Relación de conmutación canónica - Canonical commutation relation

En mecánica cuántica , la relación de conmutación canónica es la relación fundamental entre cantidades conjugadas canónicas (cantidades que están relacionadas por definición de tal manera que una es la transformada de Fourier de otra). Por ejemplo,

${\ Displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}} _ {x}] = i \ hbar \ mathbb {I}}$

entre el operador de posición x y el operador de momento p _x en la dirección x de una partícula puntual en una dimensión, donde [ x , p _x ] = x p _x - p _x x es el conmutador de x y p _x  , i es el imaginario unidad , y ℏ es la constante de Planck reducida h / 2π , y es el operador de la unidad. En general, la posición y la cantidad de movimiento son vectores de operadores y su relación de conmutación entre los diferentes componentes de la posición y la cantidad de movimiento se puede expresar como ${\ Displaystyle \ mathbb {I}}$

${\ Displaystyle [{\ hat {r}} _ {i}, {\ hat {p}} _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij} \ mathbb {I}.}$

¿Dónde está el delta de Kronecker ? ${\ Displaystyle \ delta _ {ij}}$

Esta relación se atribuye a Max Born (1925), quien la denominó "condición cuántica" que sirve como postulado de la teoría; E. Kennard (1927) señaló que implica el principio de incertidumbre de Heisenberg . El teorema de Stone-von Neumann da un resultado de unicidad para los operadores que satisfacen (una forma exponencial de) la relación de conmutación canónica.

Relación con la mecánica clásica

Por el contrario, en la física clásica , todos los observables se conmutan y el conmutador sería cero. Sin embargo, existe una relación análoga, que se obtiene reemplazando el conmutador con el corchete de Poisson multiplicado por i ℏ ,

${\ Displaystyle \ {x, p \} = 1 \ ,.}$

Esta observación llevó a Dirac a proponer que las contrapartes cuánticas f̂ , ĝ de los observables clásicos f , g satisfacen

${\ Displaystyle [{\ hat {f}}, {\ hat {g}}] = i \ hbar {\ widehat {\ {f, g \}}} \ ,.}$

En 1946, Hip Groenewold demostró que una correspondencia sistemática general entre conmutadores cuánticos y corchetes de Poisson no podía mantenerse de manera consistente.

Sin embargo, también apreció que tal correspondencia sistemática existe, de hecho, entre el conmutador cuántico y una deformación del corchete de Poisson, hoy llamado corchete de Moyal , y, en general, los operadores cuánticos y las distribuciones y observables clásicas en el espacio de fase . Por lo tanto, finalmente dilucidó el mecanismo de correspondencia consistente, la transformada de Wigner-Weyl , que subyace a una representación matemática equivalente alternativa de la mecánica cuántica conocida como cuantificación de deformaciones .

Derivación de la mecánica hamiltoniana

Según el principio de correspondencia , en ciertos límites las ecuaciones cuánticas de estados deben aproximarse a las ecuaciones de movimiento de Hamilton . Estos últimos establecen la siguiente relación entre la coordenada generalizada q (por ejemplo, la posición) y el momento generalizado p :

${\ Displaystyle {\ begin {cases} {\ dot {q}} = {\ frac {\ parcial H} {\ parcial p}} = \ {q, H \}; \\ {\ dot {p}} = - {\ frac {\ parcial H} {\ parcial q}} = \ {p, H \}. \ end {casos}}}$

En mecánica cuántica, el hamiltoniano , la coordenada (generalizada) y el momento (generalizado) son todos operadores lineales. ${\ Displaystyle {\ hat {H}}}$${\ Displaystyle {\ hat {Q}}}$${\ Displaystyle {\ hat {P}}}$

La derivada temporal de un estado cuántico es (según la ecuación de Schrödinger ). De manera equivalente, dado que los operadores no son explícitamente dependientes del tiempo, se puede ver que están evolucionando en el tiempo (ver imagen de Heisenberg ) de acuerdo con su relación de conmutación con el hamiltoniano: ${\ Displaystyle i {\ hat {H}} / \ hbar}$

