Grupo compacto - Compact group

El círculo del centro 0 y el radio 1 en el plano complejo es un grupo de Lie compacto con multiplicación compleja.

En matemáticas , un compacto ( topológico ) grupo es un grupo topológico cuya topología es compacto (cuando un elemento del grupo se hace funcionar en, el resultado también está dentro del grupo). Los grupos compactos son una generalización natural de grupos finitos con la topología discreta y tienen propiedades que se transfieren de manera significativa. Los grupos compactos tienen una teoría bien entendida, en relación con las acciones grupales y la teoría de la representación .

A continuación, asumiremos que todos los grupos son espacios de Hausdorff .

Grupos de Compact Lie

Los grupos de Lie forman una clase de grupos topológicos, y los grupos de Lie compactos tienen una teoría particularmente bien desarrollada. Los ejemplos básicos de grupos de Lie compactos incluyen

el grupo circular T y los grupos toroides T ⁿ ,
los grupos ortogonales O ( n ), el grupo ortogonal especial SO ( n ) y su grupo de espín de cobertura Spin ( n ),
el grupo unitario U ( n ) y el grupo unitario especial SU ( n ),
el grupo simpléctico Sp ( n ),
las formas compactas de los excepcionales grupos de Lie : G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ y E ₈ ,

El teorema de clasificación de los grupos de Lie compactos establece que hasta extensiones finitas y cubiertas finitas esto agota la lista de ejemplos (que ya incluye algunas redundancias). Esta clasificación se describe con más detalle en la siguiente subsección.

Clasificación

Dado cualquier grupo de Lie compacto G, se puede tomar su componente de identidad G ₀ , que está conectado . El grupo cociente G / G ₀ es el grupo de componentes π ₀ ( G ) que debe ser finito ya que G es compacto. Por tanto, tenemos una extensión finita

{\ Displaystyle 1 \ to G_ {0} \ to G \ to \ pi _ {0} (G) \ to 1.}

Mientras tanto, para los grupos de Lie compactos conectados, tenemos el siguiente resultado:

Teorema : Todo grupo de Lie compacto conectado es el cociente entre un subgrupo central finito de un producto de un grupo de Lie compacto simplemente conectado y un toro.

Por lo tanto, la clasificación de los grupos de Lie compactos conectados se puede reducir en principio al conocimiento de los grupos de Lie compactos simplemente conectados junto con información sobre sus centros. (Para obtener información sobre el centro, consulte la sección a continuación sobre el grupo fundamental y el centro).

Finalmente, cada grupo de Lie compacto, conectado y simplemente conectado K es un producto de grupos de Lie simples compactos, conectados y simplemente conectados K _i, cada uno de los cuales es isomorfo exactamente a uno de los siguientes:

El grupo simpléctico compacto ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (n), \, n \ geq 1}$
El grupo unitario especial ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n), \, n \ geq 3}$
El grupo de giro ${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (n), \, n \ geq 7}$

o uno de los cinco grupos excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ y E ₈ . Las restricciones sobre n son para evitar isomorfismos especiales entre las diversas familias para valores pequeños de n . Para cada uno de estos grupos, el centro se conoce explícitamente. La clasificación es a través del sistema de raíces asociado (para un toro máximo fijo), que a su vez se clasifican por sus diagramas de Dynkin .

La clasificación de grupos de Lie compactos y simplemente conectados es la misma que la clasificación de álgebras de Lie complejas semisimples . De hecho, si K es un grupo de Lie compacto simplemente conectado, entonces la complexificación del álgebra de Lie de K es semisimple. A la inversa, todo álgebra de Lie compleja semisimple tiene una forma real compacta isomórfica a la álgebra de Lie de un grupo de Lie compacto y simplemente conectado.

Toros máximos y sistemas radiculares

Una idea clave en el estudio de un grupo de Lie compacto conectado K es el concepto de un toro máximo , que es un subgrupo T de K que es isomorfo a un producto de varias copias de y que no está contenido en ningún subgrupo más grande de este tipo. . Un ejemplo básico es el caso , en cuyo caso podemos tomar como el grupo de elementos diagonales en . Un resultado básico es el teorema del toro que establece que cada elemento de pertenece a un toro máximo y que todos los toros máximos son conjugados. ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle K = \ operatorname {SU} (n)}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle K}$

