Potencial escalar - Scalar potential

El potencial escalar , en pocas palabras, describe la situación en la que la diferencia en las energías potenciales de un objeto en dos posiciones diferentes depende solo de las posiciones, no de la trayectoria tomada por el objeto al viajar de una posición a la otra. Es un campo escalar en tres espacios: un valor sin dirección (escalar) que depende solo de su ubicación. Un ejemplo familiar es la energía potencial debida a la gravedad.

pozo potencial gravitacional de una masa creciente donde

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla P}

Un potencial escalar es un concepto fundamental en el análisis de vectores y la física (el adjetivo escalar se omite con frecuencia si no hay peligro de confusión con el potencial vectorial ). El potencial escalar es un ejemplo de campo escalar . Dado un campo vectorial F , el potencial escalar P se define de manera que:

{\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla P = - \ izquierda ({\ frac {\ P parcial} {\ parcial x}}, {\ frac {\ P parcial} {\ parcial y}}, {\ frac {\ parcial P} {\ parcial z}} \ derecha),}

donde ∇ P es el gradiente de P y la segunda parte de la ecuación es menos el gradiente para una función de las coordenadas cartesianas x , y , z . En algunos casos, los matemáticos pueden usar un signo positivo delante del gradiente para definir el potencial. Debido a esta definición de P en términos del gradiente, la dirección de F en cualquier punto es la dirección de la disminución más pronunciada de P en ese punto, su magnitud es la tasa de esa disminución por unidad de longitud.

Para que F se describa en términos de un potencial escalar únicamente, cualquiera de las siguientes afirmaciones equivalentes debe ser verdadera:

${\ Displaystyle - \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {l} = P (\ mathbf {b}) -P (\ mathbf {a})}$ , donde la integración es sobre un arco de Jordan que pasa de la ubicación a a la ubicación b y P ( b ) es P evaluado en la ubicación b .
${\ Displaystyle \ oint \ mathbf {F} \ cdot d \ mathbf {l} = 0}$ , donde la integral está sobre cualquier camino cerrado simple, también conocido como curva de Jordan .
${\ displaystyle {\ nabla} \ times {\ mathbf {F}} = 0.}$

La primera de estas condiciones representa el teorema fundamental del gradiente y es verdadera para cualquier campo vectorial que sea un gradiente de un campo escalar P de valor único diferenciable . La segunda condición es un requisito de F para que pueda expresarse como el gradiente de una función escalar. La tercera condición reexpresa la segunda condición en términos del rizo de F usando el teorema fundamental del rizo . Se dice que un campo vectorial F que satisface estas condiciones es irrotacional (conservador).

Los potenciales escalares juegan un papel destacado en muchas áreas de la física y la ingeniería. El potencial de gravedad es el potencial escalar asociado con la gravedad por unidad de masa, es decir, la aceleración debida al campo, en función de la posición. El potencial de gravedad es la energía potencial gravitacional por unidad de masa. En electrostática, el potencial eléctrico es el potencial escalar asociado con el campo eléctrico , es decir, con la fuerza electrostática por unidad de carga . El potencial eléctrico es en este caso la energía potencial electrostática por unidad de carga. En dinámica de fluidos , los campos lamelares irrotacionales tienen un potencial escalar solo en el caso especial cuando se trata de un campo laplaciano . Ciertos aspectos de la fuerza nuclear pueden describirse mediante un potencial Yukawa . El potencial juega un papel destacado en las formulaciones lagrangianas y hamiltonianas de la mecánica clásica . Además, el potencial escalar es la cantidad fundamental en mecánica cuántica .

No todos los campos vectoriales tienen un potencial escalar. Aquellos que lo hacen se denominan conservadores , lo que corresponde a la noción de fuerza conservadora en física. Ejemplos de fuerzas no conservadoras incluyen fuerzas de fricción, fuerzas magnéticas y en mecánica de fluidos un campo de velocidad de campo solenoidal . Por el Helmholtz descomposición teorema sin embargo, todos los campos de vectores pueden ser descriptible en términos de un potencial escalar y que corresponde potencial vector . En electrodinámica, los potenciales escalares y vectoriales electromagnéticos se conocen juntos como los cuatro potenciales electromagnéticos .

