Extensión algebraica - Algebraic extension

En álgebra abstracta , una extensión de campo L / K se llama algebraica si cada elemento de L es algebraico sobre K , es decir, si cada elemento de L es una raíz de algunos no cero polinomio con coeficientes en K . Las extensiones de campo que no son algebraicas, es decir, que contienen elementos trascendentales , se denominan trascendentales .

Por ejemplo, la extensión de campo R / Q , que es el campo de los números reales como una extensión del campo de los números racionales , es trascendental, mientras que las extensiones de campo C / R y Q ( 2 ) / Q son algebraicas, donde C es el campo de los números complejos .

Todas las extensiones trascendentales son de grado infinito . Esto, a su vez, implica que todas las extensiones finitas son algebraicas. Sin embargo, lo contrario no es cierto: hay infinitas extensiones que son algebraicas. Por ejemplo, el campo de todos los números algebraicos es una extensión algebraica infinita de los números racionales.

Sea E un campo de extensión de K, y a ∈ E. Si a es algebraico sobre K , entonces K ( a ), el conjunto de todos los polinomios en a con coeficientes en K , no es solo un anillo sino un campo: K ( una ) es una extensión algebraica de K que tiene grado finita sobre K . Lo contrario no es cierto. Q [π] y Q [e] son ​​campos pero π ye son trascendentales sobre Q.

Un campo F algebraicamente cerrado no tiene extensiones algebraicas adecuadas, es decir, no tiene extensiones algebraicas E con F <E. Un ejemplo es el campo de números complejos . Cada campo tiene una extensión algebraica que está algebraicamente cerrada (llamada su cierre algebraico ), pero demostrar esto en general requiere alguna forma del axioma de elección .

Una extensión L / K es algebraica si y solo si cada sub - álgebra K de L es un campo .

Propiedades

La clase de extensiones algebraicas forma una clase distinguida de extensiones de campo , es decir, se cumplen las siguientes tres propiedades:

  1. Si E es una extensión algebraica de F y F es una extensión algebraica de K entonces E es una extensión algebraica de K .
  2. Si E y F son extensiones algebraicas de K en un Overfield común C , entonces el compositum EF es una extensión algebraica de K .
  3. Si E es una extensión algebraica de F y E > K > F entonces E es una extensión algebraica de K .

Estos resultados finales se pueden generalizar mediante inducción transfinita:

  1. La unión de cualquier cadena de extensiones algebraicas sobre un campo base es en sí misma una extensión algebraica sobre el mismo campo base.

Este hecho, junto con el lema de Zorn (aplicado a un poset elegido apropiadamente), establece la existencia de cierres algebraicos .

Generalizaciones

La teoría de modelos generaliza la noción de extensión algebraica a teorías arbitrarias: una incrustación de M en N se llama extensión algebraica si para cada x en N hay una fórmula p con parámetros en M , tal que p ( x ) es verdadera y el conjunto

es finito. Resulta que la aplicación de esta definición a la teoría de campos da la definición habitual de extensión algebraica. El grupo de Galois de N sobre M puede definirse nuevamente como el grupo de automorfismos , y resulta que la mayor parte de la teoría de los grupos de Galois se puede desarrollar para el caso general.

Ver también

Notas

  1. Fraleigh (2014), Definición 31.1, p. 283.
  2. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Definición 21.1.23, p. 453.
  3. Fraleigh (2014), Definición 29.6, p. 267.
  4. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Teorema 21.1.8, p. 447.
  5. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), ejemplo 21.1.17, p. 451.
  6. ^ Malik, Mordeson, Sen (1997), Teorema 21.1.8, p. 447.
  7. ^ Fraleigh (2014), ejemplo 31.8, p. 285.
  8. ^ Véase también Hazewinkel et al. (2004), pág. 3.
  9. Fraleigh (2014), Teorema 31.18, p. 288.
  10. Fraleigh (2014), Corolario 31.13, p. 287.
  11. Fraleigh (2014), Teorema 30.23, p. 280.
  12. ^ Fraleigh (2014), ejemplo 29.8, p. 268.
  13. Fraleigh (2014), Corolario 31.16, p. 287.
  14. Fraleigh (2014), Teorema 31.22, p. 290.
  15. Lang (2002) p.228

Referencias

  • Fraleigh, John B. (2014), Un primer curso de álgebra abstracta , Pearson, ISBN 978-1-292-02496-7
  • Hazewinkel, Michiel ; Gubareni, Nadiya; Gubareni, Nadezhda Mikhaĭlovna; Kirichenko, Vladimir V. (2004), Álgebras, anillos y módulos , 1 , Springer, ISBN 1-4020-2690-0
  • Lang, Serge (1993), "V.1: Extensiones algebraicas", Álgebra (Tercera ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley, págs. 223 y siguientes, ISBN 978-0-201-55540-0, Zbl  0848.13001
  • Malik, DB; Mordeson, John N .; Sen, MK (1997), Fundamentos del álgebra abstracta , McGraw-Hill, ISBN 0-07-040035-0
  • McCarthy, Paul J. (1991) [reimpresión corregida de la 2ª edición, 1976], Extensiones algebraicas de campos , Nueva York: Dover Publications, ISBN 0-486-66651-4, Zbl  0768.12001
  • Roman, Steven (1995), teoría de campo , GTM 158, Springer-Verlag, ISBN 9780387944081
  • Rotman, Joseph J. (2002), Álgebra moderna avanzada , Prentice Hall, ISBN 9780130878687