Lagrangiano (teoría de campo) - Lagrangian (field theory)

La teoría de campo lagrangiana es un formalismo en la teoría de campo clásica . Es el análogo de la teoría de campos de la mecánica de Lagrange . La mecánica de Lagrange se utiliza para analizar el movimiento de un sistema de partículas discretas, cada una con un número finito de grados de libertad . La teoría de campos de Lagrange se aplica a continuos y campos, que tienen un número infinito de grados de libertad.

Una motivación para el desarrollo del formalismo lagrangiano en campos, y más en general, para la teoría clásica de campos , es proporcionar una base matemática limpia para la teoría cuántica de campos , que está infamemente acosada por dificultades formales que la hacen inaceptable como teoría matemática. Los lagrangianos presentados aquí son idénticos a sus equivalentes cuánticos, pero, al tratar los campos como campos clásicos, en lugar de ser cuantificados, se pueden proporcionar definiciones y obtener soluciones con propiedades compatibles con el enfoque formal convencional de las matemáticas de ecuaciones diferenciales parciales . Esto permite la formulación de soluciones en espacios con propiedades bien caracterizadas, como los espacios de Sobolev . Permite que se proporcionen varios teoremas, que van desde las pruebas de existencia hasta la convergencia uniforme de series formales y los escenarios generales de la teoría potencial . Además, la comprensión y la claridad se obtienen mediante generalizaciones a las variedades de Riemann y los haces de fibras , lo que permite discernir y desenredar claramente la estructura geométrica de las ecuaciones de movimiento correspondientes. Una visión más clara de la estructura geométrica ha permitido, a su vez, utilizar teoremas altamente abstractos de la geometría para obtener información, que van desde el teorema de Chern-Gauss-Bonnet y el teorema de Riemann-Roch hasta el teorema del índice de Atiyah-Singer y la teoría de Chern-Simons. .

Visión general

En la teoría de campos, la variable independiente se reemplaza por un evento en el espacio-tiempo ( x , y , z , t ), o más generalmente aún por un punto s en una variedad de Riemann . Las variables dependientes se reemplazan por el valor de un campo en ese punto del espacio-tiempo de modo que las ecuaciones de movimiento se obtienen mediante un principio de acción , escrito como:

donde la acción , , es un funcional de las variables dependientes , sus derivados y es en sí

,

donde los corchetes denotan ; y s = { s α } denota el conjunto de n variables independientes del sistema, incluida la variable de tiempo, y está indexada por α = 1, 2, 3, ..., n . El tipo de letra caligráfico,, se utiliza para denotar la densidad , y es la forma de volumen de la función de campo, es decir , la medida del dominio de la función de campo.

En formulaciones matemáticas, es común expresar el Lagrangiano como una función en un haz de fibras , donde las ecuaciones de Euler-Lagrange pueden interpretarse como especificando las geodésicas en el haz de fibras. El libro de texto de Abraham y Marsden proporcionó la primera descripción completa de la mecánica clásica en términos de ideas geométricas modernas, es decir , en términos de variedades tangentes , variedades simplécticas y geometría de contacto . El libro de texto de Bleecker proporcionó una presentación completa de las teorías de campo en física en términos de haces de fibras invariantes de calibre. Tales formulaciones se conocían o sospechaban mucho antes. Jost continúa con una presentación geométrica, aclarando la relación entre las formas hamiltoniana y lagrangiana, describiendo las variedades de espín desde los primeros principios, etc. La investigación actual se centra en estructuras afines no rígidas (a veces llamadas "estructuras cuánticas") en las que se reemplazan las ocurrencias de espacios vectoriales por álgebras tensoriales . Esta investigación está motivada por la comprensión revolucionaria de los grupos cuánticos como álgebras de Lie afines (los grupos de Lie son, en cierto sentido, "rígidos", ya que están determinados por su álgebra de Lie. Cuando se reformulan en un álgebra tensorial, se vuelven "flexibles", habiendo grados infinitos de libertad; ver, por ejemplo, álgebra de Virasoro .)

Definiciones

En la teoría de campos lagrangianos, el lagrangiano como una función de coordenadas generalizadas es reemplazado por una densidad lagrangiana, una función de los campos en el sistema y sus derivadas, y posiblemente las propias coordenadas espaciales y temporales. En la teoría de campos, la variable independiente t se reemplaza por un evento en el espacio-tiempo ( x , y , z , t ) o aún más generalmente por un punto s en una variedad.

