} (X)}$

enviando un vector dual antilineal a ${\ Displaystyle l}$

${\ Displaystyle l \ mapsto \ exp (2 \ pi i \ langle l, \ cdot \ rangle)}$

dando el mapa

${\ Displaystyle {\ overline {\ Omega}} \ to {\ text {Hom}} (\ Lambda, U (1))}$

que factores a través del toro complejo dual. Existen otras construcciones del toro complejo dual utilizando técnicas de la teoría de las variedades abelianas ^págs . ^123-125 . Esencialmente, tomando un paquete de líneas sobre un toro complejo (o variedad abeliana) , hay un subconjunto cerrado de definido como los puntos donde sus traducciones son invariantes, es decir ${\ Displaystyle L}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle K (L)}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle x \ in X}$

${\ Displaystyle T_ {x} ^ {*} (L) \ cong L}$

Entonces, el toro complejo dual se puede construir como

${\ Displaystyle {\ hat {X}}: = X / K (L)}$

presentándolo como una isogenia. Se puede demostrar que definir de esta manera satisface las propiedades universales de , por lo tanto, es de hecho el toro complejo dual (o variedad abeliana). ${\ Displaystyle {\ hat {X}}}$ ${\ Displaystyle {\ text {Pic}} ^ {0} (X)}$

Paquete de poincaré

A partir de la construcción del toro complejo dual, se sugiere que debería existir un haz de líneas sobre el producto del toro y su dual que se puede usar para presentar todas las clases de isomorfismos de haces de líneas de grado 0 . Podemos codificar este comportamiento con las siguientes dos propiedades ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$ ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} | _ {X \ times \ {[L] \}} \ cong L}$ para cualquier punto que dé el paquete de líneas ${\ Displaystyle [L] \ in {\ hat {X}}}$ ${\ Displaystyle L}$
${\ Displaystyle {\ mathcal {P}} | _ {\ {0 \} \ times {\ hat {X}}}}$ es un paquete de líneas trivial

donde la primera es la propiedad discutida anteriormente y la segunda actúa como una propiedad de normalización. Podemos construir usando la siguiente forma hermitiana ${\ Displaystyle {\ mathcal {P}}}$

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} H: (V \ times {\ overline {\ Omega}}) \ times (V \ times {\ overline {\ Omega}}) \ to \ mathbb {C} \\ H ( (v_ {1}, l_ {1}), (v_ {2}, l_ {2})) = {\ overline {l_ {2} (v_ {1})}} + l_ {1} (v_ {2 }) \ end {matriz}}}$

y el semi-personaje

${\ Displaystyle {\ begin {matrix} \ chi: \ Lambda \ times {\ hat {\ Lambda}} \ to U (1) \\\ chi (\ lambda, l_ {0}) = \ exp (i \ pi {\ text {Im}} l_ {0} (\ lambda)) \ end {matriz}}}$

para . Al mostrar estos datos, se construye un paquete de líneas con las propiedades deseadas, después de observar el factor canónico asociado de y observar su comportamiento en varias restricciones. ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle (H, \ chi)}$

Ver también

Referencias

↑ ^a ^b Mumford, David (2008). Variedades abelianas . CP Ramanujam, I︠U︡. I. Manin. Publicado para el Instituto Tata de Investigación Fundamental. ISBN 8185931860. OCLC 297809496 .
↑ ^a ^b ^c Birkenhake, Christina (2004). Variedades Abelianas complejas . Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558 .
^ "Relaciones bilineales de Riemann" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 31 de mayo de 2021.
^ "Cómo funciona el teorema de Appell-Humbert en el caso más simple de una curva elíptica" .

Birkenhake, Christina; Lange, Herbert (1999), toros complejos , Progreso en matemáticas, 177 , Boston, MA: Birkhäuser Boston, ISBN 978-0-8176-4103-0, Señor 1713785

Toros bidimensionales complejos

Qué es una superficie abeliana isomórfica o isógena a un producto de curvas elípticas? - Ofrece herramientas para encontrar toros complejos que no son variedades abelianas.
superficies y productos de curvas elípticas

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Gerbes y el grupo holomórfico de Brauer de toros complejos : amplía la idea de usar formas alternas en la celosía para construir gerbios en un toro complejo ${\ Displaystyle {\ text {Alt}} ^ {3} (\ Lambda, \ mathbb {Z})}$
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Integrales abelianas p-ádicas: de la teoría a la práctica

[:1-1] Mumford, David (2008). Variedades abelianas . CP Ramanujam, I︠U︡. I. Manin. Publicado para el Instituto Tata de Investigación Fundamental. ISBN 8185931860. OCLC 297809496 .

[:0-2] Birkenhake, Christina (2004). Variedades Abelianas complejas . Herbert Lange (Segunda edición aumentada). Berlín, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg. ISBN 978-3-662-06307-1. OCLC 851380558 .

[3] "Relaciones bilineales de Riemann" (PDF) . Archivado (PDF) desde el original el 31 de mayo de 2021.

[4] "Cómo funciona el teorema de Appell-Humbert en el caso más simple de una curva elíptica" .

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Grupo Neron-Severi

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Pares de semi-caracteres para formas hermitianas

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Referencias

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