Grupo simpléctico - Symplectic group

En matemáticas , el nombre de grupo simpléctico puede referirse a dos colecciones diferentes, pero estrechamente relacionados, de matemáticas grupos , denotado $Sp (2 n, F)$ y $Sp (n)$ para entero positivo n y campo F (por lo general C o R ). Este último se denomina grupo simpléctico compacto y también se denota por . Muchos autores prefieren notaciones ligeramente diferentes, que suelen diferir en factores de $2$ . La notación utilizada aquí es consistente con el tamaño de las matrices más comunes que representan los grupos. En la clasificación de Cartan de las álgebras de Lie simples , el álgebra de Lie del grupo complejo $Sp (2$ $n$ $,$ $C$ $)$ se denota $C$ $n$ , y $Sp ($ $n$ $)$ es la forma real compacta de $Sp (2$ $n$ $,$ $C$ $)$ . Tenga en cuenta que cuando nos referimos a la del grupo simpléctico (compacto) se da a entender que estamos hablando de la colección de grupos simplécticos (autónomos), un índice por su dimensión $n$ . ${\ Displaystyle \ mathrm {USp} (n)}$

El nombre "grupo simpléctico" se debe a Hermann Weyl como reemplazo de los nombres confusos anteriores ( línea ) grupo complejo y grupo lineal abeliano , y es el análogo griego de "complejo".

El grupo metapléctico es una doble cobertura del grupo simpléctico sobre R ; tiene análogos sobre otros campos locales , campos finitos y anillos de Adele .

$Sp (2 n, F)$

El grupo simpléctico es un grupo clásico definido como el conjunto de las transformaciones lineales de un $2 n$ -dimensional espacio vectorial sobre el campo $F$ que preservan un no degenerado antisimétrica forma bilineal . Tal espacio vectorial se denomina espacio vectorial simpléctico , y el grupo simpléctico de un espacio vectorial simpléctico abstracto $V$ se denomina $Sp (V)$ . Al fijar una base para $V$ , el grupo simpléctico se convierte en el grupo de matrices simplécticas de $2 n \times 2 n$ , con entradas en $F$ , bajo la operación de multiplicación de matrices . Este grupo se denota $Sp (2$ $n$ $,$ $F$ $)$ o $Sp ($ $n$ $,$ $F$ $)$ . Si la forma bilineal está representada por la matriz de simetría oblicua no singular Ω, entonces

{\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, F) = \ {M \ in M_ {2n \ times 2n} (F): M ^ {\ mathrm {T}} \ Omega M = \ Omega \},}

donde M ^T es la transpuesta de M . A menudo, Ω se define como

{\ displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} 0 & I_ {n} \\ - I_ {n} & 0 \\\ end {pmatrix}},}

donde I _n es la matriz de identidad. En este caso, $Sp (2 n, F)$ se puede expresar como esas matrices de bloques , donde , satisfaciendo las tres ecuaciones: ${\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} A&B \\ C&D \ end {smallmatrix}})}$ ${\ Displaystyle A, B, C, D \ en M_ {n \ times n} (F)}$

{\ displaystyle {\ begin {alineado} -C ^ {\ mathrm {T}} A + A ^ {\ mathrm {T}} C & = 0, \\ - C ^ {\ mathrm {T}} B + A ^ {\ mathrm {T}} D & = I_ {n}, \\ - D ^ {\ mathrm {T}} B + B ^ {\ mathrm {T}} D & = 0. \ end {alineado}}}

Dado que todas las matrices simplécticas tienen determinante $1$ , el grupo simpléctico es un subgrupo del grupo lineal especial $SL (2 n, F)$ . Cuando $n = 1$ , la condición simpléctica en una matriz se satisface si y solo si el determinante es uno, de modo que $Sp (2, F) = SL (2, F)$ . Para $n > 1$ , hay condiciones adicionales, es decir, $Sp (2 n, F)$ es entonces un subgrupo adecuado de $SL (2 n, F)$ .