El toro máximo en un grupo compacto juega un papel análogo al de la subálgebra de Cartan en un álgebra de Lie semisimple compleja. En particular, una vez que se ha elegido un toro máximo , se puede definir un sistema de raíces y un grupo de Weyl similar al que se tiene para las álgebras de Lie semisimple . Estas estructuras juegan entonces un papel esencial tanto en la clasificación de grupos compactos conectados (descrita anteriormente) como en la teoría de representación de un grupo fijo de este tipo (descrita a continuación). ${\ Displaystyle T \ subconjunto K}$

Los sistemas raíz asociados a los grupos compactos simples que aparecen en la clasificación de grupos compactos simplemente conectados son los siguientes:

Los grupos unitarios especiales corresponden al sistema raíz. ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$ ${\ Displaystyle A_ {n-1}}$
Los grupos de espín impares corresponden al sistema raíz ${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (2n + 1)}$ ${\ Displaystyle B_ {n}}$
Los grupos simplécticos compactos corresponden al sistema de raíces ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$ ${\ Displaystyle C_ {n}}$
Los grupos de espín pares corresponden al sistema raíz ${\ Displaystyle \ operatorname {Spin} (2n)}$ ${\ Displaystyle D_ {n}}$
Los grupos de Lie compactos excepcionales corresponden a los cinco sistemas de raíces excepcionales G ₂ , F ₄ , E ₆ , E ₇ o E ₈

Grupo fundamental y centro

Es importante saber si un grupo de Lie compacto conectado está simplemente conectado y, en caso contrario, determinar su grupo fundamental . Para los grupos de Lie compactos, hay dos enfoques básicos para calcular el grupo fundamental. El primer enfoque se aplica a los grupos compactos clásicos , , , y y procede por inducción sobre . El segundo enfoque utiliza el sistema raíz y se aplica a todos los grupos de Lie compactos conectados. ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {U} (n)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SO} (n)}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {Sp} (n)}$ ${\ Displaystyle n}$

También es importante conocer el centro de un grupo de Lie compacto conectado. El centro de un grupo clásico se puede calcular fácilmente "a mano" y, en la mayoría de los casos, consiste simplemente en las raíces de la identidad en las que se encuentran . (El SO grupo (2) es una excepción-el centro es todo el grupo, a pesar de que la mayoría de los elementos no son raíces de la identidad). Así, por ejemplo, el centro de consta de n th raíces de veces la unidad de la identidad, una grupo cíclico de orden . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle \ operatorname {SU} (n)}$ ${\ Displaystyle n}$

En general, el centro se puede expresar en términos de la red de la raíz y el núcleo del mapa exponencial para el toro máximo. El método general muestra, por ejemplo, que el grupo compacto simplemente conectado correspondiente al sistema de raíces excepcional tiene un centro trivial. Por lo tanto, el grupo compacto es uno de los pocos grupos compactos simples que están simultáneamente conectados de manera simple y sin centro. (Los otros son y .) ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle G_ {2}}$ ${\ Displaystyle F_ {4}}$ ${\ Displaystyle E_ {8}}$

Más ejemplos

Entre los grupos que no son grupos de Lie, y por lo tanto no llevan la estructura de una variedad , ejemplos son el grupo aditivo Z _p de enteros p-ádicos y construcciones a partir de él. De hecho, cualquier grupo lucrativo es un grupo compacto. Esto significa que los grupos de Galois son grupos compactos, un hecho básico para la teoría de extensiones algebraicas en el caso de grado infinito.

La dualidad de Pontryagin proporciona una gran cantidad de ejemplos de grupos conmutativos compactos. Estos están en dualidad con grupos discretos abelianos .

Medida de Haar

Todos los grupos compactos llevan una medida de Haar , que será invariante por traslación tanto a la izquierda como a la derecha (la función del módulo debe ser un homomorfismo continuo a reales positivos ( R ⁺ , ×), y por tanto 1). En otras palabras, estos grupos son unimodulares . La medida de Haar se normaliza fácilmente para ser una medida de probabilidad , análoga a dθ / 2π en el círculo.

En muchos casos, esta medida de Haar es fácil de calcular; por ejemplo, para los grupos ortogonales lo conocía Adolf Hurwitz , y en el grupo de Lie los casos siempre pueden estar dados por una forma diferencial invariante . En el caso profinito hay muchos subgrupos de índice finito , y la medida de Haar de una clase lateral será la recíproca del índice. Por lo tanto, las integrales a menudo se pueden calcular de manera bastante directa, un hecho que se aplica constantemente en la teoría de números .

