Transposición conjugada - Conjugate transpose

En matemáticas , la transpuesta conjugada (o transpuesta hermitiana ) de una matriz m- por- n con entradas complejas es la matriz n- por- m obtenida tomando la transpuesta y luego tomando el conjugado complejo de cada entrada (el conjugado complejo de siendo , para números reales y ). A menudo se denota como o . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ Displaystyle a + ib}$${\ Displaystyle a-ib}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle b}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {*}}$

Para matrices reales, la transpuesta conjugada es la transpuesta, . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}}}$

Definición

La transpuesta conjugada de una matriz se define formalmente por ${\ Displaystyle m \ times n}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

${\ Displaystyle \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) _ {ij} = {\ overline {{\ boldsymbol {A}} _ {ji}}}}$

( Ecuación 1 )

donde el subíndice denota la entrada -ésima, para y , y la barra superior denota un conjugado complejo escalar. ${\ Displaystyle ij}$${\ Displaystyle (i, j)}$${\ Displaystyle 1 \ leq i \ leq n}$${\ Displaystyle 1 \ leq j \ leq m}$

Esta definición también se puede escribir como

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = \ left ({\ overline {\ boldsymbol {A}}} \ right) ^ {\ mathsf {T}} = {\ overline {{ \ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}}}}}$

donde denota la transposición y denota la matriz con entradas conjugadas complejas. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}}}$${\ Displaystyle {\ overline {\ boldsymbol {A}}}}$

Otros nombres para la transpuesta conjugada de una matriz son conjugado hermitiano , matriz dagged , matriz adjunta o transjugada . La transposición conjugada de una matriz se puede denotar mediante cualquiera de estos símbolos: ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {*}}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$, comúnmente utilizado en álgebra lineal
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ dagger}}$(a veces pronunciado como una daga ), comúnmente utilizado en mecánica cuántica
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {+}}$, aunque este símbolo se usa más comúnmente para el pseudoinverso de Moore-Penrose

En algunos contextos, denota la matriz con solo entradas conjugadas complejas y sin transposición. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {*}}$

Ejemplo

Suponga que queremos calcular la transpuesta conjugada de la siguiente matriz . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = {\ begin {bmatrix} 1 & -2-i & 5 \\ 1 + i & i & 4-2i \ end {bmatrix}}}$

Primero transponemos la matriz:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathsf {T}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1 + i \\ - 2-i & i \\ 5 & 4-2i \ end {bmatrix}}}$

Luego conjugamos cada entrada de la matriz:

${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ begin {bmatrix} 1 & 1-i \\ - 2 + i & -i \\ 5 & 4 + 2i \ end {bmatrix}}}$

Observaciones básicas

Una matriz cuadrada con entradas se llama ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ Displaystyle a_ {ij}}$

• Hermitiana o autoadjunta si ; es decir, .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ Displaystyle a_ {ij} = {\ overline {a_ {ji}}}}$
• Inclinarse Hermitian o antihermitian si ; es decir, .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} = - {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ Displaystyle a_ {ij} = - {\ overline {a_ {ji}}}}$
• Normal si .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$
• Unitario si , de manera equivalente , de manera equivalente .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {- 1}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {I}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}} = {\ boldsymbol {I}}}$

Incluso si no es cuadrada, las dos matrices y son a la vez hermitiana y de hecho las matrices semi-definidas positivas . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$

La matriz transpuesta conjugada "adjunto" no se debe confundir con el adjugate , , que también se llama a veces adjunto . ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {adj} ({\ boldsymbol {A}})}$

La transpuesta conjugada de una matriz con entradas reales se reduce a la transpuesta de , ya que la conjugada de un número real es el número mismo. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

Motivación

La transposición conjugada se puede motivar observando que los números complejos se pueden representar de manera útil mediante matrices reales de 2 × 2, obedeciendo a la suma y multiplicación de matrices:

${\ Displaystyle a + ib \ equiv {\ begin {bmatrix} a & -b \\ b & a \ end {bmatrix}}.}$

Es decir, denota cada número complejo z por la matriz real de 2 × 2 de la transformación lineal en el diagrama de Argand (visto como el espacio vectorial real ), afectado por la multiplicación z compleja en . ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$

Por lo tanto, un m -by- n matriz de números complejos podría ser bien representada por un 2 m -por-2 n matriz de números reales. Por lo tanto, la transposición conjugada surge de forma muy natural como resultado de la simple transposición de dicha matriz, cuando se la ve de nuevo como una matriz n- por- m compuesta de números complejos.

Propiedades de la transposición conjugada

• ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {A}} + {\ boldsymbol {B}}) ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} + {\ boldsymbol {B }} ^ {\ mathrm {H}}}$para dos matrices cualesquiera y de las mismas dimensiones.${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}}$
• ${\ displaystyle (z {\ boldsymbol {A}}) ^ {\ mathrm {H}} = {\ overline {z}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$para cualquier número complejo y cualquier matriz m- por- n .${\ Displaystyle z}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• ${\ displaystyle ({\ boldsymbol {A}} {\ boldsymbol {B}}) ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {B}} ^ {\ mathrm {H}} {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$para cualquier m -by- n matriz y cualquier n -by- p matriz . Tenga en cuenta que el orden de los factores se invierte.${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {B}}}$
• ${\ Displaystyle \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) ^ {\ mathrm {H}} = {\ boldsymbol {A}}}$para cualquier matriz m- por- n , es decir, la transposición hermitiana es una involución .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• Si es una matriz cuadrada, donde denota el determinante de .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ Displaystyle \ det \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) = {\ overline {\ det \ left ({\ boldsymbol {A}} \ right)}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {det} (A)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• Si es una matriz cuadrada, donde denota el rastro de .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {tr} \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) = {\ overline {\ operatorname {tr} ({\ boldsymbol {A}})}} }$${\ Displaystyle \ operatorname {tr} (A)}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$es invertible si y solo si es invertible, y en ese caso .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ Displaystyle \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} \ right) ^ {- 1} = \ left ({\ boldsymbol {A}} ^ {- 1} \ right) ^ { \ mathrm {H}}}$
• Los autovalores de son los complejos conjugados de los autovalores de .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$
• ${\ Displaystyle \ left \ langle {\ boldsymbol {A}} x, y \ right \ rangle _ {m} = \ left \ langle x, {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}} y \ right \ rangle _ {n}}$para cualquier matriz m- por- n , cualquier vector en y cualquier vector . Aquí, denota el producto interno complejo estándar en y de manera similar para .${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$${\ Displaystyle x \ in \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle y \ in \ mathbb {C} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {m}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {m}}$${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle _ {n}}$

Generalizaciones

La última propiedad dada arriba muestra que si uno ve como una transformación lineal del espacio de Hilbert al entonces la matriz corresponde al operador adjunto de . Por tanto, el concepto de operadores adjuntos entre espacios de Hilbert puede verse como una generalización de la transposición conjugada de matrices con respecto a una base ortonormal. ${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {m},}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}} ^ {\ mathrm {H}}}$${\ displaystyle {\ boldsymbol {A}}}$

Hay otra generalización disponible: supongamos que es un mapa lineal de un espacio vectorial complejo a otro, luego se definen el mapa lineal conjugado complejo , así como el mapa lineal transpuesto , por lo que podemos tomar la transpuesta conjugada de como el conjugado complejo de la transposición de . Mapea el dual conjugado de al dual conjugado de . ${\ Displaystyle A}$ ${\ Displaystyle V}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle W}$${\ Displaystyle V}$

Ver también

• Producto escalar complejo
• Adjunto hermitiano
• Matriz de adyuvante

Referencias

enlaces externos

• "Matriz adjunta" , Encyclopedia of Mathematics , EMS Press , 2001 [1994]