Típicamente, el campo $F$ es el campo de números reales $R$ o números complejos $C$ . En estos casos, $Sp (2 n, F)$ es un grupo de Lie real / complejo de dimensión real / compleja $n (2 n + 1)$ . Estos grupos están conectados pero no son compactos .

El centro de $Sp (2 n, F)$ consta de las matrices $I 2 n$ y $- I 2 n$ siempre que la característica del campo no sea $2$ . Dado que el centro de $Sp (2 n, F)$ es discreto y su cociente módulo el centro es un grupo simple , $Sp (2 n, F)$ se considera un grupo de Lie simple .

El rango real del álgebra de Lie correspondiente y, por tanto, del grupo de Lie $Sp (2 n, F)$ , es $n$ .

El álgebra de Lie de $Sp (2 n, F)$ es el conjunto

{\ Displaystyle {\ mathfrak {sp}} (2n, F) = \ {X \ in M_ {2n \ times 2n} (F): \ Omega X + X ^ {\ mathrm {T}} \ Omega = 0 \ },}

equipado con el conmutador como su soporte de Lie. Para la forma bilineal simétrica sesgada estándar , este álgebra de Lie es el conjunto de todas las matrices de bloques sujetas a las condiciones ${\ displaystyle \ Omega = ({\ begin {smallmatrix} 0 & I \\ - I & 0 \ end {smallmatrix}})}$ ${\ displaystyle ({\ begin {smallmatrix} A&B \\ C&D \ end {smallmatrix}})}$

{\ displaystyle {\ begin {alineado} A & = - D ^ {\ mathrm {T}}, \\ B & = B ^ {\ mathrm {T}}, \\ C & = C ^ {\ mathrm {T}}. \ end {alineado}}}

$Sp (2 n, C)$

El grupo simpléctico sobre el campo de los números complejos es un no compacto , simplemente conectado , grupo de Lie sencilla .

$Sp (2 n, R)$

$Sp (n, C)$ es la complexificación del grupo real $Sp (2 n, R)$ . $Sp (2 n, R)$ es un grupo de Lie real, no compacto , conectado y simple . Tiene un grupo fundamental isomorfo al grupo de enteros bajo suma. Como forma real de un grupo de Lie simple, su álgebra de Lie es un álgebra de Lie divisible .

Algunas propiedades adicionales de $Sp (2 n, R)$ :

El mapa exponencial del álgebra de Lie $sp (2 n, R)$ al grupo $Sp (2 n, R)$ no es sobreyectivo . Sin embargo, cualquier elemento del grupo se puede representar como el producto de dos exponenciales. En otras palabras,

{\ Displaystyle \ forall S \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R}) \, \, \ existe X, Y \ in {\ mathfrak {sp}} (2n, \ mathbf {R}) \ , \, S = e ^ {X} e ^ {Y}.}

Para todo $S$ en $Sp (2 n, R)$ :

{\ Displaystyle S = OZO '\ quad {\ text {tal que}} \ quad O, O' \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R}) \ cap \ operatorname {SO} (2n) \ cong U (n) \ quad {\ text {y}} \ quad Z = {\ begin {pmatrix} D & 0 \\ 0 & D ^ {- 1} \ end {pmatrix}}.}

La matriz

D

es positiva-definida y diagonal . El conjunto de tales

Z

s forma un subgrupo no compacto de

Sp (2 n, R)

mientras que

U (n)

forma un subgrupo compacto. Esta descomposición se conoce como descomposición de 'Euler' o 'Bloch-Mesías'. Se pueden encontrar más propiedades de la matriz simpléctica en esa página de Wikipedia.

Como grupo de Lie , $Sp (2 n, R)$ tiene una estructura múltiple. La variedad para $Sp (2 n, R)$ es difeomorfa al producto cartesiano del grupo unitario $U (n)$ con un espacio vectorial de dimensión $n (n +1)$ .

Generadores infinitesimales

Los miembros del álgebra simpléctica de Lie $sp (2 n, F)$ son las matrices hamiltonianas .