A menudo, una "densidad lagrangiana" se denomina simplemente "lagrangiana".

Campos escalares

Para un campo escalar , la densidad lagrangiana tomará la forma:

Para muchos campos escalares

En formulaciones matemáticas, se entiende que los campos escalares son coordenadas sobre un haz de fibras y las derivadas del campo se entienden como secciones del haz de chorros .

Campos vectoriales, campos tensoriales, campos espino

Lo anterior se puede generalizar para campos vectoriales , campos tensoriales y campos espino . En física, los fermiones se describen mediante campos de espino. Los bosones se describen mediante campos tensoriales, que incluyen campos escalares y vectoriales como casos especiales.

Por ejemplo, si hay reales -valued campos escalares , y luego el colector de campo es . Si el campo es un campo vectorial real , entonces la variedad de campo es isomorfa a .

Acción

La integral en el tiempo de la función de Lagrange se llama la acción denotada por S . En teoría de campo, ocasionalmente se hace una distinción entre la L lagrangiana , de la cual la integral de tiempo es la acción

y la densidad lagrangiana , que se integra en todo el espacio-tiempo para obtener la acción:

La integral de volumen espacial de la densidad lagrangiana es la lagrangiana; en 3D,

La acción a menudo se denomina "acción funcional ", en el sentido de que es una función de los campos (y sus derivados).

Forma de volumen

En presencia de gravedad o cuando se utilizan coordenadas curvilíneas generales, la densidad lagrangiana incluirá un factor de . Esto asegura que la acción sea invariante bajo transformaciones de coordenadas generales. En la literatura matemática, el espacio-tiempo se considera una variedad de Riemann y la integral se convierte en la forma de volumen.

Aquí, el es el producto de la cuña y es la raíz cuadrada del determinante del tensor métrico en . Para el espaciotiempo plano ( por ejemplo, el espaciotiempo de Minkowski ), la unidad de volumen es uno, es decir, por lo que comúnmente se omite, cuando se habla de la teoría de campos en el espaciotiempo plano. Del mismo modo, el uso de los símbolos del producto de la cuña no ofrece información adicional sobre el concepto ordinario de volumen en el cálculo multivariado, por lo que también se eliminan. Algunos libros de texto más antiguos, por ejemplo , Landau y Lifschitz, escriben para la forma de volumen, ya que el signo menos es apropiado para tensores métricos con firma (+ −−−) o (- +++) (ya que el determinante es negativo, en cualquier caso). Cuando se habla de teoría de campos sobre variedades de Riemann en general, la forma del volumen generalmente se escribe en la notación abreviada donde está la estrella de Hodge . Es decir,

y entonces

No es infrecuente que la notación anterior se considere completamente superflua, y

se ve con frecuencia. No se deje engañar: la forma de volumen está implícitamente presente en la integral anterior, incluso si no está escrita explícitamente.

Ecuaciones de Euler-Lagrange

Las ecuaciones de Euler-Lagrange describen el flujo geodésico del campo en función del tiempo. Tomando la variación con respecto a , se obtiene

Resolviendo, con respecto a las condiciones de contorno , se obtienen las ecuaciones de Euler-Lagrange :

Ejemplos de

Se ha formulado una gran variedad de sistemas físicos en términos de lagrangianos sobre campos. A continuación se muestra una muestra de algunos de los más comunes que se encuentran en los libros de texto de física sobre teoría de campos.

Gravedad newtoniana

La densidad lagrangiana para la gravedad newtoniana es:

donde Φ es el potencial gravitacional , ρ es la densidad de masa y G en m 3 · kg −1 · s −2 es la constante gravitacional . La densidad tiene unidades de J · m −3 . Aquí, el término de interacción implica una densidad de masa continua ρ en kg · m −3 . Esto es necesario porque el uso de una fuente puntual para un campo daría lugar a dificultades matemáticas.

Este lagrangiano se puede escribir en forma de , proporcionando un término cinético y la interacción el término potencial. Esta forma se repite en el siguiente ejemplo de una teoría de campo escalar.

La variación de la integral con respecto a Φ es:

Después de integrar por partes, descartar la integral total y dividir por δΦ, la fórmula se convierte en:

que es equivalente a:

lo que produce la ley de Gauss para la gravedad .

Teoría del campo escalar

El lagrangiano para un campo escalar que se mueve en un potencial se puede escribir como

No es en absoluto un accidente que la teoría escalar se parezca al Lagrangiano de los libros de texto de pregrado para el término cinético de una partícula de punto libre escrito como . La teoría escalar es la generalización de la teoría de campos de una partícula que se mueve en un potencial. Cuando es el potencial del sombrero mexicano , los campos resultantes se denominan campos de Higgs .

