Involución (matemáticas) - Involution (mathematics)

Una involución es una función que, cuando se aplica dos veces, lo devuelve al punto de partida.${\ Displaystyle f: X \ a X}$

En matemáticas , una involución , función involutivo , o función de auto-inversa es una función f que es su propia inversa ,

f ( f ( x )) = x

para todo x en el dominio de f . De manera equivalente, aplicar f dos veces produce el valor original.

El término anti-involución se refiere a involuciones basadas en antihomomorfismos (ver § Álgebra de cuaterniones, grupos, semigrupos más abajo)

f ( xy ) = f ( y ) f ( x )

tal que

xy = f ( f ( xy )) = f ( f ( y ) f ( x )) = f ( f ( x )) f ( f ( y )) = xy .

Propiedades generales

Cualquier involución es una biyección .

El mapa de identidad es un ejemplo trivial de involución. Los ejemplos comunes en matemáticas de involuciones no triviales incluyen la multiplicación por -1 en aritmética , la toma de recíprocos , la complementación en la teoría de conjuntos y la conjugación compleja . Otros ejemplos incluyen inversión de círculo , rotación de media vuelta y cifrados recíprocos como la transformación ROT13 y el cifrado polialfabético de Beaufort .

El número de involuciones, incluida la involución de identidad, en un conjunto con n = 0, 1, 2, ... elementos viene dado por una relación de recurrencia encontrada por Heinrich August Rothe en 1800:

${\ Displaystyle a_ {0} = a_ {1} = 1}$y para${\ Displaystyle a_ {n} = a_ {n-1} + (n-1) a_ {n-2}}$${\ Displaystyle n> 1.}$

Los primeros términos de esta secuencia son 1 , 1, 2 , 4 , 10 , 26 , 76 , 232 (secuencia A000085 en la OEIS ); estos números se denominan números de teléfono y también cuentan el número de cuadros de Young con un número determinado de celdas. La composición g ∘ f de dos involuciones f y g es una involución si y solo si conmutan: g ∘ f = f ∘ g .

Cada involución en un número impar de elementos tiene al menos un punto fijo . De manera más general, para una involución sobre un conjunto finito de elementos, el número de elementos y el número de puntos fijos tienen la misma paridad .

Involución en los campos de las matemáticas.

Precálculo

Ejemplos básicos de involuciones son las funciones:

${\ Displaystyle f_ {1} (x) = - x}$, o   , además de su composición${\ Displaystyle f_ {2} (x) = {\ frac {1} {x}}}$${\ Displaystyle (f_ {1} \ circ f_ {2}) (x) = (f_ {2} \ circ f_ {1}) (x) = f_ {3} (x) = - {\ frac {1} {X}}.}$

Estas no son las únicas involuciones previas al cálculo. Otro dentro de los reales positivos es:

${\ Displaystyle f (x) = \ ln \ left ({\ frac {e ^ {x} +1} {e ^ {x} -1}} \ right).}$

La gráfica de una involución (en los números reales) es simétrica sobre la línea . Esto se debe al hecho de que la inversa de cualquier función general será su reflejo sobre la línea de 45 ° . Esto se puede ver "intercambiando" con . Si, en particular, la función es una involución , entonces servirá como su propio reflejo. ${\ Displaystyle y = x}$${\ Displaystyle y = x}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$

Otras involuciones elementales son útiles para resolver ecuaciones funcionales .

Geometría euclidiana

Un ejemplo simple de una involución del espacio euclidiano tridimensional es la reflexión a través de un plano . Realizar una reflexión dos veces devuelve un punto a sus coordenadas originales.

Otra involución es la reflexión a través del origen ; no un reflejo en el sentido anterior, y por tanto, un ejemplo distinto.

Estas transformaciones son ejemplos de involuciones afines .

Geometría proyectiva

Una involución es una proyectividad de período 2, es decir, una proyectividad que intercambia pares de puntos.