Estas son matrices, tales que ${\ displaystyle Q}$

${\ Displaystyle Q = {\ begin {pmatrix} A&B \\ C & -A ^ {\ mathrm {T}} \ end {pmatrix}}}$

donde $B$ y $C$ son matrices simétricas . Ver grupo clásico para una derivación.

Ejemplo de matrices simplécticas

Para $Sp (2, R)$ , el grupo de matrices $2 \times 2$ con determinante $1$ , las tres matrices simplécticas $(0, 1)$ son:

${\ displaystyle {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}, \ quad {\ begin {pmatrix} 1 & 0 \\ 1 & 1 \ end {pmatrix}} \ quad {\ text {and}} \ quad { \ begin {pmatrix} 1 & 1 \\ 0 & 1 \ end {pmatrix}}.}$

Sp (2n, R)

Resulta que puede tener una descripción bastante explícita utilizando generadores. Si denotamos las matrices simétricas , entonces se genera por donde ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Sym} (n)}$ ${\ Displaystyle n \ times n}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$ ${\ Displaystyle D (n) \ cup N (n) \ cup \ {\ Omega \},}$

${\ displaystyle {\ begin {alineado} D (n) & = \ left \ {\ left. {\ begin {bmatrix} A & 0 \\ 0 & (A ^ {T}) ^ {- 1} \ end {bmatrix}} \, \ right | \, A \ in \ operatorname {GL} (n, \ mathbf {R}) \ right \} \\ [6pt] N (n) & = \ left \ {\ left. {\ begin { bmatrix} I_ {n} & B \\ 0 & I_ {n} \ end {bmatrix}} \, \ right | \, B \ in \ operatorname {Sym} (n) \ right \} \ end {alineado}}}$

son subgrupos de la ^{pág. 173}^pág . ² . ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}$

Relación con la geometría simpléctica

La geometría simpléctica es el estudio de variedades simplécticas . El espacio tangente en cualquier punto de una variedad simpléctica es un espacio vectorial simpléctico . Como se señaló anteriormente, las transformaciones que conservan la estructura de un espacio vectorial simpléctico forman un grupo y este grupo es $Sp (2 n, F)$ , dependiendo de la dimensión del espacio y el campo sobre el que se define.

Un espacio vectorial simpléctico es en sí mismo una variedad simpléctica. Una transformación bajo una acción del grupo simpléctico es así, en cierto sentido, una versión linealizada de un simpléctomorfismo que es una estructura más general que conserva la transformación en una variedad simpléctica.

$Sp (n)$

El grupo simpléctico compacto $Sp (n)$ es la intersección de $Sp (2 n, C)$ con el grupo unitario: ${\ Displaystyle 2n \ times 2n}$

{\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (n): = \ operatorname {Sp} (2n; \ mathbf {C}) \ cap \ operatorname {U} (2n) = \ operatorname {Sp} (2n; \ mathbf {C }) \ cap \ operatorname {SU} (2n).}

A veces se escribe $USp (2 n)$ . Alternativamente, $Sp (n)$ se puede describir como el subgrupo de $GL (n, H)$ ( matrices cuaterniónicas invertibles ) que conserva la forma hermitiana estándar en $H n$ :

{\ Displaystyle \ langle x, y \ rangle = {\ bar {x}} _ {1} y_ {1} + \ cdots + {\ bar {x}} _ {n} y_ {n}.}

Es decir, $Sp (n)$ es solo el grupo unitario cuaterniónico , $U (n, H)$ . De hecho, a veces se le llama grupo hiperunitario . También Sp (1) es el grupo de cuaterniones de norma $1$ , equivalente a $SU (2)$ y topológicamente una $3$ -esfera $S 3$ .

Tenga en cuenta que $Sp (n)$ no es un grupo simpléctico en el sentido de la sección anterior; no conserva una forma $H$ -bilineal asimétrica asimétrica no degenerada en $H n$ : no existe tal forma excepto la forma cero. Más bien, es isomorfo a un subgrupo de $Sp (2 n, C)$ , por lo que conserva una forma simpléctica compleja en un espacio vectorial de dos veces la dimensión. Como se explica a continuación, el álgebra de Lie de $Sp (n)$ es la forma real compacta del álgebra de Lie simpléctica compleja $sp (2 n, C)$ .

