Hamiltoniano (mecánica cuántica) - Hamiltonian (quantum mechanics)

En la mecánica cuántica , el hamiltoniano de un sistema es un operador correspondiente a la energía total de dicho sistema, que incluye tanto la energía cinética y la energía potencial . Su espectro , el espectro de energía del sistema o su conjunto de valores propios de energía , es el conjunto de posibles resultados que se pueden obtener a partir de una medición de la energía total del sistema. Debido a su estrecha relación con el espectro de energía y la evolución temporal de un sistema, es de fundamental importancia en la mayoría de las formulaciones de la teoría cuántica .

El hamiltoniano lleva el nombre de William Rowan Hamilton , quien desarrolló una reformulación revolucionaria de la mecánica newtoniana , conocida como mecánica hamiltoniana , que fue históricamente importante para el desarrollo de la física cuántica. Similar a la notación vectorial , generalmente se denota por , donde el sombrero indica que es un operador. También se puede escribir como o .

Introducción

El hamiltoniano de un sistema es la suma de las energías cinéticas de todas las partículas, más la energía potencial de las partículas asociadas con el sistema. El hamiltoniano toma diferentes formas y se puede simplificar en algunos casos teniendo en cuenta las características concretas del sistema bajo análisis, como una o varias partículas en el sistema, interacción entre partículas, tipo de energía potencial, potencial variable en el tiempo o independiente del tiempo. uno.

Hamiltoniano Schrödinger

Una partícula

Por analogía con la mecánica clásica , el hamiltoniano se expresa comúnmente como la suma de operadores correspondientes a las energías cinética y potencial de un sistema en la forma

dónde

es el potencial operador de energía y

es el operador de energía cinética en el que es la masa de la partícula, el punto denota el producto escalar de los vectores y

es el operador de impulso donde a es el operador del . El producto escalar de consigo mismo es el laplaciano . En tres dimensiones usando coordenadas cartesianas, el operador de Laplace es

Aunque esta no es la definición técnica del hamiltoniano en la mecánica clásica , es la forma que adopta con más frecuencia. La combinación de estos produce la forma familiar utilizada en la ecuación de Schrödinger :

lo que permite aplicar el hamiltoniano a sistemas descritos por una función de onda . Este es el enfoque comúnmente adoptado en los tratamientos introductorios de la mecánica cuántica, utilizando el formalismo de la mecánica ondulatoria de Schrödinger.

También se pueden realizar sustituciones de ciertas variables para que se ajusten a casos específicos, como algunos que involucran campos electromagnéticos.

Muchas partículas

El formalismo se puede extender a partículas:

dónde

es la función de energía potencial, ahora una función de la configuración espacial del sistema y el tiempo (un conjunto particular de posiciones espaciales en algún instante de tiempo define una configuración) y

es el operador de energía cinética de la partícula , es el gradiente de la partícula y es el Laplaciano para la partícula n:

La combinación de estos produce el Hamiltoniano de Schrödinger para el caso de partículas:

Sin embargo, pueden surgir complicaciones en el problema de muchos cuerpos . Dado que la energía potencial depende de la disposición espacial de las partículas, la energía cinética también dependerá de la configuración espacial para conservar energía. El movimiento debido a cualquier partícula variará debido al movimiento de todas las demás partículas en el sistema. Por esta razón, pueden aparecer términos cruzados para la energía cinética en el hamiltoniano; una mezcla de gradientes para dos partículas:

donde denota la masa de la colección de partículas que resulta en esta energía cinética adicional. Los términos de esta forma se conocen como términos de polarización de masa y aparecen en el hamiltoniano de muchos átomos de electrones (ver más abajo).

Para las partículas que interactúan, es decir, las partículas que interactúan entre sí y constituyen una situación de muchos cuerpos, la función de energía potencial no es simplemente una suma de los potenciales separados (y ciertamente no es un producto, ya que esto es dimensionalmente incorrecto). La función de energía potencial solo se puede escribir como se indicó anteriormente: una función de todas las posiciones espaciales de cada partícula.

Para partículas que no interactúan, es decir, partículas que no interactúan entre sí y se mueven independientemente, el potencial del sistema es la suma de la energía potencial separada para cada partícula, es decir

La forma general del hamiltoniano en este caso es:

donde se toma la suma de todas las partículas y sus correspondientes potenciales; el resultado es que el hamiltoniano del sistema es la suma de los hamiltonianos separados para cada partícula. Ésta es una situación idealizada; en la práctica, las partículas casi siempre están influenciadas por algún potencial y hay interacciones de muchos cuerpos. Un ejemplo ilustrativo de una interacción de dos cuerpos donde esta forma no se aplicaría es para los potenciales electrostáticos debidos a partículas cargadas, porque interactúan entre sí mediante la interacción de Coulomb (fuerza electrostática), como se muestra a continuación.