• Cualquier proyectividad que intercambie dos puntos es una involución.
• Los tres pares de lados opuestos de un cuadrilátero completo se encuentran con cualquier línea (no a través de un vértice) en tres pares de involución. Este teorema se ha denominado Teorema de involución de Desargues . Sus orígenes se pueden ver en el Lema IV de los lemas de los Porismos de Euclides en el Volumen VII de la Colección de Pappus de Alejandría .
• Si una involución tiene un punto fijo , tiene otro, y consiste en la correspondencia entre conjugados armónicos con respecto a estos dos puntos. En este caso, la involución se denomina "hiperbólica", mientras que si no hay puntos fijos es "elíptica". En el contexto de proyectividades, los puntos fijos se denominan puntos dobles .

Otro tipo de involución que ocurre en la geometría proyectiva es una polaridad que es una correlación del período 2.

Álgebra lineal

En álgebra lineal, una involución es un operador lineal T en un espacio vectorial, tal que . Excepto en la característica 2, dichos operadores son diagonalizables para una base dada con solo 1s y −1s en la diagonal de la matriz correspondiente. Si el operador es ortogonal (una involución ortogonal ), es ortonormalmente diagonalizable. ${\ Displaystyle T ^ {2} = I}$

Por ejemplo, suponga que se elige una base para un espacio vectorial V y que e ₁ y e ₂ son elementos básicos. Existe una transformación lineal f que envía e ₁ a e ₂ , y envía e ₂ a e ₁ , y que es la identidad en todos los demás vectores base. Se puede comprobar que f ( f ( x )) = x para todo x en V . Es decir, f es una involución de V .

Para una base específica, cualquier operador lineal puede ser representado por una matriz T . Cada matriz tiene una transposición , que se obtiene intercambiando filas por columnas. Esta transposición es una involución en el conjunto de matrices.

La definición de involución se extiende fácilmente a los módulos . Dado un módulo M sobre un anillo R , un R endomorphism f de M se llama una involución si f  ² es el homomorfismo de identidad en M .

Las involuciones están relacionadas con los idempotentes ; si 2 es invertible, se corresponden uno a uno.

Álgebra de cuaterniones, grupos, semigrupos

En un álgebra de cuaterniones , una (anti) involución se define por los siguientes axiomas: si consideramos una transformación, entonces es una involución si ${\ Displaystyle x \ mapsto f (x)}$

• ${\ Displaystyle f (f (x)) = x}$ (es su propio inverso)
• ${\ Displaystyle f (x_ {1} + x_ {2}) = f (x_ {1}) + f (x_ {2})}$y (es lineal)${\ Displaystyle f (\ lambda x) = \ lambda f (x)}$
• ${\ Displaystyle f (x_ {1} x_ {2}) = f (x_ {1}) f (x_ {2})}$

Una anti-involución no obedece al último axioma sino que

• ${\ Displaystyle f (x_ {1} x_ {2}) = f (x_ {2}) f (x_ {1})}$

Esta primera ley a veces se denomina antidistributiva . También aparece en grupos como ( xy ) ⁻¹ = y ⁻¹ x ⁻¹ . Tomado como axioma, conduce a la noción de semigrupo con involución , del cual hay ejemplos naturales que no son grupos, por ejemplo la multiplicación de matrices cuadradas (es decir, el monoide lineal completo ) con transposición como involución.

Teoría del anillo

En la teoría del anillo , la palabra involución se suele interpretar como un antihomomorfismo que tiene su propia función inversa. Ejemplos de involuciones en anillos comunes:

• conjugación compleja en el plano complejo
• multiplicación por j en los números complejos divididos
• tomando la transposición en un anillo de matriz.

Teoría de grupos

En teoría de grupos , un elemento de un grupo es una involución si tiene orden 2; es decir, una involución es un elemento a tal que a ≠ e y a ² = e , donde e es el elemento de identidad .

Originalmente, esta definición estaba de acuerdo con la primera definición anterior, ya que los miembros de los grupos eran siempre biyecciones de un conjunto en sí mismo; es decir, grupo se tomó como grupo de permutación . A fines del siglo XIX, el grupo se definió de manera más amplia y, en consecuencia, también lo fue la involución .

Una permutación es una involución precisamente si puede escribirse como producto de una o más transposiciones que no se superponen .