$Sp (n)$ es un grupo de Lie real con dimensión (real) $n (2 n + 1)$ . Es compacto y está conectado de forma sencilla .

El álgebra de Lie de $Sp (n)$ está dada por las matrices cuaterniónicas sesgadas-hermitianas , el conjunto de $n- por- n$ matrices cuaterniónicas que satisfacen

{\ Displaystyle A + A ^ {\ dagger} = 0}

donde $A †$ es la transpuesta conjugada de $A$ (aquí se toma el conjugado cuaterniónico). El corchete de Lie viene dado por el conmutador.

Subgrupos importantes

Algunos subgrupos principales son:

{\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (n) \ supset \ operatorname {Sp} (n-1)}

{\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (n) \ supset \ operatorname {U} (n)}

{\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (2) \ supset \ operatorname {O} (4)}

Por el contrario, es en sí mismo un subgrupo de algunos otros grupos:

{\ Displaystyle \ operatorname {SU} (2n) \ supset \ operatorname {Sp} (n)}

{\ Displaystyle \ operatorname {F} _ {4} \ supset \ operatorname {Sp} (4)}

{\ Displaystyle \ operatorname {G} _ {2} \ supset \ operatorname {Sp} (1)}

También están los isomorfismos de las álgebras de Lie $sp (2) = so (5)$ y $sp (1) = so (3) = su (2)$ .

Relación entre los grupos simplécticos

Todo álgebra de Lie compleja y semisimple tiene una forma real dividida y una forma real compacta ; el primero se llama una complexificación de los dos últimos.

El álgebra de Lie de $Sp (2 n, C)$ es semisimple y se denota $sp (2 n, C)$ . Su forma real dividida es $sp (2 n, R)$ y su forma real compacta es $sp (n)$ . Estos corresponden a los grupos de Lie $Sp (2 n, R)$ y $Sp (n)$ respectivamente.

Las álgebras, $sp (p, n - p)$ , que son las álgebras de Lie de $Sp (p, n - p)$ , son la firma indefinida equivalente a la forma compacta.

Importancia física

Mecanica clasica

El grupo simpléctico compacto $Sp (n)$ aparece en la física clásica como las simetrías de las coordenadas canónicas que preservan el corchete de Poisson.

Considere un sistema de $n$ partículas, que evoluciona según las ecuaciones de Hamilton, cuya posición en el espacio de fase en un momento dado está denotada por el vector de coordenadas canónicas ,

{\ Displaystyle \ mathbf {z} = (q ^ {1}, \ ldots, q ^ {n}, p_ {1}, \ ldots, p_ {n}) ^ {\ mathrm {T}}.}

Los elementos del grupo $Sp (2 n, R)$ son, en cierto sentido, transformaciones canónicas sobre este vector, es decir, conservan la forma de las ecuaciones de Hamilton . Si

{\ Displaystyle \ mathbf {Z} = \ mathbf {Z} (\ mathbf {z}, t) = (Q ^ {1}, \ ldots, Q ^ {n}, P_ {1}, \ ldots, P_ { n}) ^ {\ mathrm {T}}}

son nuevas coordenadas canónicas, entonces, con un punto que denota derivada del tiempo,

{\ Displaystyle {\ dot {\ mathbf {Z}}} = M ({\ mathbf {z}}, t) {\ dot {\ mathbf {z}}},}

dónde

{\ Displaystyle M (\ mathbf {z}, t) \ in \ operatorname {Sp} (2n, \ mathbf {R})}

para todo $t$ y todo $z$ en el espacio de fase.