Si es un grupo compacto y es la medida de Haar asociada, el teorema de Peter-Weyl proporciona una descomposición de como una suma directa ortogonal de subespacios de dimensión finita de entradas de matriz para las representaciones irreductibles de . ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle L ^ {2} (K, dm)}$ ${\ Displaystyle K}$

Teoría de la representación

La teoría de la representación de grupos compactos (no necesariamente grupos de Lie y no necesariamente conectados) fue fundada por el teorema de Peter-Weyl . Hermann Weyl pasó a dar la teoría detallada del carácter de los grupos de Lie conectados compactos, basada en la teoría del toro máximo . La fórmula del carácter de Weyl resultante fue uno de los resultados influyentes de las matemáticas del siglo XX. La combinación del teorema de Peter-Weyl y la fórmula del carácter de Weyl llevó a Weyl a una clasificación completa de las representaciones de un grupo de Lie compacto conectado; esta teoría se describe en la siguiente sección.

Una combinación de trabajo de Weyl y el teorema de Cartan ofrece un panorama de toda la teoría de la representación de los grupos compactos G . Es decir, según el teorema de Peter-Weyl las representaciones unitarias irreductibles ρ de G están en un grupo unitario (de dimensión finita) y la imagen será un subgrupo cerrado del grupo unitario por compacidad. El teorema de Cartan establece que Im (ρ) debe ser en sí mismo un subgrupo de Lie en el grupo unitario. Si G no es en sí mismo un grupo de Lie, debe haber un núcleo para ρ. Además, se puede formar un sistema inverso , para el núcleo de ρ cada vez más pequeño, de representaciones unitarias de dimensión finita, que identifica a G como un límite inverso de grupos de Lie compactos. Aquí el hecho de que en el límite se encuentre una representación fiel de G es otra consecuencia del teorema de Peter-Weyl.

La parte desconocida de la teoría de la representación de los grupos compactos se devuelve, en términos generales, a las representaciones complejas de los grupos finitos . Esta teoría es bastante rica en detalles, pero se comprende cualitativamente.

Teoría de representación de un grupo de Lie compacto conectado

Algunos ejemplos sencillos de la teoría de la representación de grupos de Lie compactos pueden elaborarse a mano, como las representaciones del grupo de rotación SO (3) , el grupo unitario especial SU (2) y el grupo unitario especial SU (3) . Nos centramos aquí en la teoría general. Véase también la teoría paralela de representaciones de un álgebra de Lie semisimple .

A lo largo de esta sección, fijamos un grupo de Lie compacto conectado K y una máxima toroide T en K .

Teoría de la representación de T

Dado que T es conmutativo, el lema de Schur nos dice que cada representación irreducible de T es unidimensional: ${\ Displaystyle \ rho}$

{\ Displaystyle \ rho: T \ rightarrow GL (1; \ mathbb {C}) = \ mathbb {C} ^ {*}.}

Dado que, también, T es compacto, en realidad debe mapearse en . ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle S ^ {1} \ subconjunto \ mathbb {C}}$

Para describir estas representaciones de manera concreta, dejamos que sea el álgebra de Lie de T y escribimos los puntos como ${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ ${\ Displaystyle h \ in T}$

{\ Displaystyle h = e ^ {H}, \ quad H \ in {\ mathfrak {t}}.}

En tales coordenadas, tendrá la forma ${\ Displaystyle \ rho}$

{\ Displaystyle \ rho (e ^ {H}) = e ^ {i \ lambda (H)}}

por alguna funcional lineal en . ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}}}$

Ahora bien, dado que el mapa exponencial no es inyectivo, no todos los funcionales lineales dan lugar a un mapa bien definido de T en . Más bien, denotemos el núcleo del mapa exponencial: ${\ Displaystyle H \ mapsto e ^ {H}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle \ Gamma}$

{\ Displaystyle \ Gamma = \ left \ {H \ in {\ mathfrak {t}} \ mid e ^ {2 \ pi H} = \ operatorname {Id} \ right \},}

donde es el elemento identidad de T . (Escalamos el mapa exponencial aquí por un factor de para evitar tales factores en otros lugares.) Luego, para dar un mapa bien definido , debe satisfacer ${\ Displaystyle \ operatorname {Id}}$ ${\ Displaystyle 2 \ pi}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

{\ Displaystyle \ lambda (H) \ in \ mathbb {Z}, \ quad H \ in \ Gamma,}

donde es el conjunto de números enteros. Un funcional lineal que satisface esta condición se denomina elemento analíticamente integral . Esta condición de integralidad está relacionada, pero no es idéntica, a la noción de elemento integral en el contexto de álgebras de Lie semisimples. ${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