Modelo Sigma Lagrangiano

El modelo sigma describe el movimiento de una partícula puntual escalar obligada a moverse en una variedad de Riemann , como un círculo o una esfera. Generaliza el caso de campos escalares y vectoriales, es decir, campos restringidos para moverse en una variedad plana. El lagrangiano se escribe comúnmente en una de tres formas equivalentes:

donde es el diferencial . Una expresión equivalente es

con la métrica de Riemann en la variedad del campo; es decir, los campos son solo coordenadas locales en el gráfico de coordenadas de la variedad. Una tercera forma común es

con

y el grupo de Lie SU (N) . Este grupo puede ser reemplazado por cualquier grupo de Lie o, más generalmente, por un espacio simétrico . El rastro es solo la forma Asesina escondida; la forma Killing proporciona una forma cuadrática en la variedad de campo, el lagrangiano es solo el retroceso de esta forma. Alternativamente, el Lagrangiano también puede verse como el retroceso de la forma Maurer-Cartan al espacio-tiempo base.

En general, los modelos sigma exhiben soluciones de solitones topológicos . El más famoso y mejor estudiado de ellos es el Skyrmion , que sirve como modelo del nucleón que ha resistido la prueba del tiempo.

Electromagnetismo en relatividad especial

Considere una partícula puntual, una partícula cargada, que interactúa con el campo electromagnético . Los términos de interacción

se reemplazan por términos que implican una densidad de carga continua ρ en A · s · m −3 y una densidad de corriente en A · m −2 . La densidad lagrangiana resultante para el campo electromagnético es:

Variando esto con respecto a ϕ, obtenemos

que produce la ley de Gauss .

Variando en cambio con respecto a , obtenemos

que produce la ley de Ampère .

Usando la notación tensorial , podemos escribir todo esto de manera más compacta. El término es en realidad el producto interno de dos cuatro vectores . Empaquetamos la densidad de carga en el 4-vector actual y el potencial en el 4-vector potencial. Estos dos nuevos vectores son

Entonces podemos escribir el término de interacción como

Además, podemos empaquetar los campos E y B en lo que se conoce como tensor electromagnético . Definimos este tensor como

El término que buscamos resulta ser

Hemos utilizado la métrica de Minkowski para elevar los índices del tensor EMF. En esta notación, las ecuaciones de Maxwell son

donde ε es el tensor de Levi-Civita . Entonces, la densidad de Lagrange para el electromagnetismo en relatividad especial escrita en términos de vectores y tensores de Lorentz es

En esta notación, es evidente que el electromagnetismo clásico es una teoría invariante de Lorentz. Por el principio de equivalencia , resulta sencillo extender la noción de electromagnetismo al espacio-tiempo curvo.

Electromagnetismo y ecuaciones de Yang-Mills

Usando formas diferenciales , la acción electromagnética S en el vacío en una variedad (pseudo) riemanniana se puede escribir (usando unidades naturales , c = ε 0 = 1 ) como

Aquí, A representa la forma 1 del potencial electromagnético, J es la forma 1 actual, F es la forma 2 de la intensidad de campo y la estrella indica el operador de estrella de Hodge . Este es exactamente el mismo lagrangiano que en la sección anterior, excepto que el tratamiento aquí no tiene coordenadas; expandir el integrando en una base produce la expresión idéntica y larga. Tenga en cuenta que con los formularios, no es necesaria una medida de integración adicional porque los formularios tienen diferenciales de coordenadas incorporados. La variación de la acción conduce a

Estas son las ecuaciones de Maxwell para el potencial electromagnético. Sustituyendo F = d A inmediatamente se obtiene la ecuación para los campos,

porque F es una forma exacta .

El Un campo puede ser entendido como la conexión afín en una U (1) - haz de fibras . Es decir, la electrodinámica clásica, todos sus efectos y ecuaciones, pueden entenderse completamente en términos de un haz circular sobre el espacio-tiempo de Minkowski .

Las ecuaciones de Yang-Mills se pueden escribir exactamente de la misma forma que las anteriores, reemplazando el grupo de Lie U (1) del electromagnetismo por un grupo de Lie arbitrario. En el modelo estándar , convencionalmente se considera que es, aunque el caso general es de interés general. En todos los casos, no es necesario realizar ninguna cuantificación. Aunque las ecuaciones de Yang-Mills están arraigadas históricamente en la teoría cuántica de campos, las ecuaciones anteriores son puramente clásicas.