Para el caso especial de una variedad de Riemann , las ecuaciones de Hamilton describen las geodésicas en esa variedad. Las coordenadas viven en el haz tangente a la variedad y los momentos viven en el haz cotangente . Ésta es la razón por la que estos se escriben convencionalmente con índices superior e inferior; es distinguir sus ubicaciones. El hamiltoniano correspondiente consiste puramente en la energía cinética: es donde es la inversa del tensor métrico en la variedad de Riemann. De hecho, el paquete cotangente de cualquier variedad suave puede ser una estructura simpléctica dada (no trivial) de una manera canónica, con la forma simpléctica definida como la derivada exterior de la forma tautológica única . ${\ Displaystyle q ^ {i}}$ ${\ Displaystyle p_ {i}}$ ${\ Displaystyle H = {\ tfrac {1} {2}} g ^ {ij} (q) p_ {i} p_ {j}}$ ${\ Displaystyle g ^ {ij}}$ ${\ Displaystyle g_ {ij}}$

Mecánica cuántica

Considere un sistema de $n$ partículas cuyo estado cuántico codifica su posición y momento. Estas coordenadas son variables continuas y, por tanto, el espacio de Hilbert , en el que vive el estado, es de dimensión infinita. Esto a menudo dificulta el análisis de esta situación. Un enfoque alternativo es considerar la evolución de los operadores de posición y momento bajo la ecuación de Heisenberg en el espacio de fase .

Construya un vector de coordenadas canónicas ,

{\ Displaystyle \ mathbf {\ hat {z}} = ({\ hat {q}} ^ {1}, \ ldots, {\ hat {q}} ^ {n}, {\ hat {p}} _ { 1}, \ ldots, {\ hat {p}} _ {n}) ^ {\ mathrm {T}}.}

La relación de conmutación canónica se puede expresar simplemente como

{\ Displaystyle [\ mathbf {\ hat {z}}, \ mathbf {\ hat {z}} ^ {\ mathrm {T}}] = i \ hbar \ Omega}

dónde

{\ Displaystyle \ Omega = {\ begin {pmatrix} \ mathbf {0} & I_ {n} \\ - I_ {n} & \ mathbf {0} \ end {pmatrix}}}

e $I n$ es la matriz identidad $n \times n$ .

Muchas situaciones físicas solo requieren hamiltonianos cuadráticos , es decir, hamiltonianos de la forma

{\ Displaystyle {\ hat {H}} = {\ frac {1} {2}} \ mathbf {\ hat {z}} ^ {\ mathrm {T}} K \ mathbf {\ hat {z}}}

donde $K$ es una matriz simétrica real de $2 n \times 2 n$ . Esto resulta ser una restricción útil y nos permite reescribir la ecuación de Heisenberg como

{\ Displaystyle {\ frac {d \ mathbf {\ hat {z}}} {dt}} = \ Omega K \ mathbf {\ hat {z}}}

La solución a esta ecuación debe preservar la relación de conmutación canónica . Se puede demostrar que la evolución temporal de este sistema es equivalente a una acción del grupo simpléctico real, $Sp (2 n, R)$ , sobre el espacio de fase.

Ver también

Notas

Referencias

Arnold, VI (1989), Métodos matemáticos de la mecánica clásica , Textos de posgrado en matemáticas , 60 (segunda ed.), Springer-Verlag , ISBN 0-387-96890-3
Hall, Brian C. (2015), grupos de Lie, álgebras de Lie y representaciones: una introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Fulton, W .; Harris, J. (1991), Teoría de la representación, Un primer curso , Textos de posgrado en matemáticas , 129 , Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-97495-8.
Goldstein, H. (1980) [1950]. "Capítulo 7". Mecánica clásica (2ª ed.). Lectura MA: Addison-Wesley . ISBN 0-201-02918-9.
Lee, JM (2003), Introducción a las variedades suaves , Textos de posgrado en matemáticas , 218 , Springer-Verlag , ISBN 0-387-95448-1
Rossmann, Wulf (2002), Lie Groups - An Introduction Through Linear Groups , Oxford Graduate Texts in Mathematics, Oxford Science Publications, ISBN 0-19-859683-9
Ferraro, Alessandro; Olivares, Stefano; París, Matteo GA (marzo de 2005), "Estados gaussianos en información cuántica variable continua", arXiv : quant-ph / 0503237.

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