Condiciones de integrabilidad

Si F es un campo vectorial conservador (también llamado irrotacional , libre de rizos o potencial ), y sus componentes tienen derivadas parciales continuas , el potencial de F con respecto a un punto de referencia se define en términos de la integral de línea : ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$

{\ Displaystyle V (\ mathbf {r}) = - \ int _ {C} \ mathbf {F} (\ mathbf {r}) \ cdot \, d \ mathbf {r} = - \ int _ {a} ^ {b} \ mathbf {F} (\ mathbf {r} (t)) \ cdot \ mathbf {r} '(t) \, dt,}

donde C es una ruta parametrizada de a ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r},}$

{\ Displaystyle \ mathbf {r} (t), a \ leq t \ leq b, \ mathbf {r} (a) = \ mathbf {r_ {0}}, \ mathbf {r} (b) = \ mathbf { r}.}

El hecho de que la integral de línea dependa del camino C solo a través de sus puntos terminales y es, en esencia, la propiedad de independencia del camino de un campo vectorial conservador. El teorema fundamental de integrales de línea implica que si V se define de esta manera, a continuación, de manera que V es un potencial escalar del campo vectorial conservador F . El potencial escalar no está determinado por el campo vectorial solo: de hecho, el gradiente de una función no se ve afectado si se le agrega una constante. Si V se define en términos de la integral de línea, la ambigüedad de V refleja la libertad en la elección del punto de referencia. ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {0}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r}}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {F} = - \ nabla V,}$ ${\ Displaystyle \ mathbf {r} _ {0}.}$

Altitud como energía potencial gravitacional

campo gravitacional uniforme cerca de la superficie de la Tierra

Gráfico de un corte bidimensional del potencial gravitacional en y alrededor de un cuerpo esférico uniforme. Los puntos de inflexión de la sección transversal se encuentran en la superficie del cuerpo.

Un ejemplo es el campo gravitacional (casi) uniforme cerca de la superficie de la Tierra. Tiene una energía potencial

{\ Displaystyle U = mgh}

donde U es la energía potencial gravitacional y h es la altura sobre la superficie. Esto significa que la energía potencial gravitacional en un mapa de contorno es proporcional a la altitud. En un mapa de contorno, el gradiente negativo bidimensional de la altitud es un campo vectorial bidimensional, cuyos vectores son siempre perpendiculares a los contornos y también perpendiculares a la dirección de la gravedad. Pero en la región montañosa representada por el mapa de contorno, el gradiente negativo tridimensional de U siempre apunta directamente hacia abajo en la dirección de la gravedad; F . Sin embargo, una bola que rueda cuesta abajo no puede moverse directamente hacia abajo debido a la fuerza normal de la superficie de la colina, que anula el componente de gravedad perpendicular a la superficie de la colina. El componente de gravedad que queda para mover la bola es paralelo a la superficie:

{\ Displaystyle F_ {S} = - mg \ \ sin \ theta}

donde θ es el ángulo de inclinación y la componente de F _S perpendicular a la gravedad es

{\ Displaystyle F_ {P} = - mg \ \ sin \ theta \ \ cos \ theta = - {1 \ over 2} mg \ sin 2 \ theta.}

Esta fuerza F _P , paralela al suelo, es mayor cuando θ es de 45 grados.

Sea Δ h el intervalo uniforme de altitud entre contornos en el mapa de contornos, y sea Δ x la distancia entre dos contornos. Luego

{\ Displaystyle \ theta = \ tan ^ {- 1} {\ frac {\ Delta h} {\ Delta x}}}

así que eso

{\ Displaystyle F_ {P} = - mg {\ Delta x \, \ Delta h \ over \ Delta x ^ {2} + \ Delta h ^ {2}}.}

Sin embargo, en un mapa de contorno, el gradiente es inversamente proporcional a Δ x , que no es similar a la fuerza F _P : la altitud en un mapa de contorno no es exactamente un campo potencial bidimensional. Las magnitudes de las fuerzas son diferentes, pero las direcciones de las fuerzas son las mismas en un mapa de contorno y en la región montañosa de la superficie de la Tierra representada por el mapa de contorno.

La presión como potencial de flotación

En mecánica de fluidos , un fluido en equilibrio, pero en presencia de un campo gravitacional uniforme, es atravesado por una fuerza de flotación uniforme que anula la fuerza gravitacional: así es como el fluido mantiene su equilibrio. Esta fuerza de flotación es el gradiente de presión negativo :

{\ Displaystyle \ mathbf {f_ {B}} = - \ nabla p. \,}

Dado que la fuerza de flotación apunta hacia arriba, en la dirección opuesta a la gravedad, la presión en el fluido aumenta hacia abajo. La presión en un cuerpo de agua estático aumenta proporcionalmente a la profundidad debajo de la superficie del agua. Las superficies de presión constante son planos paralelos a la superficie, que se puede caracterizar como el plano de presión cero.

Si el líquido tiene un vórtice vertical (cuyo eje de rotación es perpendicular a la superficie), entonces el vórtice provoca una depresión en el campo de presión. La superficie del líquido dentro del vórtice se tira hacia abajo al igual que cualquier superficie de igual presión, que aún permanece paralela a la superficie del líquido. El efecto es más fuerte dentro del vórtice y disminuye rápidamente con la distancia desde el eje del vórtice.

