elemento de identidad -Identity element
En matemáticas , un elemento de identidad , o elemento neutral , de una operación binaria que opera en un conjunto es un elemento del conjunto que deja sin cambios todos los elementos del conjunto cuando se aplica la operación. Este concepto se utiliza en estructuras algebraicas como grupos y anillos . El término elemento de identidad a menudo se abrevia como identidad (como en el caso de la identidad aditiva y la identidad multiplicativa) cuando no hay posibilidad de confusión, pero la identidad depende implícitamente de la operación binaria con la que está asociada.
Definiciones
Sea ( S , ∗) un conjunto S equipado con una operación binaria ∗. Entonces un elemento e de S se llama identidad izquierda si e ∗ a = a para todo a en S , y identidad derecha si a ∗ e = a para todo a en S . Si e es tanto una identidad por la izquierda como una identidad por la derecha, entonces se llama una identidad de dos caras , o simplemente una identidad .
Una identidad con respecto a la suma se denomina identidad aditiva (a menudo indicada como 0) y una identidad con respecto a la multiplicación se denomina identidad multiplicativa (a menudo indicada como 1). No es necesario que sean sumas y multiplicaciones ordinarias, ya que la operación subyacente podría ser bastante arbitraria. En el caso de un grupo , por ejemplo, el elemento de identidad a veces se denota simplemente con el símbolo . La distinción entre identidad aditiva y multiplicativa se usa con mayor frecuencia para conjuntos que admiten operaciones binarias, como anillos , dominios integrales y campos . La identidad multiplicativa a menudo se llama unidad en el último contexto (un anillo con unidad). Esto no debe confundirse con una unidad en la teoría de anillos, que es cualquier elemento que tenga un inverso multiplicativo . Por su propia definición, la unidad misma es necesariamente una unidad.
Ejemplos
| Colocar | Operación | Identidad |
|---|---|---|
| Numeros reales | + ( suma ) | 0 |
| Numeros reales | · ( multiplicación ) | 1 |
| Números complejos | + (suma) | 0 |
| Números complejos | · (multiplicación) | 1 |
| enteros positivos | Minimo común multiplo | 1 |
| enteros no negativos | Máximo común divisor | 0 (en la mayoría de las definiciones de GCD) |
| m -por- n matrices | Adición de matriz | Matriz cero |
| n -por- n matrices cuadradas | Multiplicación de matrices | I n ( matriz identidad ) |
| m -por- n matrices | ○ ( producto Hadamard ) | J m , n ( matriz de unos ) |
| Todas las funciones de un conjunto, M , a sí mismo | ∘ ( composición de funciones ) | función de identidad |
| Todas las distribuciones en un grupo , G | ∗ ( convolución ) | δ ( delta de Dirac ) |
| Números reales extendidos | Mínimo /ínfimo | +∞ |
| Números reales extendidos | Máximo / supremo | −∞ |
| Subconjuntos de un conjunto M | ∩ ( intersección ) | METRO |
| Conjuntos | ∪ ( unión ) | ∅ ( conjunto vacío ) |
| Cadenas , listas | Concatenación | Cadena vacía, lista vacía |
| Un álgebra booleana | ∧ ( lógico y ) | ⊤ (verdad) |
| Un álgebra booleana | ↔ ( bicondicional lógico ) | ⊤ (verdad) |
| Un álgebra booleana | ∨ ( lógico o ) | ⊥ (falsedad) |
| Un álgebra booleana | ⊕ ( exclusivo o ) | ⊥ (falsedad) |
| nudos | Suma de nudos | desatar |
| Superficies compactas | # ( suma conectada ) | S 2 |
| Grupos | producto directo | grupo trivial |
| Dos elementos, { e , f } | ∗ definido por e ∗ e = f ∗ e = e y f ∗ f = e ∗ f = f |
Tanto e como f son identidades de izquierda, pero no hay identidad de derecha ni identidad de dos caras. |
| Relaciones homogéneas en un conjunto X | Producto relativo | Relación de identidad |
Propiedades
En el ejemplo S = { e,f } con las igualdades dadas, S es un semigrupo . Demuestra la posibilidad de que ( S , ∗) tenga varias identidades de izquierda. De hecho, cada elemento puede ser una identidad izquierda. De manera similar, puede haber varias identidades correctas. Pero si hay una identidad derecha y una identidad izquierda, entonces deben ser iguales, lo que da como resultado una única identidad de dos lados.
Para ver esto, observe que si l es una identidad por la izquierda y r es una identidad por la derecha, entonces l = l ∗ r = r . En particular, nunca puede haber más de una identidad de dos caras: si hubiera dos, digamos e y f , entonces e ∗ f tendría que ser igual a e y f .
También es muy posible que ( S , ∗) no tenga un elemento de identidad, como en el caso de los números enteros pares en la operación de multiplicación. Otro ejemplo común es el producto vectorial de vectores , donde la ausencia de un elemento de identidad está relacionada con el hecho de que la dirección de cualquier producto vectorial distinto de cero siempre es ortogonal a cualquier elemento multiplicado. Es decir, no es posible obtener un vector distinto de cero en la misma dirección que el original. Otro ejemplo más de estructura sin elemento de identidad implica el semigrupo aditivo de números naturales positivos .
Ver también
- Elemento absorbente
- Inverso aditivo
- Inverso generalizado
- Identidad (ecuación)
- función de identidad
- elemento inverso
- monoide
- Pseudo-anillo
- cuasigrupo
- Unitario (desambiguación)
notas y referencias
Bibliografía
- Beauregard, Raymond A.; Fraleigh, John B. (1973), Un primer curso de álgebra lineal: con introducción opcional a grupos, anillos y campos , Boston: Houghton Mifflin Company , ISBN 0-395-14017-X
- Fraleigh, John B. (1976), Un primer curso de álgebra abstracta (2.ª ed.), Lectura: Addison-Wesley , ISBN 0-201-01984-1
- Herstein, IN (1964), Temas de álgebra , Waltham: Blaisdell Publishing Company , ISBN 978-1114541016
- McCoy, Neal H. (1973), Introducción al álgebra moderna, edición revisada , Boston: Allyn and Bacon , LCCN 68015225
Otras lecturas
- M. Kilp, U. Knauer, AV Mikhalev, Monoids , Acts and Categories with Applications to Wreath Products and Graphs , De Gruyter Expositions in Mathematics vol. 29, Walter de Gruyter, 2000, ISBN 3-11-015248-7 , pág. 14–15