Las involuciones de un grupo tienen un gran impacto en la estructura del grupo. El estudio de las involuciones fue fundamental en la clasificación de grupos simples finitos .

Un elemento x de un grupo G se llama fuertemente real si hay una involución t con x ^t = x ⁻¹ (donde x ^t = t ⁻¹ ⋅ x ⋅ t ).

Los grupos de Coxeter son grupos generados por involuciones con relaciones determinadas solo por relaciones dadas para pares de involuciones generadoras. Los grupos de Coxeter se pueden utilizar, entre otras cosas, para describir los posibles poliedros regulares y sus generalizaciones a dimensiones superiores .

Lógica matemática

La operación del complemento en álgebras de Boole es una involución. En consecuencia, la negación de la lógica clásica satisface la ley de la doble negación: ¬¬ A es equivalente a una .

Generalmente, en lógicas no clásicas, la negación que satisface la ley de la doble negación se llama involutiva. En semántica algebraica, tal negación se realiza como una involución en el álgebra de valores de verdad . Ejemplos de lógicas que tienen negación involutiva son las lógicas de tres valores de Kleene y Bochvar , la lógica de muchos valores Łukasiewicz , la lógica difusa IMTL, etc. La negación involutiva a veces se agrega como un conectivo adicional a las lógicas con negación no involutiva; esto es habitual, por ejemplo, en lógicas difusas de norma t .

La involutividad de la negación es una propiedad de caracterización importante para la lógica y las correspondientes variedades de álgebras . Por ejemplo, la negación involutiva caracteriza las álgebras de Boole entre las álgebras de Heyting . En consecuencia, la lógica booleana clásica surge al agregar la ley de la doble negación a la lógica intuicionista . La misma relación se mantiene también entre MV-álgebras y BL-álgebras (y por tanto entre la lógica de Łukasiewicz y la lógica difusa BL ), IMTL y MTL , y otros pares de importantes variedades de álgebras (respectivamente lógicas correspondientes).

En el estudio de las relaciones binarias , toda relación tiene una relación inversa . Dado que el inverso del inverso es la relación original, la operación de conversión es una involución en la categoría de relaciones . Las relaciones binarias se ordenan mediante inclusión . Si bien este orden se invierte con la involución de complementación , se conserva en la conversión.

Ciencias de la Computación

La operación XOR bit a bit con un valor dado para un parámetro es una involución. Las máscaras XOR se usaron una vez para dibujar gráficos en imágenes de tal manera que dibujarlas dos veces en el fondo revierte el fondo a su estado original. La operación NOT bit a bit también es una involución, y es un caso especial de la operación XOR donde un parámetro tiene todos los bits establecidos en 1.

Otro ejemplo es una máscara de bits y una función de cambio que opera en valores de color almacenados como números enteros, digamos en la forma RGB, que intercambia R y B, dando como resultado la forma BGR. f (f (RGB)) = RGB, f (f (BGR)) = BGR.

El cifrado criptográfico RC4 es una involución, ya que las operaciones de cifrado y descifrado utilizan la misma función.

Prácticamente todas las máquinas de cifrado mecánicas implementan un cifrado recíproco , una involución en cada letra escrita. En lugar de diseñar dos tipos de máquinas, una para cifrar y otra para descifrar, todas las máquinas pueden ser idénticas y se pueden configurar (codificar) de la misma manera.

Ver también

• Automorfismo
• Idempotencia
• ROT13

Referencias

Otras lecturas

• Ell, Todd A .; Sangwine, Stephen J. (2007). "Involuciones y anti-involuciones del cuaternión". Computadoras y Matemáticas con Aplicaciones . 53 (1): 137-143. arXiv : matemáticas / 0506034 . doi : 10.1016 / j.camwa.2006.10.029 . S2CID  45639619 .
• Knus, Max-Albert; Merkurjev, Alexander ; Rost, Markus ; Tignol, Jean-Pierre (1998), The book of involutions , Colloquium Publications, 44 , con un prefacio de J. Tits, Providence, RI: American Mathematical Society , ISBN 0-8218-0904-0, Zbl  0955.16001
• "Involución" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]