Teoremas de Sylow - Sylow theorems

En matemáticas, específicamente en el campo de la teoría de grupos finitos , los teoremas de Sylow son una colección de teoremas que llevan el nombre del matemático noruego Peter Ludwig Sylow que brindan información detallada sobre el número de subgrupos de orden fijo que contiene un grupo finito dado . Los teoremas de Sylow forman parte fundamental de la teoría de grupos finitos y tienen aplicaciones muy importantes en la clasificación de grupos finitos simples .

Para un número primo , un Sylow p -subgroup (a veces p -Sylow subgrupo ) de un grupo es un máximo -subgroup de , es decir, un subgrupo de que es un p -Grupo (de modo que el orden de cada elemento del grupo es un poder de ) que no es un subgrupo adecuado de ningún otro -subgrupo de . A veces se escribe el conjunto de todos los subgrupos de Sylow para un número primo dado . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle {\ text {Syl}} _ {p} (G)}$

Los teoremas de Sylow afirman un inverso parcial al teorema de Lagrange . El teorema de Lagrange establece que para cualquier grupo finito el orden (número de elementos) de cada subgrupo de divide el orden de . Los teoremas de Sylow establecen que por cada factor primo del orden de un grupo finito , existe un subgrupo de Sylow de orden , la potencia más alta que divide el orden de . Además, cada subgrupo de orden es un subgrupo de Sylow , y los subgrupos de Sylow de un grupo (para un número primo dado ) se conjugan entre sí. Además, el número de subgrupos de Sylow de un grupo para un número primo dado es congruente con . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p ^ {n}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p ^ {n}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle 1 {\ text {mod}} p}$

Teoremas

Motivación

Los teoremas de Sylow son una declaración poderosa sobre la estructura de grupos en general, pero también son poderosas en aplicaciones de la teoría de grupos finitos. Esto se debe a que proporcionan un método para usar la descomposición prima de la cardinalidad de un grupo finito para dar enunciados sobre la estructura de sus subgrupos: esencialmente, proporciona una técnica para transportar información básica de la teoría de números sobre un grupo a su estructura de grupo. A partir de esta observación, clasificar grupos finitos se convierte en un juego de encontrar qué combinaciones / construcciones de grupos de menor orden se pueden aplicar para construir un grupo. Por ejemplo, una aplicación típica de estos teoremas es la clasificación de grupos finitos de alguna cardinalidad fija, por ejemplo . ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle | G | = 60}$

Declaración

Las colecciones de subgrupos que son máximos en un sentido u otro son comunes en la teoría de grupos. El resultado sorprendente aquí es que en el caso de , todos los miembros son en realidad isomorfos entre sí y tienen el orden más grande posible: si con donde $p$ no divide $m$ , entonces cada $p-$ subgrupo $P de$ Sylow tiene orden . Es decir, $P$ es un grupo $p$ y . Estas propiedades se pueden explotar para analizar más a fondo la estructura de $G$ . ${\ Displaystyle \ operatorname {Syl} _ {p} (G)}$ ${\ Displaystyle | G | = p ^ {n} m}$ ${\ Displaystyle n> 0}$ ${\ Displaystyle | P | = p ^ {n}}$ ${\ Displaystyle {\ text {gcd}} (| G: P |, p) = 1}$

Los siguientes teoremas fueron propuestos y probados por primera vez por Ludwig Sylow en 1872, y publicados en Mathematische Annalen .

Teorema (1) - Para cada factor primo $p$ con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , existe un subgrupo $p de$ Sylow de $G$ , de orden . ${\ Displaystyle p ^ {n}}$

La siguiente versión más débil del teorema 1 fue probada por primera vez por Augustin-Louis Cauchy y se conoce como teorema de Cauchy .

Corolario - Dado un grupo finito $G$ y un número primo $p$ dividiendo el orden de $G$ , entonces existe un elemento (y por lo tanto un subgrupo cíclico generado por este elemento) de orden $p$ en $G$ .

Teorema (2) - Dado un grupo finito $G$ y un número primo $p$ , todos los subgrupos $p de$ Sylow de $G$ se conjugan entre sí. Es decir, si $H$ y $K$ son subgrupos $p de$ Sylow de $G$ , entonces existe un elemento con . ${\ Displaystyle g \ in G}$ ${\ displaystyle g ^ {- 1} Hg = K}$

Teorema (3) - Sea $p$ un factor primo con multiplicidad $n$ del orden de un grupo finito $G$ , de modo que el orden de $G$ se puede escribir como , donde y $p$ no divide $m$ . Sea el número de $p-$ subgrupos de $G$ de Sylow . Entonces la siguiente espera: ${\ Displaystyle p ^ {n} m}$ ${\ Displaystyle n> 0}$ ${\ Displaystyle n_ {p}}$

${\ Displaystyle n_ {p}}$ divisiones $m$ , que es el índice de la Sylow $p$ -subgroup en $G$ .
${\ Displaystyle n_ {p} \ equiv 1 {\ bmod {p}}}$
${\ Displaystyle n_ {p} = | G: N_ {G} (P) |}$ , donde $P$ es cualquier $p-$ subgrupo de $G$ de Sylow y denota el normalizador . ${\ Displaystyle N_ {G}}$

Consecuencias

Los teoremas de Sylow implican que para un número primo cada Sylow -subgroup es del mismo orden, . Por el contrario, si un subgrupo tiene orden , entonces es un subgrupo de Sylow , por lo que es isomorfo a todos los demás subgrupos de Sylow . Debido a la condición de máxima , si es cualquier subgrupo de , entonces es un subgrupo de un subgrupo de orden . ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p ^ {n}}$ ${\ Displaystyle p ^ {n}}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle p ^ {n}}$

Una consecuencia muy importante del teorema 2 es que la condición equivale a decir que el subgrupo de Sylow es un subgrupo normal . Sin embargo, hay grupos que tienen subgrupos normales pero no subgrupos normales de Sylow, como . ${\ Displaystyle n_ {p} = 1}$ ${\ Displaystyle p}$ ${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle S_ {4}}$

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Existe un análogo de los teoremas de Sylow para grupos infinitos. Uno define un subgrupo $p de$ Sylow en un grupo infinito como un subgrupo p (es decir, cada elemento en él tiene un orden de potencia $p$ ) que es máximo para su inclusión entre todos los subgrupos $p$ del grupo. Tales subgrupos existen según el lema de Zorn . Dejar que denotan el conjunto de clases de conjugación de un subgrupo ${\ Displaystyle \ operatorname {Cl} (K)}$ ${\ Displaystyle K \ subconjunto G}$

Teorema : si $K$ es un subgrupo $p de$ Sylow de $G$ , y es finito, entonces cada subgrupo $p de$ Sylow se conjuga con $K$ , y . ${\ Displaystyle n_ {p} = | \ operatorname {Cl} (K) |}$ ${\ Displaystyle n_ {p} \ equiv 1 {\ bmod {p}}}$

Ejemplos de

En D ₆ todas las reflexiones son conjugadas, ya que las reflexiones corresponden a los 2 subgrupos de Sylow.

Una ilustración simple de los subgrupos de Sylow y los teoremas de Sylow son el grupo diedro del n -gon, D _{2 n} . Para n impar, 2 = 2 ¹ es la potencia más alta de 2 que divide el orden y, por lo tanto, los subgrupos de orden 2 son subgrupos de Sylow. Estos son los grupos generados por una reflexión, de los cuales hay n , y todos están conjugados bajo rotaciones; geométricamente los ejes de simetría pasan por un vértice y un lado.

En D _{12, las} reflexiones ya no corresponden a los subgrupos 2 de Sylow y se clasifican en dos clases de conjugación.

Por el contrario, si n es par, entonces 4 divide el orden del grupo, y los subgrupos de orden 2 ya no son subgrupos de Sylow, y de hecho caen en dos clases de conjugación, geométricamente según pasen por dos vértices o por dos. caras. Estos están relacionados por un automorfismo externo , que se puede representar por rotación a través de π / n , la mitad de la rotación mínima en el grupo diedro.

Otro ejemplo son los Sylow p-subgrupos de GL ₂ ( F _q ), donde p y q son números primos ≥ 3 y $p \equiv 1 (mod q)$ , que son todos abeliano . El orden de GL ₂ ( F _q ) es $(q 2 - 1) (q 2 - q) = (q) (q + 1) (q - 1) 2$ . Dado que $q = p n m + 1$ , el orden de $GL 2 (F q) = p 2 n m'$ . Por tanto, según el Teorema 1, el orden de los subgrupos p de Sylow es p ^{2 n} .

Uno de esos subgrupos P , es el conjunto de matrices diagonales , x es cualquier raíz primitiva de F _q . Dado que el orden de F _q es $q$ $- 1$ , sus raíces primitivas tienen orden q - 1, lo que implica que $x$ $($ $q$ $- 1) /$ $p$ $n$ o x ^my todas sus potencias tienen un orden que es una potencia de p . Entonces, P es un subgrupo donde todos sus elementos tienen órdenes que son potencias de p . Hay p ⁿ opciones tanto para un y b , la toma $|$ $P$ $|$ $=$ $p$ $2$ $n$ . Esto significa que P es un subgrupo p de Sylow , que es abeliano, ya que todas las matrices diagonales conmutan, y debido a que el teorema 2 establece que todos los subgrupos p de Sylow están conjugados entre sí, los subgrupos p de Sylow de GL ₂ ( F _q ) son todo abeliano. ${\ displaystyle {\ begin {bmatrix} x ^ {im} & 0 \\ 0 & x ^ {jm} \ end {bmatrix}}}$

Aplicaciones de ejemplo

Dado que el teorema de Sylow asegura la existencia de p-subgrupos de un grupo finito, vale la pena estudiar los grupos de orden de potencia principal más de cerca. La mayoría de los ejemplos utilizan el teorema de Sylow para demostrar que un grupo de un orden particular no es simple . Para grupos de pequeño orden, la condición de congruencia del teorema de Sylow suele ser suficiente para forzar la existencia de un subgrupo normal .

Ejemplo 1: Grupos de orden pq , p y q primos con p < q .
Ejemplo 2: Grupo de orden 30, grupos de orden 20, grupos de orden p ²q , p y q primos distintos son algunas de las aplicaciones.
Ejemplo 3: (Grupos de pedido 60): Si el pedido | G | = 60 y G tiene más de un subgrupo 5 de Sylow, entonces G es simple.

Órdenes cíclicas de grupo

Algunos números no primos n son tales que todo grupo de orden n es cíclico. Se puede demostrar que n = 15 es tal número usando los teoremas de Sylow: Sea G un grupo de orden 15 = 3 · 5 y n ₃ sea el número de 3 subgrupos de Sylow. Entonces n ₃ 5 y n ₃ ≡ 1 (mod 3). El único valor que satisface estas restricciones es 1; por lo tanto, solo hay un subgrupo de orden 3, y debe ser normal (ya que no tiene conjugados distintos). De manera similar, n ₅ debe dividir 3 y n ₅ debe ser igual a 1 (mod 5); por lo tanto, también debe tener un solo subgrupo normal de orden 5. Dado que 3 y 5 son coprimos , la intersección de estos dos subgrupos es trivial, por lo que G debe ser el producto directo interno de los grupos de orden 3 y 5, es decir, el cíclico grupo de orden 15. Por tanto, sólo hay un grupo de orden 15 ( hasta el isomorfismo). ${\ Displaystyle \ mid}$

Los grupos pequeños no son simples

Un ejemplo más complejo involucra el orden del grupo simple más pequeño que no es cíclico . El teorema p ^a q ^{b de} Burnside establece que si el orden de un grupo es el producto de una o dos potencias primas , entonces se puede resolver , por lo que el grupo no es simple, o es de orden primo y es cíclico. Esto excluye a todos los grupos hasta el orden 30 (= 2 · 3 · 5) .

Si G es simple y | G | = 30, entonces n ₃ debe dividir 10 (= 2 · 5), y n ₃ debe ser igual a 1 (mod 3). Por lo tanto, n ₃ = 10, ya que ni 4 ni 7 dividen a 10, y si n ₃ = 1 entonces, como antes, G tendría un subgrupo normal de orden 3, y no podría ser simple. G tiene entonces 10 subgrupos cíclicos distintos de orden 3, cada uno de los cuales tiene 2 elementos de orden 3 (más la identidad). Esto significa que G tiene al menos 20 elementos distintos de orden 3.

Además, n ₅ = 6, ya que n ₅ debe dividir 6 (= 2 · 3), y n ₅ debe ser igual a 1 (mod 5). Entonces G también tiene 24 elementos distintos de orden 5. Pero el orden de G es solo 30, por lo que un grupo simple de orden 30 no puede existir.

A continuación, suponga | G | = 42 = 2 · 3 · 7. Aquí n ₇ debe dividir 6 (= 2 · 3) y n ₇ debe ser igual a 1 (mod 7), entonces n ₇ = 1. Entonces, como antes, G no puede ser simple.

Por otro lado, para | G | = 60 = 2 ² · 3 · 5, entonces n ₃ = 10 yn ₅ = 6 es perfectamente posible. Y, de hecho, el grupo no cíclico simple más pequeño es A ₅ , el grupo alterno de 5 elementos. Tiene orden 60 y 24 permutaciones cíclicas de orden 5 y 20 de orden 3.

Teorema de wilson

Parte del teorema de Wilson establece que

{\ Displaystyle (p-1)! \ \ equiv \ -1 {\ pmod {p}}}

por cada prima p . Se puede probar fácilmente este teorema mediante el tercer teorema de Sylow. En efecto, observar que el número n _p de de Sylow p -subgroups en el grupo simétrico S _p es $(p - 2)!$ . Por otro lado, $n p \equiv 1 (mod p)$ . Por lo tanto, $(p - 2)! \equiv 1 (mod p)$ . ¡Entonces, $(p - 1)! \equiv -1 (mod p)$ .

Resultados de fusión

El argumento de Frattini muestra que un subgrupo de Sylow de un subgrupo normal proporciona una factorización de un grupo finito. Una ligera generalización conocida como teorema de fusión de Burnside establece que si G es un grupo finito con Sylow p -subgrupo P y dos subconjuntos A y B normalizados por P , entonces A y B son G -conjugado si y solo si son N _G ( P )-conjugado. La demostración es una aplicación simple del teorema de Sylow: si B = A ^g , entonces el normalizador de B contiene no solo P sino también P ^g (ya que P ^g está contenido en el normalizador de A ^g ). Por el teorema de Sylow P y P ^g son conjugado no sólo en G , pero en el normalizador de B . Por tanto, gh ⁻¹ normaliza P para alguna h que normaliza B , y luego A ^{gh ⁻¹} = B ^{h ⁻¹} = B , de modo que A y B son N _G ( P ) -conjugado. El teorema de fusión de Burnside puede usarse para dar una factorización más poderosa llamada producto semidirecto : si G es un grupo finito cuyo Sylow p -subgrupo P está contenido en el centro de su normalizador, entonces G tiene un subgrupo normal K de orden coprime a P , G = PK y P ∩ K = {1}, es decir, G es p -nilpotente .

Aplicaciones menos triviales de los teoremas de Sylow incluyen el teorema del subgrupo focal , que estudia el control que tiene un subgrupo p de Sylow del subgrupo derivado sobre la estructura de todo el grupo. Este control se explota en varias etapas de la clasificación de grupos simples finitos y, por ejemplo, define las divisiones de casos utilizadas en el teorema de Alperin-Brauer-Gorenstein que clasifica grupos simples finitos cuyo subgrupo 2 de Sylow es un grupo cuasi-diedro . Estos se basan en el fortalecimiento de JL Alperin de la parte de conjugación del teorema de Sylow para controlar qué tipo de elementos se utilizan en la conjugación.

Prueba de los teoremas de Sylow

Los teoremas de Sylow se han probado de varias formas, y la historia de las pruebas mismas es el tema de muchos artículos, incluidos Waterhouse, Scharlau, Casadio y Zappa, Gow y, hasta cierto punto, Meo.

Una prueba de los teoremas de Sylow explota la noción de acción de grupo de varias formas creativas. El grupo $G$ actúa sobre sí mismo o sobre el conjunto de sus subgrupos p de diversas formas, y cada una de estas acciones puede aprovecharse para demostrar uno de los teoremas de Sylow. Las siguientes pruebas se basan en argumentos combinatorios de Wielandt. A continuación, usamos como notación para "a divide b" y para la negación de esta declaración. ${\ Displaystyle a \ mid b}$ ${\ Displaystyle a \ nmid b}$

Teorema (1) - Un grupo finito G cuyo orden es divisible por una potencia prima p ^k tiene un subgrupo de orden p ^k . ${\ Displaystyle | G |}$

Prueba -

Let $| G | = p k m = p k + r u$ tal que , y sea Ω denotar el conjunto de subconjuntos de $G$ de tamaño p ^k . $G$ actúa sobre Ω multiplicando por la izquierda: para $g$ $\in$ $G$ y $ω$ $\in Ω$ , $g$ $\cdot$ $ω$ $= {$ $g$ $x$ $|$ $x$ $\in$ $ω$ $}$ . Para un conjunto dado $ω$ $\in Ω$ , escriba G _ω para su subgrupo estabilizador ${$ $g$ $\in$ $G$ $|$ $g$ $\cdot$ $ω$ $=$ $ω$ $}$ y G ω para su órbita ${$ $g$ $\cdot$ $ω$ $|$ $g$ $\in$ $G$ $}$ en Ω. ${\ Displaystyle p \ nmid u}$

La demostración mostrará la existencia de algunos $ω \in Ω$ para los cuales $G$ _$ω$ tiene p ^k elementos, proporcionando el subgrupo deseado. Este es el tamaño máximo posible de un subgrupo estabilizador $G$ _$ω$ , ya que para cualquier elemento fijo $α \in ω \subseteq G$ , la clase lateral derecha $G$ _$ω$ $α$ está contenida en $ω$ ; por lo tanto, $| G ω | = | G ω α | \leq | ω | = p k$ .

Por el teorema del estabilizador de órbita tenemos $| G ω | | G ω | = | G |$ para cada $ω \in Ω$ , y por lo tanto utilizando la valoración p-ádica aditiva ν _p , que cuenta el número de factores p , se tiene $ν p (| G ω |) + ν p (| G ω |) = ν p (| G |) = k + r$ . Esto significa que para aquellos $ω$ con $| G ω | = p k$ , los que estamos buscando, uno tiene $ν p (| G ω |) = r$ , mientras que para cualquier otro $ω$ uno tiene $ν p (| G ω |)> r$ (como $0 <| G ω | < p k$ implica $ν p (| G ω |) < k)$ . Desde $| Ω |$ es la suma de $| G ω |$ sobre todas las órbitas distintas $G$ $ω$ , se puede demostrar la existencia de ω del tipo anterior mostrando que $ν p (| Ω |) = r$ (si no existiera ninguna, esa valoración excedería r ). Este es un ejemplo del teorema de Kummer (dado que en la notación de base p el número $| G |$ termina precisamente con k + r dígitos cero, restar p ^k implica un acarreo en r lugares), y también se puede mostrar mediante un cálculo simple:

{\ Displaystyle | \ Omega | = {p ^ {k} m \ elija p ^ {k}} = \ prod _ {j = 0} ^ {p ^ {k} -1} {\ frac {p ^ {k } mj} {p ^ {k} -j}} = m \ prod _ {j = 1} ^ {p ^ {k} -1} {\ frac {p ^ {k- \ nu _ {p} (j )} mj / p ^ {\ nu _ {p} (j)}} {p ^ {k- \ nu _ {p} (j)} - j / p ^ {\ nu _ {p} (j)} }}}

y ninguna potencia de p permanece en ninguno de los factores dentro del producto a la derecha. Por lo tanto, $ν p (| Ω |) = ν p (m) = r$ , completando la demostración.

Cabe señalar que, a la inversa, todo subgrupo H de orden p ^k da lugar a conjuntos $ω \in Ω$ para los que G _ω = H , es decir, cualquiera de las m clases laterales distintas Hg .

Lema - Let $H$ sea un finito $p$ -grupo, deje que sea Ω un conjunto finito actúe sobre $H$ , y dejar Ω ₀ denotar el conjunto de puntos de Ω que son fijos bajo la acción de $H$ . Entonces $| Ω | \equiv | Ω 0 | (mod p)$ .

Prueba -

Cualquier elemento $x \in Ω$ no fijado por $H$ estará en una órbita de orden $| H | / | H x |$ (donde H _x denota el estabilizador ), que es un múltiplo de $p$ por supuesto. El resultado sigue inmediatamente escribiendo $| Ω |$ como la suma de $| H x |$ sobre todas las distintas órbitas $H$ $x$ y reduciendo mod $p$ .

Teorema (2) - Si H es un p -subgroup de $G$ y P es un Sylow p -subgroup de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ tal que g ^-1Hg ≤ P . En particular, todos los subgrupos p de Sylow de $G$ están conjugados entre sí (y por lo tanto son isomórficos ), es decir, si H y K son subgrupos p de Sylow de $G$ , entonces existe un elemento g en $G$ con g ⁻¹Hg = K .

Prueba -

Sea Ω el conjunto de las clases laterales izquierdas de P en $G$ y deje que H actúe sobre Ω mediante la multiplicación por la izquierda. Aplicando el lema a H en Ω, vemos que $| Ω 0 | \equiv | Ω | = [G : P] (mod p)$ . Ahora, por definición , así , por lo tanto, en particular $|$ $Ω$ $0$ $|$ $\neq 0 por$ lo que existe algo de $gP$ $\in Ω$ $0$ . Con esta gP , tenemos HGP = gP para todos $h$ $\in$ $H$ , así g ^-1HgP = P y por lo tanto g ^-1Hg ≤ P . Además, si H es un subgrupo p de Sylow , entonces $|$ $g$ $-1$ $Hg$ $|$ $= |$ $H$ $|$ $= |$ $P$ $|$ de modo que g ^-1Hg = P . ${\ Displaystyle p \ nmid [G: P]}$ ${\ Displaystyle p \ nmid | \ Omega _ {0} |}$

Teorema (3) - Let q denota el orden de cualquier Sylow p -subgroup P de un grupo finito G . Deje n _p denota el número de Sylow p -subgroups de G . Entonces (a) $n p = [G : N G (P)]$ (donde N _G ( P ) es el normalizador de P ), (b) $n p$ divide $| G | / q$ , y (c) $n p \equiv 1 (mod p)$ .

Prueba -

Sea Ω el conjunto de todos los subgrupos p de $G$ de Sylow y deje que $G$ actúe sobre Ω por conjugación. Sea $P \in Ω$ un subgrupo p de Sylow . Según el teorema 2, la órbita de P tiene un tamaño n _p , por lo que según el teorema del estabilizador de la órbita $n p = [G : G P]$ . Para esta acción de grupo, el estabilizador $G$ _P viene dado por ${g \in G | GPG -1 = P} = N G (P)$ , el normalizador de P en G . Por lo tanto, $n p = [G : N G (P)]$ , y se sigue que este número es un divisor de $[G : P] = | G | / q$ .

Ahora dejemos que P actúe sobre Ω por conjugación, y nuevamente Ω ₀ denote el conjunto de puntos fijos de esta acción. Sea $Q \in Ω 0$ y observe que entonces $Q = xQx -1$ para todo $x \in P de$ modo que P ≤ N _G ( Q ). Por el teorema 2, P y Q son conjugado en N _G ( Q ) en particular, y Q es normal en N _G ( Q ), por lo que entonces P = Q . De ello se deduce que Ω ₀ = { P } de modo que, según el lema, $| Ω | \equiv | Ω 0 | = 1 (mod p)$ .

Algoritmos

El problema de encontrar un subgrupo de Sylow de un grupo dado es un problema importante en la teoría computacional de grupos .

Una prueba de la existencia de subgrupos p de Sylow es constructiva: si H es un subgrupo p de G y el índice [ G : H ] es divisible por p , entonces el normalizador N = N _G ( H ) de H en G es también tal que [ N : H ] es divisible por p . En otras palabras, se puede encontrar un sistema de generación policíclico de un subgrupo p de Sylow partiendo de cualquier subgrupo p H (incluida la identidad) y tomando elementos de orden de potencia p contenidos en el normalizador de H pero no en el propio H. La versión algorítmica de esto (y muchas mejoras) se describe en forma de libro de texto en Butler, incluido el algoritmo descrito en Cannon. Estas versiones todavía se usan en el sistema de álgebra computacional GAP .

En grupos de permutación , se ha demostrado, en Kantor y Kantor y Taylor, que un subgrupo p de Sylow y su normalizador se pueden encontrar en el tiempo polinómico de la entrada (el grado del grupo multiplicado por el número de generadores). Estos algoritmos se describen en forma de libro de texto en Seress, y ahora se están volviendo prácticos a medida que el reconocimiento constructivo de grupos finitos simples se convierte en una realidad. En particular, las versiones de este algoritmo se utilizan en el sistema de álgebra computacional Magma .

Ver también

Notas

Referencias

Pruebas

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Algoritmos

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enlaces externos

"Teoremas de Sylow" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press , 2001 [1994]
Álgebra abstracta / Teoría de grupos / Los teoremas de Sylow en Wikilibros
Weisstein, Eric W. "Sylow p-Subgrupo" . MathWorld .
Weisstein, Eric W. "Teoremas de Sylow" . MathWorld .

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Contenido

Teoremas

Motivación

Declaración

Consecuencias

Teoremas de Sylow para grupos infinitos

Ejemplos de

Aplicaciones de ejemplo

Órdenes cíclicas de grupo

Los grupos pequeños no son simples

Teorema de wilson

Resultados de fusión

Prueba de los teoremas de Sylow

Algoritmos

Ver también

Notas

Referencias

Pruebas

Algoritmos

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