Funcional de Chern – Simons

En la misma línea que lo anterior, se puede considerar la acción en una dimensión menos, es decir, en una configuración de geometría de contacto . Esto le da al Chern-Simons funcional . Esta escrito como

La teoría de Chern-Simons fue profundamente explorada en física, como un modelo de juguete para una amplia gama de fenómenos geométricos que uno podría esperar encontrar en una gran teoría unificada .

Ginzburg – Landau Lagrangian

La densidad lagrangiana para la teoría de Ginzburg-Landau combina la lagrangiana para la teoría del campo escalar con la lagrangiana para la acción de Yang-Mills . Puede estar escrito como:

donde es una sección de un paquete de vectores con fibra . El corresponde al parámetro de orden en un superconductor ; de manera equivalente, corresponde al campo de Higgs , después de señalar que el segundo término es el famoso potencial "Sombrero sombrero" . El campo es el campo de calibre (no abeliano), es decir, el campo de Yang-Mills y es su intensidad de campo. Las ecuaciones de Euler-Lagrange para el funcional de Ginzburg-Landau son las ecuaciones de Yang-Mills

y

donde está el operador de estrella de Hodge , es decir, el tensor completamente antisimétrico. Estas ecuaciones están estrechamente relacionadas con las ecuaciones de Yang-Mills-Higgs . Otro lagrangiano estrechamente relacionado se encuentra en la teoría de Seiberg-Witten .

Dirac Lagrangiano

La densidad lagrangiana para un campo de Dirac es:

donde es un spinor de Dirac , es su adjunto de Dirac y es la notación de barra de Feynman para . No hay una necesidad particular de centrarse en los espinores de Dirac en la teoría clásica. Los espinores de Weyl proporcionan una base más general; pueden construirse directamente a partir del álgebra de Clifford del espacio-tiempo; la construcción funciona en cualquier número de dimensiones, y los espinores de Dirac aparecen como un caso especial. Los espinores de Weyl tienen la ventaja adicional de que pueden usarse en un vielbein para la métrica en una variedad de Riemann; esto permite el concepto de una estructura de espín , que, en términos generales, es una forma de formular espinores consistentemente en un espacio-tiempo curvo.

Lagrangiano electrodinámico cuántico

La densidad lagrangiana para QED combina el lagrangiano para el campo de Dirac junto con el lagrangiano para la electrodinámica de forma invariante en cuanto a la medición. Está:

donde es el tensor electromagnético , D es la derivada covariante de gauge y es la notación de Feynman para con donde es el cuatro potencial electromagnético . Aunque la palabra "cuántica" aparece en lo anterior, se trata de un artefacto histórico. La definición del campo de Dirac no requiere cuantificación alguna, se puede escribir como un campo puramente clásico de espinores de Weyl anticonmutación construido a partir de los primeros principios de un álgebra de Clifford . La formulación clásica invariante de calibre completo se da en Bleecker.

Lagrangiano cromodinámico cuántico

La densidad lagrangiana para la cromodinámica cuántica combina la lagrangiana para uno o más espinores de Dirac masivos con la lagrangiana para la acción de Yang-Mills , que describe la dinámica de un campo gauge; el lagrangiano combinado es invariante de calibre. Puede estar escrito como:

donde D es la derivada covariante de calibre QCD , n = 1, 2, ... 6 cuenta los tipos de quarks y es el tensor de intensidad de campo de gluones . En cuanto al caso de electrodinámica anterior, la aparición de la palabra "cuántica" arriba sólo reconoce su desarrollo histórico. El lagrangiano y su invariancia de calibre se pueden formular y tratar de una manera puramente clásica.

