Cilindro - Cylinder

Ejemplo: una lata tiene forma cilíndrica.

Un cilindro (del griego : κύλινδρος , romanizadokulindros , literalmente 'rodillo', 'vaso') ha sido tradicionalmente un sólido tridimensional , una de las formas geométricas curvilíneas más básicas . Es la versión idealizada de una lata física sólida con tapas en la parte superior e inferior. Geométricamente , se puede considerar como un prisma con un círculo como base.

Esta vista tradicional todavía se usa en tratamientos elementales de geometría, pero el punto de vista matemático avanzado se ha desplazado a la superficie curvilínea infinita y así es como un cilindro se define ahora en varias ramas modernas de geometría y topología .

El cambio en el significado básico (sólido versus superficie) ha creado cierta ambigüedad con la terminología. En general, se espera que el contexto aclare el significado. Ambos puntos de vista se presentan y distinguen típicamente al referirse a cilindros sólidos y superficies cilíndricas , pero en la literatura el término cilindro sin adornos podría referirse a cualquiera de estos oa un objeto aún más especializado, el cilindro circular recto .

Tipos

Las definiciones y los resultados de esta sección se han tomado del texto de 1913 Plane and Solid Geometry de George Wentworth y David Eugene Smith ( Wentworth & Smith 1913 ).

Una superficie cilíndrica es una superficie que consta de todos los puntos de todas las líneas que son paralelas a una línea dada y que pasan por una curva plana fija en un plano no paralelo a la línea dada. Cualquier línea de esta familia de líneas paralelas se denomina elemento de la superficie cilíndrica. Desde un punto de vista cinemático , dada una curva plana, llamada directriz , una superficie cilíndrica es esa superficie trazada por una línea, llamada generatriz , no en el plano de la directriz, que se mueve paralela a sí misma y siempre pasa por la directriz. . Cualquier posición particular de la generatriz es un elemento de la superficie cilíndrica.

Un cilindro circular recto y oblicuo

Un sólido delimitado por una superficie cilíndrica y dos planos paralelos se llama cilindro (sólido) . Los segmentos de línea determinados por un elemento de la superficie cilíndrica entre los dos planos paralelos se denominan elemento del cilindro . Todos los elementos de un cilindro tienen la misma longitud. La región delimitada por la superficie cilíndrica en cualquiera de los planos paralelos se llama base del cilindro. Las dos bases de un cilindro son figuras congruentes . Si los elementos del cilindro son perpendiculares a los planos que contienen las bases, el cilindro es un cilindro recto , de lo contrario se llama cilindro oblicuo . Si las bases son discos (regiones cuyo límite es un círculo ), el cilindro se llama cilindro circular . En algunos tratamientos elementales, un cilindro siempre significa un cilindro circular.

La altura (o altitud) de un cilindro es la distancia perpendicular entre sus bases.

El cilindro que se obtiene al girar un segmento de línea alrededor de una línea fija a la que es paralelo es un cilindro de revolución . Un cilindro de revolución es un cilindro circular recto. La altura de un cilindro de revolución es la longitud del segmento de la línea generadora. La línea sobre la que gira el segmento se llama eje del cilindro y pasa por los centros de las dos bases.

Un cilindro circular recto con radio r y altura h

Cilindros circulares derechos

El término simple cilindro a menudo se refiere a un cilindro sólido con extremos circulares perpendiculares al eje, es decir, un cilindro circular recto, como se muestra en la figura. La superficie cilíndrica sin los extremos se llama cilindro abierto . Las fórmulas para el área de la superficie y el volumen de un cilindro circular recto se conocen desde la antigüedad.

También se puede pensar en un cilindro circular recto como el sólido de revolución generado al girar un rectángulo alrededor de uno de sus lados. Estos cilindros se utilizan en una técnica de integración (el "método de disco") para obtener volúmenes de sólidos de revolución.