Supongamos, por ejemplo, que T es solo el grupo de números complejos de valor absoluto 1. El álgebra de Lie es el conjunto de números puramente imaginarios, y el núcleo del mapa exponencial (escalado) es el conjunto de números de la forma donde es un entero. Un funcional lineal toma valores enteros en todos esos números si y solo si tiene la forma de algún número entero . Las representaciones irreductibles de T en este caso son unidimensionales y de la forma ${\ Displaystyle S ^ {1}}$ ${\ Displaystyle e ^ {i \ theta}}$ ${\ Displaystyle H = i \ theta, \, \ theta \ in \ mathbb {R},}$ ${\ Displaystyle en}$ ${\ Displaystyle n}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda (i \ theta) = k \ theta}$ ${\ Displaystyle k}$

{\ Displaystyle \ rho (e ^ {i \ theta}) = e ^ {ik \ theta}, \ quad k \ in \ mathbb {Z}.}

Teoría de la representación de K

Ejemplo de los pesos de una representación del grupo SU (3)

La representación de " óctuple " de SU (3), como se usa en física de partículas

Los puntos negros indican los elementos integrales dominantes para el grupo SU (3)

Denotemos ahora una representación irreducible de dimensión finita de K (sobre ). Entonces tenemos en cuenta la restricción de a T . Esta restricción no es irreductible a menos que sea unidimensional. Sin embargo, la restricción se descompone como una suma directa de representaciones irreducibles de T . (Nótese que una representación irreducible dada de T puede ocurrir más de una vez.) Ahora, cada representación irreducible de T es descrita por un funcional lineal como en la subsección anterior. Si un dato se produce al menos una vez en la descomposición de la restricción de a T , que llamamos un peso de . La estrategia de la teoría de la representación de K es clasificar las representaciones irreductibles en términos de sus pesos. ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ mathbb {C}}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$

Ahora describimos brevemente las estructuras necesarias para formular el teorema; se pueden encontrar más detalles en el artículo sobre pesos en la teoría de la representación . Necesitamos la noción de un sistema de raíces para K (relativo a un toro máximo T dado ). La construcción de este sistema de raíces es muy similar a la construcción de álgebras de Lie semisimples complejas . Específicamente, los pesos son los pesos distintos de cero para la acción adjunta de T en el álgebra de Lie complejizado de K . El sistema raíz R tiene todas las propiedades habituales de un sistema raíz , excepto que los elementos de R pueden no extenderse . Luego elegimos una base para R y decimos que un elemento integral es dominante si para todos . Finalmente, decimos que un peso es mayor que otro si su diferencia se puede expresar como una combinación lineal de elementos de con coeficientes no negativos. ${\ Displaystyle R \ subconjunto {\ mathfrak {t}}}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {t}}}$ ${\ Displaystyle \ Delta}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ lambda (\ alpha) \ geq 0}$ ${\ Displaystyle \ alpha \ in \ Delta}$ ${\ Displaystyle \ Delta}$

Las representaciones irreductibles de dimensión finita de K se clasifican luego mediante un teorema de mayor peso , que está estrechamente relacionado con el teorema análogo que clasifica las representaciones de un álgebra de Lie semisimple . El resultado dice que:

toda representación irreductible tiene el mayor peso,
el mayor peso es siempre un elemento dominante, analíticamente integral,
dos representaciones irreductibles con el mismo peso más alto son isomorfas, y
todo elemento dominante analíticamente integral surge como el mayor peso de una representación irreductible.

El teorema del mayor peso para las representaciones de K es entonces casi el mismo que para las álgebras de Lie semisimple, con una excepción notable: el concepto de elemento integral es diferente. Los pesos de una representación son analíticamente integrales en el sentido descrito en la subsección anterior. Todo elemento analíticamente integral es integral en el sentido del álgebra de Lie, pero no al revés. (Este fenómeno refleja que, en general, no todas las representaciones del álgebra de Lie provienen de una representación del grupo K ). Por otro lado, si K está simplemente conectado, el conjunto de posibles pesos más altos en el sentido de grupo es el mismo como el conjunto de posibles pesos más altos en el sentido del álgebra de Lie. ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Sigma}$ ${\ Displaystyle {\ mathfrak {k}}}$

La fórmula del personaje de Weyl

Si es una representación de K , definimos el carácter de como la función dada por ${\ Displaystyle \ Pi: K \ to \ operatorname {GL} (V)}$ ${\ Displaystyle \ Pi}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {X}: K \ a \ mathbb {C}}$

{\ Displaystyle \ mathrm {X} (x) = \ operatorname {trace} (\ Pi (x)), \ quad x \ in K}

.