${\ Displaystyle {\ frac {d {\ hat {Q}}} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}]}$

${\ Displaystyle {\ frac {d {\ hat {P}}} {dt}} = {\ frac {i} {\ hbar}} [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}] \ , \ ,.}$

Para que eso se reconcilie en el límite clásico con las ecuaciones de movimiento de Hamilton, debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano y debe depender completamente de la aparición de en el hamiltoniano. Además, dado que el operador hamiltoniano depende de los operadores de coordenadas y momento (generalizados), puede verse como funcional, y podemos escribir (usando derivadas funcionales ): ${\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}]}$${\ Displaystyle {\ hat {P}}}$${\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}]}$${\ Displaystyle {\ hat {Q}}}$

${\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {Q}}] = {\ frac {\ delta {\ hat {H}}} {\ delta {\ hat {P}}}} \ cdot [ {\ hat {P}}, {\ hat {Q}}]}$

${\ Displaystyle [{\ hat {H}}, {\ hat {P}}] = {\ frac {\ delta {\ hat {H}}} {\ delta {\ hat {Q}}}} \ cdot [ {\ hat {Q}}, {\ hat {P}}] \, \ ,.}$

Para obtener el límite clásico, entonces debemos tener

${\ Displaystyle [{\ hat {Q}}, {\ hat {P}}] = i \ hbar ~ \ mathbb {I}.}$

Las relaciones de Weyl

El grupo generado por exponenciación del álgebra de Lie tridimensional determinada por la relación de conmutación se llama grupo de Heisenberg . Este grupo se puede realizar como el grupo de matrices triangulares superiores con unas en la diagonal. ${\ Displaystyle H_ {3} (\ mathbb {R})}$${\ Displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}$${\ Displaystyle 3 \ times 3}$

De acuerdo con la formulación matemática estándar de la mecánica cuántica , los observables cuánticos como y deberían representarse como operadores autoadjuntos en algún espacio de Hilbert . Es relativamente fácil ver que dos operadores que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas anteriores no pueden estar acotados . Ciertamente, si y fueran operadores de clase de rastreo , la relación da un número distinto de cero a la derecha y cero a la izquierda. ${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle {\ hat {p}}}$${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle {\ hat {p}}}$${\ Displaystyle \ operatorname {Tr} (AB) = \ operatorname {Tr} (BA)}$

Alternativamente, si y fueran operadores acotados, tenga en cuenta que , por lo tanto, las normas del operador cumplirían ${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle {\ hat {p}}}$${\ Displaystyle [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}}] = i \ hbar n {\ hat {x}} ^ {n-1}}$

${\ Displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n} \ geq n \ hbar \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | ^ {n-1}}$, de modo que, para cualquier n ,

${\ Displaystyle 2 \ left \ | {\ hat {p}} \ right \ | \ left \ | {\ hat {x}} \ right \ | \ geq n \ hbar}$

Sin embargo, n puede ser arbitrariamente grande, por lo que al menos un operador no puede ser acotado y la dimensión del espacio de Hilbert subyacente no puede ser finita. Si los operadores satisfacen las relaciones de Weyl (una versión exponencial de las relaciones de conmutación canónicas, descritas a continuación), como consecuencia del teorema de Stone-von Neumann , ambos operadores deben ser ilimitados.

Aún así, estas relaciones de conmutación canónicas pueden volverse algo "más dóciles" escribiéndolas en términos de los operadores unitarios (acotados) y . Las relaciones de trenzado resultantes para estos operadores son las llamadas relaciones de Weyl${\ Displaystyle \ exp (es {\ hat {x}})}$${\ Displaystyle \ exp (es {\ hat {p}})}$

${\ Displaystyle \ exp (it {\ hat {x}}) \ exp (es {\ hat {p}}) = \ exp (-ist \ hbar) \ exp (es {\ hat {p}}) \ exp (es {\ hat {x}}).}$

Estas relaciones pueden considerarse como una versión exponencial de las relaciones canónicas de conmutación; reflejan que las traducciones en posición y las traducciones en impulso no se conmutan. Se pueden reformular fácilmente las relaciones de Weyl en términos de las representaciones del grupo de Heisenberg .