Propiedades

Secciones cilíndricas

Sección cilíndrica

Una sección cilíndrica es la intersección de la superficie de un cilindro con un plano . Son, en general, curvas y son tipos especiales de secciones planas . La sección cilíndrica por un plano que contiene dos elementos de un cilindro es un paralelogramo . Tal sección cilíndrica de un cilindro recto es un rectángulo .

Una sección cilíndrica en la que el plano de intersección se cruza y es perpendicular a todos los elementos del cilindro se llama sección derecha . Si una sección derecha de un cilindro es un círculo, entonces el cilindro es un cilindro circular. En más general, si una sección derecha de un cilindro es una sección cónica (parábola, elipse, hipérbola), se dice que el cilindro sólido es parabólico, elíptico e hiperbólico, respectivamente.

Secciones cilíndricas de un cilindro circular recto

Para un cilindro circular recto, hay varias formas en que los planos pueden encontrarse con un cilindro. Primero, planos que cruzan una base en un punto como máximo. Un plano es tangente al cilindro si se encuentra con el cilindro en un solo elemento. Las secciones de la derecha son círculos y todos los demás planos intersecan la superficie cilíndrica en una elipse . Si un plano interseca la base del cilindro en exactamente dos puntos, entonces el segmento de línea que une estos puntos es parte de la sección cilíndrica. Si dicho plano contiene dos elementos, tiene un rectángulo como sección cilíndrica; de lo contrario, los lados de la sección cilíndrica son partes de una elipse. Finalmente, si un plano contiene más de dos puntos de una base, contiene toda la base y la sección cilíndrica es un círculo.

En el caso de un cilindro circular recto con una sección cilíndrica que es una elipse, la excentricidad e de la sección cilíndrica y el semieje mayor a de la sección cilíndrica dependen del radio del cilindro ry del ángulo α entre el plano secante y eje del cilindro, de la siguiente manera:

Volumen

Si la base de un cilindro circular tiene un radio r y el cilindro tiene una altura h , entonces su volumen viene dado por

V = π r 2 h .

Esta fórmula es válida tanto si el cilindro es recto como si no.

Esta fórmula puede establecerse utilizando el principio de Cavalieri .

Un cilindro elíptico sólido con la semi-ejes de una y b para la elipse base y la altura h

En más general, por el mismo principio, el volumen de cualquier cilindro es el producto del área de una base y la altura. Por ejemplo, un cilindro elíptico con una base que tiene semi-eje mayor a , semi-eje menor b y altura h tiene un volumen V = Ah , donde A es el área de la elipse de la base (= π ab ). Este resultado para cilindros elípticos rectos también se puede obtener por integración, donde el eje del cilindro se toma como el eje x positivo y A ( x ) = A el área de cada sección transversal elíptica, así:

Usando coordenadas cilíndricas , el volumen de un cilindro circular recto se puede calcular mediante la integración sobre

Área de superficie

Con radio r y altitud (altura) h , el área de la superficie de un cilindro circular recto, orientado de manera que su eje sea vertical, consta de tres partes:

  • el área de la base superior: π r 2
  • el área de la base inferior: π r 2
  • el área del lado: rh

El área de la parte superior y bases de fondo es la misma, y se llama el área de la base , B . El área de la cara se conoce como el área lateral , L .

Un cilindro abierto no incluye elementos superiores ni inferiores y, por lo tanto, tiene área de superficie (área lateral)

L = 2π a la derecha .

El área de la superficie del cilindro circular recto sólido se compone de la suma de los tres componentes: superior, inferior y lateral. Su superficie es, por tanto,

A = L + 2 B = 2π rh + 2π r 2 = 2π r ( h + r ) = π d ( r + h ) ,

donde d = 2 r es el diámetro de la parte superior o inferior circular.

Para un volumen dado, el cilindro circular recto con el área de superficie más pequeña tiene h = 2 r . De manera equivalente, para un área de superficie dada, el cilindro circular recto con el mayor volumen tiene h = 2 r , es decir, el cilindro encaja perfectamente en un cubo de longitud lateral = altitud (= diámetro del círculo base).