Esta función se ve fácilmente a ser una función de la clase, es decir, para todos y en K . Por lo tanto, está determinado por su restricción a T . ${\ Displaystyle \ mathrm {X} (xyx ^ {- 1}) = \ mathrm {X} (y)}$ ${\ Displaystyle x}$ ${\ Displaystyle y}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {X}}$

El estudio de personajes es una parte importante de la teoría de la representación de grupos compactos. Un resultado fundamental, que es un corolario del teorema de Peter-Weyl , es que los personajes forman una base ortonormal para el conjunto de funciones de clase de cuadrado integrable en K . Un segundo resultado clave es la fórmula del carácter de Weyl , que proporciona una fórmula explícita para el carácter —o, más bien, la restricción del carácter a T— en términos del peso más alto de la representación.

En la teoría de la representación estrechamente relacionada de las álgebras de Lie semisimples, la fórmula del carácter de Weyl es un resultado adicional establecido después de que las representaciones hayan sido clasificadas. Sin embargo, en el análisis de Weyl del caso del grupo compacto, la fórmula del carácter de Weyl es en realidad una parte crucial de la clasificación en sí. Específicamente, en el análisis de Weyl de las representaciones de K , la parte más difícil del teorema, que muestra que cada elemento dominante analíticamente integral es en realidad el peso más alto de alguna representación, se demuestra de una manera totalmente diferente de la construcción habitual del álgebra de Lie usando Verma. módulos . En el enfoque de Weyl, la construcción se basa en el teorema de Peter-Weyl y una prueba analítica de la fórmula del carácter de Weyl . En última instancia, las representaciones irreducibles de K se realizan en el interior del espacio de las funciones continuas sobre K .

El caso SU (2)

Consideremos ahora el caso del grupo compacto SU (2). Las representaciones a menudo se consideran desde el punto de vista del álgebra de Lie , pero aquí las miramos desde el punto de vista del grupo. Tomamos el toro máximo como el conjunto de matrices de la forma

{\ displaystyle {\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}}.}

De acuerdo con el ejemplo discutido anteriormente en la sección sobre representaciones de T , los elementos analíticamente integrales se etiquetan con números enteros, de modo que los elementos dominantes analíticamente integrales son números enteros no negativos . La teoría general entonces nos dice que para cada uno , hay una representación irreductible única de SU (2) con mayor peso . ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle m}$ ${\ Displaystyle m}$

Mucha información sobre la representación correspondiente a un dato está codificada en su carácter. Ahora, la fórmula del carácter de Weyl dice, en este caso , que el carácter está dado por ${\ Displaystyle m}$

{\ Displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = {\ frac {\ sin ((m + 1) \ theta)} {\ sin (\ theta)}}.}

También podemos escribir el carácter como suma de exponenciales de la siguiente manera:

{\ Displaystyle \ mathrm {X} \ left ({\ begin {pmatrix} e ^ {i \ theta} & 0 \\ 0 & e ^ {- i \ theta} \ end {pmatrix}} \ right) = e ^ {im \ theta} + e ^ {i (m-2) \ theta} + \ cdots e ^ {- i (m-2) \ theta} + e ^ {- im \ theta}.}

(Si usamos la fórmula para la suma de una serie geométrica finita en la expresión anterior y la simplificamos, obtenemos la expresión anterior).

De esta última expresión y la fórmula estándar para el personaje en términos de los pesos de la representación , podemos leer que los pesos de la representación son

{\ Displaystyle m, m-2, \ ldots, - (m-2), - m,}

cada uno con multiplicidad uno. (Los pesos son los números enteros que aparecen en los exponentes de las exponenciales y las multiplicidades son los coeficientes de las exponenciales). Dado que hay pesos, cada uno con multiplicidad 1, la dimensión de la representación es . Así, recuperamos gran parte de la información sobre las representaciones que normalmente se obtiene del cálculo del álgebra de Lie. ${\ Displaystyle m + 1}$ ${\ Displaystyle m + 1}$

Un bosquejo de la prueba

Ahora esbozamos la demostración del teorema de mayor peso, siguiendo el argumento original de Hermann Weyl . Seguimos permitiendo que haya un grupo de Lie compacto conectado y un toro máximo fijo en . Nos enfocamos en la parte más difícil del teorema, mostrando que cada elemento dominante analíticamente integral es el peso más alto de alguna representación irreductible (de dimensión finita). ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle K}$