Gravedad de Einstein

La densidad de Lagrange para la relatividad general en presencia de campos de materia es

donde es la constante cosmológica , es el escalar de curvatura , que es el tensor de Ricci contraído con el tensor métrico , y el tensor de Ricci es el tensor de Riemann contraído con un delta de Kronecker . La integral de se conoce como acción de Einstein-Hilbert . El tensor de Riemann es el tensor de fuerza de marea y se construye a partir de símbolos de Christoffel y derivados de los símbolos de Christoffel, que definen la conexión métrica en el espacio-tiempo. El campo gravitacional en sí mismo se atribuyó históricamente al tensor métrico; la visión moderna es que la conexión es "más fundamental". Esto se debe al entendimiento de que se pueden escribir conexiones con torsión distinta de cero . Estos alteran la métrica sin alterar la geometría ni un poco. En cuanto a la "dirección en la que apunta la gravedad" (por ejemplo, en la superficie de la Tierra, apunta hacia abajo), esto proviene del tensor de Riemann: es lo que describe el "campo de fuerza gravitacional" que sienten y reaccionan los cuerpos en movimiento. para. (Esta última afirmación debe ser matizada: no hay un "campo de fuerza" per se ; los cuerpos en movimiento siguen a las geodésicas en la variedad descrita por la conexión. Se mueven en una " línea recta ").

El lagrangiano de la relatividad general también se puede escribir en una forma que lo haga manifiestamente similar a las ecuaciones de Yang-Mills. Esto se denomina principio de acción de Einstein-Yang-Mills . Esto se hace observando que la mayor parte de la geometría diferencial funciona "muy bien" en paquetes con una conexión afín y un grupo de Lie arbitrario. Luego, conectando SO (3,1) para ese grupo de simetría, es decir, para los campos del marco , se obtienen las ecuaciones anteriores.

Sustituyendo este lagrangiano en la ecuación de Euler-Lagrange y tomando el tensor métrico como campo, obtenemos las ecuaciones de campo de Einstein

es el tensor de impulso de energía y está definido por

donde es el determinante del tensor métrico cuando se considera una matriz. Generalmente, en la relatividad general, la medida de integración de la acción de la densidad de Lagrange es . Esto hace que la coordenada integral sea independiente, ya que la raíz del determinante métrico es equivalente al determinante jacobiano . El signo menos es una consecuencia de la firma métrica (el determinante en sí mismo es negativo). Este es un ejemplo de la forma de volumen , discutida anteriormente, que se manifiesta en el espacio-tiempo no plano.

Electromagnetismo en relatividad general

La densidad de Lagrange del electromagnetismo en relatividad general también contiene la acción de Einstein-Hilbert desde arriba. El lagrangiano electromagnético puro es precisamente una cuestión lagrangiana . El lagrangiano es

Este lagrangiano se obtiene simplemente reemplazando la métrica de Minkowski en el lagrangiano plano anterior por una métrica más general (posiblemente curva) . Podemos generar las ecuaciones de campo de Einstein en presencia de un campo EM utilizando este lagrangiano. El tensor de energía-momento es

Se puede demostrar que este tensor de momento de energía no tiene traza, es decir, que

Si tomamos la traza de ambos lados de las ecuaciones de campo de Einstein, obtenemos

Entonces, la ausencia de rastros del tensor de impulso de energía implica que el escalar de curvatura en un campo electromagnético se desvanece. Las ecuaciones de Einstein son entonces

Además, las ecuaciones de Maxwell son

donde es la derivada covariante . Por espacio libre, podemos establecer la corriente de tensor de igual a cero, . Resolver las ecuaciones de Einstein y Maxwell alrededor de una distribución de masa esféricamente simétrica en el espacio libre conduce al agujero negro cargado de Reissner-Nordström , con el elemento de línea definitorio (escrito en unidades naturales y con carga Q):

Una posible forma de unificar los lagrangianos electromagnéticos y gravitacionales (mediante el uso de una quinta dimensión) está dada por la teoría de Kaluza-Klein . Efectivamente, uno construye un paquete afín, al igual que para las ecuaciones de Yang-Mills dadas anteriormente, y luego considera la acción por separado en las partes de 4 dimensiones y de 1 dimensión. Tales factorizaciones , como el hecho de que la esfera 7 puede escribirse como un producto de la esfera 4 y la esfera 3, o que la esfera 11 es un producto de la esfera 4 y la esfera 7, se contabilizan para gran parte de la excitación inicial de que se había encontrado una teoría de todo . Desafortunadamente, la esfera de 7 resultó no ser lo suficientemente grande para encerrar todo el modelo estándar , frustrando estas esperanzas.

Ejemplos adicionales

  • El modelo BF lagrangiano, abreviatura de "campo de fondo", describe un sistema con dinámica trivial, cuando se escribe en una variedad de espacio-tiempo plana. En un espacio-tiempo topológicamente no trivial, el sistema tendrá soluciones clásicas no triviales, que pueden interpretarse como solitones o instantones . Existe una variedad de extensiones, que forman las bases de las teorías de campo topológico .

Ver también

Notas

Citas