Subgrupo normal - Normal subgroup

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Grupos discretos Celosías Enteros ( )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo libre Grupos modulares PSL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ SL (2, )${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$ Grupo aritmético Enrejado Grupo hiperbólico
Grupos topológicos y de mentira Solenoide Circulo GL lineal general ( n ) SL lineal especial ( n ) Ortogonal O ( n ) Euclidiana E ( n ) SO ortogonal especial ( n ) Unitario U ( n ) SU unitario especial ( n ) Simpléctica Sp ( n ) G 2 F 4 E 6 E 7 E 8 Lorentz Poincaré Conformal Difeomorfismo Lazo Grupo de mentiras de dimensión infinita O (∞) SU (∞) Sp (∞)
Grupos algebraicos Grupo algebraico lineal Grupo reductivo Variedad abeliana Curva elíptica
v t mi

En álgebra abstracta , un subgrupo normal (también conocido como subgrupo invariante o subgrupo autoconjugado ) es un subgrupo que es invariante bajo la conjugación de los miembros del grupo del que forma parte. En otras palabras, un subgrupo del grupo es normal en si y solo si para todos y La notación habitual para esta relación es${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ displaystyle gng ^ {- 1} \ in N}$${\ Displaystyle g \ in G}$${\ Displaystyle n \ in N.}$${\ Displaystyle N \ triangleleft G.}$

Los subgrupos normales son importantes porque ellos (y solo ellos) pueden usarse para construir grupos cocientes del grupo dado. Además, los subgrupos normales de son precisamente los núcleos de homomorfismos de grupo con dominio, lo que significa que pueden usarse para clasificar internamente esos homomorfismos. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G,}$

Évariste Galois fue el primero en darse cuenta de la importancia de la existencia de subgrupos normales.

Definiciones

Un subgrupo de un grupo se denomina subgrupo normal de si es invariante bajo conjugación ; es decir, la conjugación de un elemento de por un elemento de está siempre en La notación habitual para esta relación es${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N.}$${\ Displaystyle N \ triangleleft G.}$

Condiciones equivalentes

Porque cualquier subgrupo de las siguientes condiciones es equivalente a ser un subgrupo normal de Por lo tanto, cualquiera de ellas puede tomarse como definición: ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G.}$

• La imagen de conjugación de por cualquier elemento de es un subconjunto de${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N.}$
• La imagen de la conjugación de por cualquier elemento de es igual a${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N.}$
• Para todas las clases laterales izquierda y derecha y son iguales.${\ Displaystyle g \ in G,}$${\ displaystyle gN}$${\ displaystyle Ng}$
• Los conjuntos de clases laterales izquierda y derecha de in coinciden.${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$
• El producto de un elemento de la clase lateral izquierda de con respecto a y un elemento de la clase lateral izquierda de con respecto a es un elemento de la clase lateral izquierda de con respecto a : para todos si y luego${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle g}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle h}$${\ Displaystyle N}$${\ displaystyle gh}$${\ Displaystyle x, y, g, h \ en G,}$${\ Displaystyle x \ in gN}$${\ Displaystyle y \ in hN}$${\ Displaystyle xy \ in (gh) N.}$
• ${\ Displaystyle N}$es una unión de clases de conjugación de${\ Displaystyle G.}$
• ${\ Displaystyle N}$es preservada por los automorfismos internos de${\ Displaystyle G.}$
• Hay algún homomorfismo de grupo cuyo núcleo es${\ Displaystyle G \ a H}$${\ Displaystyle N.}$
• Para todos y el conmutador está en${\ Displaystyle n \ in N}$${\ Displaystyle g \ in G,}$ ${\ Displaystyle [n, g] = n ^ {- 1} g ^ {- 1} ng}$${\ Displaystyle N.}$
• Dos elementos cualesquiera conmutan con respecto a la relación normal de pertenencia al subgrupo: para todos si y solo si${\ Displaystyle g, h \ in G,}$ ${\ displaystyle gh \ in N}$${\ displaystyle hg \ in N.}$

Ejemplos de

Para cualquier grupo, el subgrupo trivial que consiste solo en el elemento de identidad de es siempre un subgrupo normal de Igualmente, en sí mismo es siempre un subgrupo normal de (Si estos son los únicos subgrupos normales, entonces se dice que es simple ) .Otros subgrupos normales nombrados de un grupo arbitrario incluye el centro del grupo (el conjunto de elementos que conmuta con todos los demás elementos) y el subgrupo del conmutador. Más generalmente, dado que la conjugación es un isomorfismo, cualquier subgrupo característico es un subgrupo normal. ${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle \ {e \}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle [G, G].}$

Si es un grupo abeliano, entonces cada subgrupo de es normal, porque un grupo que no es abeliano pero para el que todos los subgrupos son normales se llama grupo hamiltoniano . ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle gN = \ {gn \} _ {n \ in N} = \ {ng \} _ {n \ in N} = Ng.}$

Un ejemplo concreto de un subgrupo normal es el subgrupo del grupo simétrico que consta de la identidad y ambos de tres ciclos. En particular, se puede comprobar que cada clase lateral de es igual a sí misma o es igual a Por otra parte, el subgrupo no es normal en ya que${\ Displaystyle N = \ {(1), (123), (132) \}}$ ${\ Displaystyle S_ {3},}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle (12) N = \ {(12), (23), (13) \}.}$${\ Displaystyle H = \ {(1), (12) \}}$${\ Displaystyle S_ {3}}$${\ Displaystyle (123) H = \ {(123), (13) \} \ neq \ {(123), (23) \} = H (123).}$

En el grupo del Cubo de Rubik , los subgrupos que consisten en operaciones que solo afectan las orientaciones de las piezas de esquina o de las piezas de borde son normales.

El grupo de traducción es un subgrupo normal del grupo euclidiano en cualquier dimensión. Esto significa: aplicar una transformación rígida, seguida de una traslación y luego la transformación rígida inversa, tiene el mismo efecto que una traslación única. Por el contrario, el subgrupo de todas las rotaciones sobre el origen no es un subgrupo normal del grupo euclidiano, siempre que la dimensión sea al menos 2: primero traducir, luego rotar sobre el origen y luego traducir hacia atrás normalmente no solucionará el origen. y por lo tanto no tendrá el mismo efecto que una sola rotación sobre el origen.

Propiedades

• Si es un subgrupo normal de y es un subgrupo de conteniendo, entonces es un subgrupo normal de${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle K}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H,}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle K.}$
• Un subgrupo normal de un subgrupo normal de un grupo no necesita ser normal en el grupo. Es decir, la normalidad no es una relación transitiva . El grupo más pequeño que exhibe este fenómeno es el grupo diedro de orden 8. Sin embargo, un subgrupo característico de un subgrupo normal es normal. Un grupo en el que la normalidad es transitivo se llama un grupo-T .
• Los dos grupos y son subgrupos normales de su producto directo.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H}$ ${\ Displaystyle G \ times H.}$
• Si el grupo es un producto semidirecto, entonces es normal, aunque no es necesario que sea normal en${\ Displaystyle G}$ ${\ Displaystyle G = N \ rtimes H,}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G.}$
• La normalidad se conserva bajo homomorfismos sobreyectivos; es decir, si es un homomorfismo de grupo sobreyectivo y es normal en, entonces la imagen es normal en${\ Displaystyle G \ a H}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle f (N)}$${\ Displaystyle H.}$
• La normalidad se conserva tomando imágenes inversas ; es decir, si es un homomorfismo de grupo y es normal en, entonces la imagen inversa es normal en${\ Displaystyle G \ a H}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle H,}$${\ Displaystyle f ^ {- 1} (N)}$${\ Displaystyle G.}$
• Se conserva la normalidad al tomar productos directos ; es decir, si y luego${\ Displaystyle N_ {1} \ triangleleft G_ {1}}$${\ Displaystyle N_ {2} \ triangleleft G_ {2},}$${\ Displaystyle N_ {1} \ times N_ {2} \; \ triangleleft \; G_ {1} \ times G_ {2}.}$
• Cada subgrupo del índice 2 es normal. De manera más general, un subgrupo, de índice finito, en contiene un subgrupo, normal en y de división de índice llamado núcleo normal . En particular, si es el número primo más pequeño dividiendo el orden de, entonces cada subgrupo de índice es normal.${\ Displaystyle H,}$${\ Displaystyle n,}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle K,}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle n!}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle p}$
• El hecho de que los subgrupos normales de son precisamente los núcleos de los homomorfismos de grupo definidos en explica parte de la importancia de los subgrupos normales; son una forma de clasificar internamente todos los homomorfismos definidos en un grupo. Por ejemplo, un grupo finito sin identidad es simple si y solo si es isomórfico a todas sus imágenes homomórficas sin identidad, un grupo finito es perfecto si y solo si no tiene subgrupos normales de índice primo , y un grupo es imperfecto si y solo si el subgrupo derivado no se complementa con ningún subgrupo normal adecuado.${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle G}$

Celosía de subgrupos normales

Dados dos subgrupos normales, y de su intersección y su producto también son subgrupos normales de${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M,}$${\ Displaystyle G,}$${\ Displaystyle N \ cap M}$${\ Displaystyle NM = \ {nm: n \ in N \; {\ text {y}} \; m \ in M ​​\}}$${\ Displaystyle G.}$

Los subgrupos normales de forman un enrejado bajo inclusión subconjunto con menos elemento , y mayor elemento , El reúnen de dos subgrupos normales, y en esta red es su intersección y el unirse es su producto. ${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ {e \},}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M,}$

La celosía es completa y modular .

Subgrupos normales, grupos cocientes y homomorfismos

Si es un subgrupo normal, podemos definir una multiplicación en las clases laterales de la siguiente manera: ${\ Displaystyle N}$

Esta relación define un mapeo Para mostrar que este mapeo está bien definido, es necesario demostrar que la elección de elementos representativos no afecta el resultado. Para ello, considere algunos otros elementos representativos Entonces existen tales que se sigue que${\ Displaystyle G / N \ multiplicado por G / N \ a G / N.}$${\ Displaystyle a_ {1}, a_ {2}}$${\ Displaystyle a_ {1} '\ in a_ {1} N, a_ {2}' \ in a_ {2} N.}$${\ Displaystyle n_ {1}, n_ {2} \ in N}$${\ Displaystyle a_ {1} '= a_ {1} n_ {1}, a_ {2}' = a_ {2} n_ {2}.}$donde también usamos el hecho de que es un subgrupo normal , y por lo tanto existe tal que Esto prueba que este producto es un mapeo bien definido entre clases laterales. ${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle n_ {1} '\ in N}$${\ Displaystyle n_ {1} a_ {2} = a_ {2} n_ {1} '.}$

Con esta operación, el conjunto de clases laterales es en sí mismo un grupo, llamado grupo cociente y denotado con Hay un

homomorfismo natural , dado por Este homomorfismo se mapea en el elemento de identidad del cual es la clase lateral , es decir,${\ Displaystyle G / N.}$${\ Displaystyle f: G \ a G / N,}$${\ Displaystyle f (a) = aN.}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle G / N,}$${\ Displaystyle eN = N,}$${\ Displaystyle \ ker (f) = N.}$

En general, un homomorfismo de grupo, envía subgrupos de a subgrupos de Además, la preimagen de cualquier subgrupo de es un subgrupo de Llamamos a la preimagen del grupo trivial en el

núcleo del homomorfismo y lo denotamos por Como resulta, el núcleo es siempre normal y la imagen de es siempre isomorfa a (el primer teorema de isomorfismo ). De hecho, esta correspondencia es una biyección entre el conjunto de todos los grupos cocientes de y el conjunto de todas las imágenes homomórficas de ( hasta el isomorfismo). También es fácil ver que el núcleo del mapa del cociente es él mismo, por lo que los subgrupos normales son precisamente los núcleos de homomorfismos con dominio.${\ Displaystyle f: G \ to H}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle H.}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle G.}$${\ Displaystyle \ {e \}}$${\ Displaystyle H}$${\ Displaystyle \ ker f.}$${\ Displaystyle G, f (G),}$${\ Displaystyle G / \ ker f}$${\ Displaystyle G, G / N,}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle f: G \ a G / N,}$${\ Displaystyle N}$ ${\ Displaystyle G.}$

Ver también

Notas

Referencias

Otras lecturas

• EN Herstein , Temas de álgebra. Segunda edicion. Xerox College Publishing, Lexington, Mass.-Toronto, Ontario, 1975. xi + 388 págs.

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "subgrupo normal" . MathWorld .
• Subgrupo normal en la Enciclopedia de matemáticas de Springer
• Robert Ash: Fundamentos de grupo en álgebra abstracta. El año de posgrado básico
• Timothy Gowers, subgrupos normales y grupos de cocientes
• John Baez, ¿Qué es un subgrupo normal?