Las herramientas para la prueba son las siguientes:

El teorema del toro .
La fórmula integral de Weyl .
El teorema de Peter-Weyl para funciones de clase , que establece que los caracteres de las representaciones irreducibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables cuadradas en . ${\ Displaystyle K}$

Con estas herramientas en la mano, procedemos con la prueba. El primer paso importante en el argumento es probar la fórmula del carácter de Weyl . La fórmula establece que si es una representación irreductible con mayor peso , entonces el carácter de satisface: ${\ Displaystyle \ Pi}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ mathrm {X}}$ ${\ Displaystyle \ Pi}$

{\ Displaystyle \ mathrm {X} (e ^ {H}) = {\ frac {\ sum _ {w \ in W} \ det (w) e ^ {i \ langle w \ cdot (\ lambda + \ rho) , H \ rangle}} {\ sum _ {w \ in W} \ det (w) e ^ {i \ langle w \ cdot \ rho, H \ rangle}}}}

para todos en el álgebra de Lie . Aquí está la mitad de la suma de las raíces positivas. (La notación usa la convención de "pesos reales"; esta convención requiere un factor explícito de en el exponente). La prueba de Weyl de la fórmula del carácter es de naturaleza analítica y depende del hecho de que la norma del carácter es 1. Específicamente, si hubiera términos adicionales en el numerador, la fórmula integral de Weyl obligaría a la norma del carácter a ser mayor que 1. ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle \ rho}$ ${\ Displaystyle i}$ ${\ Displaystyle L ^ {2}}$

A continuación, denotamos la función en el lado derecho de la fórmula del carácter. Demostramos que incluso si no se sabe que es el peso más alto de una representación , es una función invariante de Weyl bien definida en , que por lo tanto se extiende a una función de clase en . Luego, utilizando la fórmula integral de Weyl, se puede demostrar que, como rangos sobre el conjunto de elementos dominantes, analíticamente integrales, las funciones forman una familia ortonormal de funciones de clase. Enfatizamos que actualmente no sabemos que cada uno de ellos es el peso más alto de una representación; sin embargo, las expresiones en el lado derecho de la fórmula del carácter dan un conjunto bien definido de funciones , y estas funciones son ortonormales. ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle T}$ ${\ Displaystyle K}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$

Ahora llega la conclusión. El conjunto de todos —con rango sobre los elementos dominantes, analíticamente integrales— forma un conjunto ortonormal en el espacio de funciones de clase integrables cuadradas. Pero según la fórmula del carácter de Weyl, los caracteres de las representaciones irreductibles forman un subconjunto de los . Y según el teorema de Peter-Weyl, los caracteres de las representaciones irreductibles forman una base ortonormal para el espacio de funciones de clase integrables cuadradas. Si hubiera alguno que no tenga el mayor peso de una representación, entonces el correspondiente no sería el carácter de una representación. Por lo tanto, los caracteres serían un subconjunto adecuado del conjunto de . Pero entonces tenemos una situación imposible: una base ortonormal (el conjunto de caracteres de las representaciones irreductibles) estaría contenida en un conjunto ortonormal estrictamente mayor (el conjunto de 's). Por lo tanto, cada debe ser realmente el peso más alto de una representación. ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ Phi _ {\ lambda}}$ ${\ Displaystyle \ lambda}$

Dualidad

El tema de la recuperación de un grupo compacto de su teoría de la representación es el tema de la dualidad Tannaka-Kerin , ahora a menudo reformulada en términos de la teoría de categorías de Tannak .

De grupos compactos a no compactos

La influencia de la teoría de los grupos compactos en los grupos no compactos fue formulada por Weyl en su truco unitario . Dentro de un grupo de Lie semisimple general hay un subgrupo compacto máximo , y la teoría de la representación de tales grupos, desarrollada en gran parte por Harish-Chandra , utiliza intensamente la restricción de una representación a dicho subgrupo, y también el modelo de la teoría del carácter de Weyl.

Ver también

Referencias

Bibliografía

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Hall, Brian C. (2015), Lie Groups, Lie Algebras, and Representations An Elementary Introduction , Textos de posgrado en matemáticas, 222 (2a ed.), Springer, ISBN 978-3319134666
Hofmann, Karl H .; Morris, Sidney A. (1998), La estructura de los grupos compactos , Berlín: de Gruyter, ISBN 3-11-015268-1

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