La fuerza de flotación debida a un fluido sobre un objeto sólido sumergido y rodeado por ese fluido se puede obtener integrando el gradiente de presión negativa a lo largo de la superficie del objeto:

{\ Displaystyle F_ {B} = - \ oint _ {S} \ nabla p \ cdot \, d \ mathbf {S}.}

Potencial escalar en el espacio euclidiano

En el espacio euclidiano tridimensional , el potencial escalar de un campo vectorial irrotacional E viene dado por ${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$

{\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = {1 \ over 4 \ pi} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {\ operatorname {div} \ mathbf {E} ( \ mathbf {r} ')} {\ | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ |}} \, dV (\ mathbf {r} ')}

donde es un elemento de volumen infinitesimal con respecto a $r '$ . Luego ${\ Displaystyle dV (\ mathbf {r} ')}$

{\ Displaystyle \ mathbf {E} = - \ mathbf {\ nabla} \ Phi = - {1 \ over 4 \ pi} \ mathbf {\ nabla} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {3}} {\ frac {\ operatorname {div} \ mathbf {E} (\ mathbf {r} ')} {\ | \ mathbf {r} - \ mathbf {r}' \ |}} \, dV (\ mathbf {r} ' )}

Esto se mantiene siempre que E sea continuo y se desvanezca asintóticamente a cero hacia el infinito, decayendo más rápido que 1 / r y si la divergencia de E también se desvanece hacia el infinito, decayendo más rápido que 1 / r ² .

Escrito de otra manera, deja

{\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {4 \ pi}} {\ frac {1} {\ | \ mathbf {r} \ |}}}

sea el potencial newtoniano . Esta es la solución fundamental de la ecuación de Laplace , lo que significa que el laplaciano de $Γ$ es igual al negativo de la función delta de Dirac :

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ Gamma (\ mathbf {r}) + \ delta (\ mathbf {r}) = 0.}

Entonces el potencial escalar es la divergencia de la convolución de E con $Γ$ :

{\ Displaystyle \ Phi = \ operatorname {div} (\ mathbf {E} * \ Gamma).}

De hecho, la convolución de un campo de vector irrotacional con un potencial invariante rotacionalmente también es irrotacional. Para un campo vectorial irrotacional G , se puede demostrar que

{\ Displaystyle \ nabla ^ {2} \ mathbf {G} = \ mathbf {\ nabla} (\ mathbf {\ nabla} \ cdot {} \ mathbf {G}).}

Por eso

{\ Displaystyle \ nabla \ operatorname {div} (\ mathbf {E} * \ Gamma) = \ nabla ^ {2} (\ mathbf {E} * \ Gamma) = \ mathbf {E} * \ nabla ^ {2} \ Gamma = - \ mathbf {E} * \ delta = - \ mathbf {E}}

según sea necesario.

De manera más general, la fórmula

{\ Displaystyle \ Phi = \ operatorname {div} (\ mathbf {E} * \ Gamma)}

se mantiene en el espacio euclidiano n- dimensional ( $n > 2$ ) con el potencial newtoniano dado entonces por

{\ Displaystyle \ Gamma (\ mathbf {r}) = {\ frac {1} {n (n-2) \ omega _ {n} \ | \ mathbf {r} \ | ^ {n-2}}}}

donde $ω n$ es el volumen de la unidad n -ball. La prueba es idéntica. Alternativamente, la integración por partes (o, más rigurosamente, las propiedades de convolución ) da

{\ Displaystyle \ Phi (\ mathbf {r}) = - {\ frac {1} {n \ omega _ {n}}} \ int _ {\ mathbb {R} ^ {n}} {\ frac {\ mathbf {E} (\ mathbf {r} ') \ cdot (\ mathbf {r} - \ mathbf {r}')} {\ | \ mathbf {r} - \ mathbf {r} '\ | ^ {n}} } \, dV (\ mathbf {r} ').}

Ver también

Teorema del gradiente
Teorema fundamental del análisis vectorial
Líneas y superficies equipotenciales (isopotenciales)

Referencias

^ Herbert Goldstein. Mecánica clásica (2 ed.). págs. 3–4. ISBN 978-0-201-02918-5.
^ La segunda parte de esta ecuación solo esválida para coordenadas cartesianas, otros sistemas de coordenadas como coordenadas cilíndricas o esféricas tendrán representaciones más complicadas, derivadas del teorema fundamental del gradiente .
^ Consulte [1] para ver un ejemplo en el que el potencial se define sin un negativo. Otras referencias como Louis Leithold, The Calculus with Analytic Geometry (5 ed.), P. 1199evite usar el término potencial al resolver una función a partir de su gradiente.

[1] Herbert Goldstein. Mecánica clásica (2 ed.). págs. 3–4. ISBN 978-0-201-02918-5.

[2] La segunda parte de esta ecuación solo esválida para coordenadas cartesianas, otros sistemas de coordenadas como coordenadas cilíndricas o esféricas tendrán representaciones más complicadas, derivadas del teorema fundamental del gradiente .

[3] Consulte [1] para ver un ejemplo en el que el potencial se define sin un negativo. Otras referencias como Louis Leithold, The Calculus with Analytic Geometry (5 ed.), P. 1199evite usar el término potencial al resolver una función a partir de su gradiente.

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