La unicidad de las relaciones de conmutación canónicas, en forma de relaciones de Weyl, está garantizada por el teorema de Stone-von Neumann .

Es importante señalar que, por razones técnicas, las relaciones de Weyl no son estrictamente equivalentes a la relación de conmutación canónica . Si y fueran operadores acotados, entonces un caso especial de la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff permitiría "exponencializar" las relaciones de conmutación canónicas a las relaciones de Weyl. Dado que, como hemos señalado, cualquier operador que satisfaga las relaciones de conmutación canónica debe ser ilimitado, la fórmula de Baker-Campbell-Hausdorff no se aplica sin supuestos de dominio adicionales. De hecho, existen contraejemplos que satisfacen las relaciones de conmutación canónicas pero no las relaciones de Weyl. (Estos mismos operadores dan un contraejemplo de la forma ingenua del principio de incertidumbre). Estos problemas técnicos son la razón por la que el teorema de Stone-von Neumann se formula en términos de las relaciones de Weyl. ${\ Displaystyle [{\ hat {x}}, {\ hat {p}}] = i \ hbar}$${\ Displaystyle {\ hat {x}}}$${\ Displaystyle {\ hat {p}}}$

Una versión discreta de las relaciones Weyl, en el que los parámetros de s y t varían sobre , se puede realizar en un espacio de Hilbert de dimensión finita por medio de las matrices de reloj y de cambio . ${\ Displaystyle \ mathbb {Z} / n}$

Generalizaciones

La formula simple

${\ Displaystyle [x, p] = i \ hbar, \, \ mathbb {I} ~,}$

válido para la cuantificación del sistema clásico más simple, se puede generalizar al caso de un lagrangiano arbitrario . Identificamos coordenadas canónicas (como x en el ejemplo anterior, o un campo Φ ( x ) en el caso de la teoría cuántica de campos ) y momentos canónicos π _x (en el ejemplo anterior es p , o más generalmente, algunas funciones que involucran la derivadas de las coordenadas canónicas con respecto al tiempo): ${\ Displaystyle {\ mathcal {L}}}$

${\ Displaystyle \ pi _ {i} \ {\ stackrel {\ mathrm {def}} {=}} \ {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial (\ parcial x_ {i} / \ parcial t)}}.}$

Esta definición del momento canónico asegura que una de las ecuaciones de Euler-Lagrange tenga la forma

${\ estilo de visualización {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ pi _ {i} = {\ frac {\ parcial {\ mathcal {L}}} {\ parcial x_ {i}}}.}$

Las relaciones canónicas de conmutación ascienden entonces a

${\ Displaystyle [x_ {i}, \ pi _ {j}] = i \ hbar \ delta _ {ij} \ ,,}$

donde δ _ij es el delta de Kronecker .

Además, se puede demostrar fácilmente que

${\ Displaystyle [F ({\ vec {x}}), p_ {i}] = i \ hbar {\ frac {\ parcial F ({\ vec {x}})} {\ parcial x_ {i}}} ; \ qquad [x_ {i}, F ({\ vec {p}})] = i \ hbar {\ frac {\ parcial F ({\ vec {p}})} {\ parcial p_ {i}}} .}$

Usando , se puede demostrar fácilmente que por inducción matemática${\ Displaystyle C_ {n + 1} ^ {k} = C_ {n} ^ {k} + C_ {n} ^ {k-1}}$

${\ Displaystyle \ left [{\ hat {x}} ^ {n}, {\ hat {p}} ^ {m} \ right] = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac {- \ left (-i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)!}} {\ hat {x}} ^ {nk} {\ hat {p}} ^ {mk}} = \ sum _ {k = 1} ^ {min \ left (m, n \ right)} {{\ frac { \ left (i \ hbar \ right) ^ {k} n! ​​m!} {k! \ left (nk \ right)! \ left (mk \ right)!}} {\ hat {p}} ^ {mk} {\ hat {x}} ^ {nk}},}$

generalmente conocida como fórmula de Mc Coy.

