Anillo de enteros - Ring of integers

En matemáticas , el anillo de números enteros de un campo numérico algebraico es el anillo de todos los números enteros algebraicos contenidos en . Un entero algebraica es una raíz de un polinomio mónico con enteros coeficientes: . Este anillo a menudo se denota con o . Dado que cualquier número entero pertenece y es un elemento integral de , el anillo siempre es un subanillo de .

El anillo de números enteros es el anillo de números enteros más simple posible. Es decir, dónde está el campo de los números racionales . Y de hecho, en la teoría algebraica de números, los elementos de a menudo se denominan "enteros racionales" debido a esto.

El siguiente ejemplo más simple es el anillo de números enteros gaussianos , que consta de números complejos cuyas partes real e imaginaria son números enteros. Es el anillo de números enteros en el campo numérico de los racionales gaussianos , que consta de números complejos cuyas partes real e imaginaria son números racionales. Como los enteros racionales, es un dominio euclidiano .

El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico es el orden máximo único en el campo. Siempre es un dominio de Dedekind .

Propiedades

El anillo de los enteros O K es un finitamente generado- Z - módulo . De hecho, es un módulo Z libre y, por lo tanto, tiene una base integral , es decir, una base b 1 , ..., b n ∈ O K del espacio de vectores  Q K tal que cada elemento  x en O K puede ser representado de forma única como

con un iZ . El rango  n de O K como libre Z -módulo es igual al grado de  K sobre Q .

Ejemplos de

Herramienta computacional

Una herramienta útil para calcular el cierre integral del anillo de números enteros en un campo algebraico K / Q es usar el discriminante. Si K es de grado n sobre Q , y forma una base de K sobre Q , establezca . Entonces, es un submódulo del módulo Z dividido por pg. 33 . De hecho, si d es libre de cuadrados, entonces esto forma una base integral para pg. 35 .

Extensiones ciclotómicas

Si p es un primo , ζ es una p- ésima raíz de la unidad y K = Q ( ζ ) es el campo ciclotómico correspondiente , entonces una base integral de O K = Z [ ζ ] está dada por (1,  ζ ,  ζ 2 , ...,  ζ p −2 ) .

Extensiones cuadráticas

Si es un número entero libre de cuadrados y es el campo cuadrático correspondiente , entonces es un anillo de números enteros cuadráticos y su base integral está dada por (1, (1 + d ) / 2) si d ≡ 1 ( mod 4) y por (1,  d ) si d ≡ 2, 3 (mod 4) . Esto se puede encontrar calculando el polinomio mínimo de un elemento arbitrario donde .

Estructura multiplicativa

En un anillo de números enteros, cada elemento tiene una factorización en elementos irreductibles , pero el anillo no necesita tener la propiedad de factorización única : por ejemplo, en el anillo de números enteros Z [ −5 ] , el elemento 6 tiene dos factorizaciones esencialmente diferentes. en irreducibles:

Un anillo de números enteros es siempre un dominio de Dedekind , por lo que tiene una factorización única de ideales en ideales principales .

Las unidades de un anillo de números enteros O K es un grupo abeliano generado finitamente por el teorema de la unidad de Dirichlet . El subgrupo de torsión consiste en las raíces de la unidad de K . Un conjunto de generadores sin torsión se denomina conjunto de unidades fundamentales .

Generalización

Uno define el anillo de números enteros de un campo local F no arquimediano como el conjunto de todos los elementos de F con valor absoluto ≤ 1 ; este es un anillo debido a la fuerte desigualdad del triángulo. Si F es la finalización de un campo numérico algebraico, su anillo de números enteros es la finalización del anillo de números enteros de este último. El anillo de números enteros de un campo numérico algebraico se puede caracterizar como los elementos que son números enteros en toda terminación no arquimediana.

Por ejemplo, los p -enteros ádicos Z p son el anillo de enteros de los p -números ádicos Q p .

Ver también

Notas

Citas


Referencias