Ecuación de Schrödinger

El hamiltoniano genera la evolución temporal de los estados cuánticos. Si es el estado del sistema en ese momento , entonces

Esta ecuación es la ecuación de Schrödinger . Toma la misma forma que la ecuación de Hamilton-Jacobi , que es una de las razones por las que también se llama hamiltoniana. Dado el estado en algún momento inicial ( ), podemos resolverlo para obtener el estado en cualquier momento posterior. En particular, si es independiente del tiempo, entonces

El operador exponencial en el lado derecho de la ecuación de Schrödinger generalmente se define por la serie de potencia correspondiente en . Uno podría notar que tomar polinomios o series de potencias de operadores ilimitados que no están definidos en todas partes puede no tener sentido matemático. De manera rigurosa, para asumir funciones de operadores ilimitados, se requiere un cálculo funcional . En el caso de la función exponencial, es suficiente el cálculo funcional continuo , o simplemente holomórfico . Notamos nuevamente, sin embargo, que para cálculos comunes la formulación de los físicos es bastante suficiente.

Por la propiedad * - homomorfismo del cálculo funcional, el operador

es un operador unitario . Es el operador de evolución temporal , o propagador , de un sistema cuántico cerrado. Si el hamiltoniano es independiente del tiempo, forme un grupo unitario de un parámetro (más de un semigrupo ); esto da lugar al principio físico del equilibrio detallado .

Formalismo de Dirac

Sin embargo, en el formalismo más general de Dirac , el hamiltoniano se implementa típicamente como un operador en un espacio de Hilbert de la siguiente manera:

Los mercados propios ( vectores propios ) de , denotados , proporcionan una base ortonormal para el espacio de Hilbert. El espectro de niveles de energía permitidos del sistema viene dado por el conjunto de valores propios, denotado , resolviendo la ecuación:

Dado que es un operador hermitiano , la energía es siempre un número real .

Desde un punto de vista matemáticamente riguroso, se debe tener cuidado con los supuestos anteriores. Los operadores en espacios de Hilbert de dimensión infinita no necesitan tener valores propios (el conjunto de valores propios no coincide necesariamente con el espectro de un operador ). Sin embargo, todos los cálculos mecánicos cuánticos de rutina se pueden realizar utilizando la formulación física.

Expresiones para el hamiltoniano

A continuación se presentan expresiones para el hamiltoniano en varias situaciones. Las formas típicas de clasificar las expresiones son el número de partículas, el número de dimensiones y la naturaleza de la función de energía potencial, lo que es importante, la dependencia del espacio y el tiempo. Las misas se indican con y los cargos con .

Formas generales para una partícula

Partícula libre

La partícula no está limitada por ninguna energía potencial, por lo que el potencial es cero y este hamiltoniano es el más simple. Para una dimensión:

y en dimensiones superiores:

Pozo de potencial constante

Para una partícula en una región de potencial constante (sin dependencia del espacio o del tiempo), en una dimensión, el hamiltoniano es:

en tres dimensiones

Esto se aplica al problema elemental de " partícula en una caja " y potenciales de paso .

Oscilador armónico simple

Para un oscilador armónico simple en una dimensión, el potencial varía con la posición (pero no el tiempo), de acuerdo con:

donde la frecuencia angular , la constante de resorte efectiva y la masa del oscilador satisfacen:

entonces el hamiltoniano es:

Para tres dimensiones, esto se convierte en

donde el vector de posición tridimensional usando coordenadas cartesianas es ( , , ), su magnitud es

Escribir el hamiltoniano en su totalidad muestra que es simplemente la suma de los hamiltonianos unidimensionales en cada dirección:

Rotor rígido

Para un rotor rígido , es decir, un sistema de partículas que pueden rotar libremente alrededor de cualquier eje, sin ningún potencial (como moléculas libres con grados de libertad vibracionales insignificantes , digamos debido a enlaces químicos dobles o triples ), el hamiltoniano es:

donde , , y son el momento de inercia componentes (técnicamente los elementos diagonales de la momento de tensor de inercia ), y , y son el total de momento angular operadores (componentes), sobre el , y ejes, respectivamente.

Potencial electrostático o de culombio

La energía potencial de Coulomb para dos cargas puntuales y (es decir, aquellas que no tienen extensión espacial de forma independiente), en tres dimensiones, es (en unidades SI, en lugar de unidades gaussianas que se usan con frecuencia en electromagnetismo ):

Sin embargo, esto es solo la posibilidad de que una carga puntual se deba a otra. Si hay muchas partículas cargadas, cada carga tiene una energía potencial debido a cualquier otra carga puntual (excepto a sí misma). Para las cargas, la energía potencial de carga debida a todas las demás cargas es (consulte también Energía potencial electrostática almacenada en una configuración de cargas puntuales discretas ):

donde está el potencial electrostático de carga en . El potencial total del sistema es entonces la suma de :

entonces el hamiltoniano es:

Dipolo eléctrico en un campo eléctrico

Para un momento dipolar eléctrico que constituye cargas de magnitud , en un campo electrostático uniforme (independiente del tiempo) , colocado en un lugar, el potencial es:

el momento dipolar en sí mismo es el operador

Dado que la partícula es estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es solo la energía potencial:

Dipolo magnético en un campo magnético

Para un momento dipolar magnético en un campo magnetostático uniforme (independiente del tiempo) , colocado en un lugar, el potencial es:

Dado que la partícula es estacionaria, no hay energía cinética de traslación del dipolo, por lo que el hamiltoniano del dipolo es solo la energía potencial:

Para una partícula de espín ½ , el momento magnético de espín correspondiente es:

donde es la relación giromagnética de espín (también conocida como " factor g de espín "), es la carga del electrón, es el vector del operador de espín , cuyos componentes son las matrices de Pauli , por lo tanto

Partícula cargada en un campo electromagnético

Para una partícula con masa y carga en un campo electromagnético, descrita por el potencial escalar y el potencial vectorial , el hamiltoniano tiene dos partes para sustituir. El operador de momento canónico , que incluye una contribución del campo y cumple la relación de conmutación canónica , debe cuantificarse;

,

donde es el operador de momento cinético . La prescripción de cuantificación dice

,

por lo que el operador de energía cinética correspondiente es

y la energía potencial, que se debe al campo, está dada por

.

Poner todo esto en el hamiltoniano da

.

Leyes de conservación, simetría y degeneración de la bolsa propia de energía

En muchos sistemas, dos o más estados propios de energía tienen la misma energía. Un ejemplo simple de esto es una partícula libre, cuyos estados propios de energía tienen funciones de onda que propagan ondas planas. La energía de cada una de estas ondas planas es inversamente proporcional al cuadrado de su longitud de onda . Una onda que se propaga en la dirección es un estado diferente de una que se propaga en la dirección, pero si tienen la misma longitud de onda, entonces sus energías serán las mismas. Cuando esto sucede, se dice que los estados están degenerados .

Resulta que la degeneración ocurre siempre que un operador unitario no trivial conmuta con el hamiltoniano. Para ver esto, suponga que es un eigenket de energía. Entonces es un eigenket de energía con el mismo valor propio, ya que

Dado que no es trivial, al menos un par de y debe representar estados distintos. Por lo tanto, tiene al menos un par de mercados propios de energía degenerados. En el caso de la partícula libre, el operador unitario que produce la simetría es el operador de rotación , que rota las funciones de onda en algún ángulo mientras conserva su forma.

La existencia de un operador de simetría implica la existencia de un observable conservado . Sea el hermitiano generador de :

Es sencillo mostrar que si se conmuta con , también lo hace :

Por lo tanto,

Para obtener este resultado, hemos utilizado la ecuación de Schrödinger, así como su dual ,

Por lo tanto, el valor esperado de lo observable se conserva para cualquier estado del sistema. En el caso de la partícula libre, la cantidad conservada es el momento angular .

Ecuaciones de Hamilton

Hamilton ecuaciones clásicas 's en mecánica hamiltoniana tienen una analogía directa en la mecánica cuántica. Supongamos que tenemos un conjunto de estados básicos , que no tienen por qué ser necesariamente estados propios de la energía. Para simplificar, asumimos que son discretos y que son ortonormales, es decir,

Tenga en cuenta que se supone que estos estados base son independientes del tiempo. Supondremos que el hamiltoniano también es independiente del tiempo.

El estado instantáneo del sistema en el tiempo , puede ser ampliado en función de estos estados de la base:

dónde

Los coeficientes son variables complejas . Podemos tratarlos como coordenadas que especifican el estado del sistema, como las coordenadas de posición y momento que especifican un sistema clásico. Como las coordenadas clásicas, generalmente no son constantes en el tiempo y su dependencia temporal da lugar a la dependencia temporal del sistema en su conjunto.

El valor esperado del hamiltoniano de este estado, que también es la energía media, es

donde el último paso se obtuvo expandiendo en términos de los estados base.

Cada uno corresponde realmente a dos grados de libertad independientes, ya que la variable tiene una parte real y una imaginaria. Ahora realizamos el siguiente truco: en lugar de usar las partes real e imaginaria como variables independientes, usamos y su conjugado complejo . Con esta elección de variables independientes, podemos calcular la derivada parcial

Aplicando la ecuación de Schrödinger y usando la ortonormalidad de los estados base, esto se reduce aún más a

Del mismo modo, se puede demostrar que

Si definimos las variables de "momento conjugado" por

entonces las ecuaciones anteriores se convierten en

que es precisamente la forma de las ecuaciones de Hamilton, con la s como coordenadas generalizadas, la s como momentos conjugados y ocupando el lugar del hamiltoniano clásico.

Ver también

Referencias