Invariancia de calibre

La cuantificación canónica se aplica, por definición, en coordenadas canónicas . Sin embargo, en presencia de un campo electromagnético , el momento canónico p no es invariante de calibre . El momento correcto invariante del indicador (o "momento cinético") es

${\ Displaystyle p _ {\ text {parentesco}} = p-qA \, \!}$   ( Unidades SI )   ( unidades cgs ),     ${\ Displaystyle p _ {\ text {parentesco}} = p - {\ frac {qA} {c}} \, \!}$

donde q es la carga eléctrica de la partícula , A es el potencial vectorial y c es la velocidad de la luz . Aunque la cantidad p _kin es el "momento físico", en el sentido de que es la cantidad que se identifica con el momento en los experimentos de laboratorio, no satisface las relaciones canónicas de conmutación; solo el impulso canónico hace eso. Esto se puede ver de la siguiente manera.

El hamiltoniano no relativista para una partícula cargada cuantificada de masa m en un campo electromagnético clásico es (en unidades cgs)

${\ Displaystyle H = {\ frac {1} {2m}} \ left (p - {\ frac {qA} {c}} \ right) ^ {2} + q \ phi}$

donde A es el potencial de tres vectores y φ es el potencial escalar . Esta forma del hamiltoniano, así como la ecuación de Schrödinger Hψ = iħ∂ψ / ∂t , las ecuaciones de Maxwell y la ley de fuerza de Lorentz son invariantes bajo la transformación de gauge

${\ Displaystyle A \ to A ^ {\ prime} = A + \ nabla \ Lambda}$

${\ Displaystyle \ phi \ to \ phi ^ {\ prime} = \ phi - {\ frac {1} {c}} {\ frac {\ parcial \ Lambda} {\ parcial t}}}$

${\ Displaystyle \ psi \ to \ psi ^ {\ prime} = U \ psi}$

${\ Displaystyle H \ to H ^ {\ prime} = UHU ^ {\ dagger},}$

dónde

${\ Displaystyle U = \ exp \ left ({\ frac {iq \ Lambda} {\ hbar c}} \ right)}$

y Λ = Λ ( x , t ) es la función de calibre.

El operador de momento angular es

${\ Displaystyle L = r \ times p \, \!}$

y obedece a las relaciones canónicas de cuantificación

${\ Displaystyle [L_ {i}, L_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ijk}} L_ {k}}$

definiendo el álgebra de Lie para so (3) , donde está el símbolo Levi-Civita . Bajo transformaciones de calibre, el momento angular se transforma como ${\ Displaystyle \ epsilon _ {ijk}}$

${\ Displaystyle \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle \ to \ langle \ psi ^ {\ prime} \ vert L ^ {\ prime} \ vert \ psi ^ {\ prime} \ rangle = \ langle \ psi \ vert L \ vert \ psi \ rangle + {\ frac {q} {\ hbar c}} \ langle \ psi \ vert r \ times \ nabla \ Lambda \ vert \ psi \ rangle \ ,.}$

El momento angular invariante de calibre (o "momento angular cinético") viene dado por

${\ Displaystyle K = r \ times \ left (p - {\ frac {qA} {c}} \ right),}$

que tiene las relaciones de conmutación

${\ Displaystyle [K_ {i}, K_ {j}] = i \ hbar {\ epsilon _ {ij}} ^ {\, k} \ left (K_ {k} + {\ frac {q \ hbar} {c }} x_ {k} \ left (x \ cdot B \ right) \ right)}$

dónde

${\ Displaystyle B = \ nabla \ times A}$

es el campo magnético . La desigualdad de estas dos formulaciones se manifiesta en el efecto Zeeman y el efecto Aharonov-Bohm .