El área lateral, L , de un cilindro circular, que no necesita ser un cilindro recto, viene dada más generalmente por:

L = e × p ,

donde e es la longitud de un elemento yp es el perímetro de una sección derecha del cilindro. Esto produce la fórmula anterior para el área lateral cuando el cilindro es un cilindro circular recto.

Cilindro hueco

Cilindro hueco circular derecho (carcasa cilíndrica)

Un cilindro hueco circular recto (o cáscara cilíndrica ) es una región tridimensional limitada por dos cilindros circulares rectos que tienen el mismo eje y dos bases anulares paralelas perpendiculares al eje común de los cilindros, como en el diagrama.

Deje que la altura sea h , radio interior r , y el radio externo R . El volumen viene dado por

.

Por lo tanto, el volumen de una carcasa cilíndrica es igual a 2 π (radio promedio) (altitud) (espesor).

El área de la superficie, incluyendo la parte superior e inferior, está dada por

.

Las carcasas cilíndricas se utilizan en una técnica de integración común para encontrar volúmenes de sólidos de revolución.

En la esfera y el cilindro

Una esfera tiene 2/3 del volumen y el área de la superficie de su cilindro que la circunscribe, incluidas sus bases.

En el tratado con este nombre, escrito c. 225 a. C., Arquímedes obtuvo el resultado del que estaba más orgulloso, a saber, obtener las fórmulas para el volumen y el área de la superficie de una esfera explotando la relación entre una esfera y su cilindro circular recto circunscrito de la misma altura y diámetro . La esfera tiene un volumen de dos tercios del del cilindro circunscrito y una superficie de dos tercios del del cilindro (incluidas las bases). Como ya se conocían los valores del cilindro, obtuvo, por primera vez, los valores correspondientes a la esfera. El volumen de una esfera de radio r es 4/3π r 3 =2/3(2 π r 3 ) . El área de la superficie de esta esfera es 4 π r 2 =2/3(6 π r 2 ) . Una esfera y un cilindro esculpidos se colocaron en la tumba de Arquímedes a petición suya.

Superficies cilíndricas

En algunas áreas de geometría y topología, el término cilindro se refiere a lo que se ha llamado una superficie cilíndrica . Un cilindro se define como una superficie que consta de todos los puntos de todas las líneas que son paralelas a una línea dada y que pasan a través de una curva plana fija en un plano no paralelo a la línea dada. A veces, estos cilindros se han denominado cilindros generalizados . A través de cada punto de un cilindro generalizado pasa una línea única que está contenida en el cilindro. Por lo tanto, esta definición puede reformularse para decir que un cilindro es cualquier superficie reglada abarcada por una familia de líneas paralelas de un parámetro.

Un cilindro que tiene una sección derecha que es una elipse , parábola o hipérbola se llama cilindro elíptico , cilindro parabólico y cilindro hiperbólico , respectivamente. Estas son superficies cuádricas degeneradas .

Cilindro parabólico

Cuando los ejes principales de una cuádruple están alineados con el marco de referencia (siempre es posible para una cuádrica), una ecuación general de la cuádrica en tres dimensiones viene dada por

siendo los coeficientes números reales y no todos los de A , B y C siendo 0. Si al menos una variable no aparece en la ecuación, entonces el cuadrático está degenerado. Si falta una variable, podemos suponer mediante una rotación apropiada de ejes que la variable z no aparece y la ecuación general de este tipo de cuadrático degenerado se puede escribir como

donde

Cilindro elíptico

Si AB > 0, esta es la ecuación de un cilindro elíptico . Se puede obtener una mayor simplificación mediante la traducción de ejes y la multiplicación escalar. Si tiene el mismo signo que los coeficientes A y B , entonces la ecuación de un cilindro elíptico se puede reescribir en coordenadas cartesianas como:

Esta ecuación de un cilindro elíptico es una generalización de la ecuación del cilindro circular ordinario ( a = b ). Los cilindros elípticos también se conocen como cilindroides , pero ese nombre es ambiguo, ya que también puede referirse al conoide de Plücker .

Si tiene un signo diferente a los coeficientes, obtenemos los cilindros elípticos imaginarios :

que no tienen puntos reales sobre ellos. ( da un solo punto real).

Cilindro hiperbólico

Si A y B tienen signos y diferentes , obtenemos los cilindros hiperbólicos , cuyas ecuaciones se pueden reescribir como:

Cilindro parabólico

Finalmente, si AB = 0 suponga, sin pérdida de generalidad , que B = 0 y A = 1 para obtener los cilindros parabólicos con ecuaciones que se pueden escribir como:

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo vértice está en el infinito, lo que corresponde visualmente a un cilindro en perspectiva que parece ser un cono hacia el cielo.

Geometría proyectiva

En geometría proyectiva , un cilindro es simplemente un cono cuyo ápice (vértice) se encuentra en el plano en el infinito . Si el cono es un cono cuadrático, el plano en el infinito (que pasa a través del vértice) puede cruzar el cono en dos líneas reales, una sola línea real (en realidad un par de líneas coincidentes), o solo en el vértice. Estos casos dan lugar a los cilindros hiperbólico, parabólico o elíptico respectivamente.

Este concepto es útil cuando se consideran las cónicas degeneradas , que pueden incluir las cónicas cilíndricas.

Prismas

El edificio del planetario Tycho Brahe , Copenhague, es un ejemplo de cilindro truncado

Un cilindro circular sólido puede verse como el caso límite de un prisma n -gonal donde n se acerca al infinito . La conexión es muy fuerte y muchos textos antiguos tratan a prismas y cilindros simultáneamente. Las fórmulas para el área de la superficie y el volumen se derivan de las fórmulas correspondientes para los prismas utilizando prismas inscritos y circunscritos y luego dejando que el número de lados del prisma aumente sin límite. Una razón para el énfasis inicial (y a veces tratamiento exclusivo) en los cilindros circulares es que una base circular es el único tipo de figura geométrica para el que esta técnica funciona con el uso de consideraciones elementales (sin apelar al cálculo o matemáticas más avanzadas). La terminología sobre prismas y cilindros es idéntica. Así, por ejemplo, dado que un prisma truncado es un prisma cuyas bases no se encuentran en planos paralelos, un cilindro sólido cuyas bases no se encuentran en planos paralelos se llamaría cilindro truncado .

Desde un punto de vista poliédrico, un cilindro también puede verse como un dual de un bicono como una bipirámide de lados infinitos .

Familia de prismas n -gonales uniformes
Nombre del prisma Prisma digital (Trigonal)
Prisma triangular
(Tetragonal)
Prisma cuadrado
Prisma pentagonal Prisma hexagonal Prisma heptagonal Prisma octogonal Prisma enneagonal Prisma decagonal Prisma hendecagonal Prisma dodecagonal ... Prisma apeirogonal
Imagen de poliedro Cuadrado amarillo.gif Prisma triangular.png Prisma tetragonal.png Prisma pentagonal.png Prisma hexagonal.png Prisma 7.png Prisma octogonal.png Prisma 9.png Prisma decagonal.png Prisma hedecagonal.png Prisma dodecagonal.png ...
Imagen de mosaico esférico Diedro tetragonal.png Prisma triangular esférico.png Prisma cuadrado esférico.png Prisma pentagonal esférico.png Prisma esférico hexagonal.png Prisma esférico heptagonal.png Prisma esférico octogonal.png Prisma esférico decagonal.png Imagen de mosaico plano Prisma infinito.svg
Configuración de vértice. 2.4.4 3.4.4 4.4.4 5.4.4 6.4.4 7.4.4 8.4.4 9.4.4 10.4.4 11.4.4 12.4.4 ... ∞.4.4
Diagrama de Coxeter Nodo CDel 1.pngCDel 2.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 3.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 4.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 5.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 6.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 7.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 8.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 9.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 10.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 11.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png Nodo CDel 1.pngCDel 12.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png ... Nodo CDel 1.pngCDel infin.pngCDel node.pngCDel 2.pngNodo CDel 1.png

Ver también

Notas

Referencias

enlaces externos