Grupo trivial - Trivial group

En matemáticas , un grupo trivial o grupo cero es un grupo que consta de un solo elemento. Todos estos grupos son isomorfos , por lo que uno habla a menudo de la grupo trivial. El único elemento del grupo trivial es el elemento de identidad y, por lo tanto, generalmente se denota como tal: o según el contexto. Si la operación de grupo se denota, entonces se define por

El definido de manera similar El monoide trivial también es un grupo, ya que su único elemento es su propio inverso y, por lo tanto, es el mismo que el grupo trivial.

El grupo trivial no debe confundirse con el conjunto vacío , que no tiene elementos y, al carecer de un elemento de identidad, no puede ser un grupo.

Definiciones

Dado cualquier grupo, el grupo que consiste solo en el elemento de identidad es un subgrupo de y, siendo el grupo trivial, se llama elsubgrupo trivial de

El término, cuando se hace referencia a " no tiene subgrupos propios no triviales" se refiere a los únicos subgrupos de ser el grupo trivial y el grupo en sí.

Propiedades

El grupo trivial es cíclico de orden ; como tal, se puede denotar o Si la operación de grupo se llama suma, el grupo trivial generalmente se denota como Si la operación de grupo se llama multiplicación, entonces 1 puede ser una notación para el grupo trivial. La combinación de estos conduce al anillo trivial en el que las operaciones de suma y multiplicación son idénticas y

El grupo trivial sirve como el objeto cero en la categoría de grupos , lo que significa que es tanto un objeto inicial como un objeto terminal .

El grupo trivial puede convertirse en un grupo (bi-) ordenado equipándolo con el orden trivial no estricto

Ver también

Referencias

  • Rowland, Todd y Weisstein, Eric W. "Trivial Group" . MathWorld .