Relación de incertidumbre y conmutadores

Todas estas relaciones de conmutación no triviales para pares de operadores conducen a las correspondientes relaciones de incertidumbre , que implican contribuciones de expectativa semidefinidas positivas por sus respectivos conmutadores y anticonmutadores. En general, para dos hermitianos A y B , considere valores esperados en un sistema en el estado ψ , las varianzas alrededor de la expectativa de valores siendo correspondiente (Δ A ) ² ≡ ⟨( A - ⟨ A ⟩) ² ⟩ , etc.

Luego

${\ Displaystyle \ Delta A \, \ Delta B \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ left | \ left \ langle \ left [{A}, {B} \ right] \ right \ rangle \ right | ^ {2} + \ left | \ left \ langle \ left \ {A- \ langle A \ rangle, B- \ langle B \ rangle \ right \} \ right \ rangle \ right | ^ {2} }},}$

donde [ A ,  B ] ≡ A B - B A es el conmutador de A y B , y { A ,  B } ≡ A B + B A es el anticonmutador .

Esto sigue a través del uso de la desigualdad de Cauchy-Schwarz , ya | ⟨ A ² ⟩ | | ⟨ B ² ⟩ | ≥ | ⟨ A B ⟩ | ² y AB = ([ A ,  B ] + { A ,  B }) / 2  ; y lo mismo para el desplazado operadores A - ⟨ Un ⟩ y B - ⟨ B ⟩ . (Véanse las derivaciones del principio de incertidumbre ).

Sustituyendo A y B (y teniendo cuidado con el análisis) se obtiene la familiar relación de incertidumbre de Heisenberg para x y p , como es habitual.

Relación de incertidumbre para operadores de momento angular

Para los operadores de momento angular L _x = y p _z - z p _y , etc., uno tiene que

${\ Displaystyle [{L_ {x}}, {L_ {y}}] = i \ hbar \ epsilon _ {xyz} {L_ {z}},}$

donde está el símbolo de Levi-Civita y simplemente invierte el signo de la respuesta bajo el intercambio de índices por pares. Una relación análoga es válida para los operadores de espín . ${\ Displaystyle \ epsilon _ {xyz}}$

Aquí, para L _x y L _y  , en multipletes de momento angular ψ = | ℓ , m ⟩ , uno tiene, para los componentes transversales del Casimir invariante L _x ² + L _Y ² + L _z ² , el z relaciones -symmetric

⟨ L _x ² ⟩ = ⟨ L _y ² ⟩ = ( ℓ  ( ℓ + 1) - m ² ) ℏ ² /2  ,

así como ⟨ L _x ⟩ = ⟨ L _y ⟩ = 0  .

En consecuencia, la desigualdad anterior aplicada a esta relación de conmutación especifica

${\ Displaystyle \ Delta L_ {x} \ Delta L_ {y} \ geq {\ frac {1} {2}} {\ sqrt {\ hbar ^ {2} | \ langle L_ {z} \ rangle | ^ {2 }}} ~,}$

por eso

${\ Displaystyle {\ sqrt {| \ langle L_ {x} ^ {2} \ rangle \ langle L_ {y} ^ {2} \ rangle |}} \ geq {\ frac {\ hbar ^ {2}} {2 }}metro}$

y por lo tanto

${\ Displaystyle \ ell (\ ell +1) -m ^ {2} \ geq m ~,}$

entonces, entonces, produce restricciones útiles como un límite inferior en el invariante de Casimir : ℓ  ( ℓ + 1) ≥ m  ( m + 1) , y por lo tanto ℓ ≥ m , entre otras.

Ver también

• Teorema de Stone-von Neumann
• Cuantización canónica
• Álgebra CCR
• Derivada de la mentira
• Soporte Moyal

Referencias

• Hall, Brian C. (2013), Teoría cuántica para matemáticos , Textos de posgrado en matemáticas, 267 , Springer.
• Hall, Brian C. (2015), Grupos de mentira, Álgebras y representaciones de mentira, Introducción elemental , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer.