Ultrafiltro - Ultrafilter

La celosía del conjunto de potencias del conjunto {1,2,3,4}, con el conjunto superior ↑ {1,4} de color verde oscuro. Es un filtro principal , pero no un ultrafiltro , ya que puede extenderse al filtro no trivial más grande ↑ {1}, al incluir también los elementos de color verde claro. Dado que ↑ {1} no se puede extender más, es un ultrafiltro.

En la matemática campo de la teoría de la orden , un ultrafiltro en un determinado conjunto parcialmente ordenado (o "poset") es un cierto subconjunto de , a saber, una máxima filtro en , es decir, un filtro adecuado en que no se puede ampliar a un filtro adecuado más grande en . ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$ ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$

Si es un conjunto arbitrario, su conjunto de potencias ordenado por inclusión de conjunto , es siempre un álgebra booleana y, por lo tanto, un poset, y los ultrafiltros activados generalmente se denominan ultrafiltros en el conjunto . Un ultrafiltro en un conjunto puede considerarse como una medida finita aditiva en . En este punto de vista, cada subconjunto de se considera " casi todo " (tiene medida 1) o "casi nada" (tiene medida 0), dependiendo de si pertenece al ultrafiltro dado o no. ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle \ wp (X),}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle X}$

Los ultrafiltros tienen muchas aplicaciones en la teoría de conjuntos, la teoría de modelos y la topología .

Ultrafiltros en pedidos parciales

En teoría del orden , un ultrafiltro es un subconjunto de un conjunto parcialmente ordenado que es máximo entre todos los filtros adecuados . Esto implica que cualquier filtro que contenga correctamente un ultrafiltro debe ser igual a todo el poset.

Formalmente, si es un conjunto, parcialmente ordenado para entonces ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle \, \ leq \,}$

• un subconjunto se llama un filtro en si ${\ Displaystyle F \ subseteq P}$${\ Displaystyle P}$
  • ${\ Displaystyle F}$ no está vacío,
  • por cada existe algún elemento tal que y y${\ Displaystyle x, y \ en F,}$${\ Displaystyle z \ in F}$${\ Displaystyle z \ leq x}$${\ Displaystyle z \ leq y,}$
  • para todos e implica que también está en ;${\ Displaystyle x \ in F}$${\ Displaystyle y \ en P,}$ ${\ Displaystyle x \ leq y}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle F}$
• un subconjunto adecuado de se llama ultrafiltro en si ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle P}$
  • ${\ Displaystyle U}$es un filtro en y${\ Displaystyle P,}$
  • no hay un filtro adecuado para que se extienda correctamente (es decir, que sea ​​un subconjunto adecuado de ).${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle F}$

Tipos y existencia de ultrafiltros.

Cada ultrafiltro se clasifica exactamente en una de dos categorías: principal y gratuito. Un ultrafiltro principal (o fijo o trivial ) es un filtro que contiene un elemento mínimo . En consecuencia, los ultrafiltros principales tienen la forma de algunos (pero no todos) elementos del poset dado. En este caso se denomina elemento principal del ultrafiltro. Cualquier ultrafiltro que no sea principal se denomina ultrafiltro libre (o no principal ). ${\ Displaystyle F_ {a} = \ {x: a \ leq x \}}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a}$

Para los ultrafiltros en un conjunto de potencia, un ultrafiltro principal consta de todos los subconjuntos que contienen un elemento dado. Cada ultrafiltro en el que también es un filtro principal tiene esta forma. Por lo tanto, un ultrafiltro en es principal si y sólo si contiene un conjunto finito. Si es infinito, un ultrafiltro sobre es, por tanto, no principal si y sólo si contiene el filtro Fréchet de subconjuntos cofinite de Si es finito, cada ultrafiltro es principal. ${\ Displaystyle \ wp (S),}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle s \ en S.}$${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle \ wp (S)}$${\ Displaystyle S.}$${\ Displaystyle S}$

Cada filtro en un álgebra booleana (o más generalmente, cualquier subconjunto con la propiedad de intersección finita ) está contenido en un ultrafiltro (ver el lema del ultrafiltro ) y, por lo tanto, existen ultrafiltros libres, pero las pruebas involucran el axioma de elección ( AC ) en la forma del lema de Zorn . Por otro lado, la afirmación de que todos los filtros están contenidos en un ultrafiltro no implica AC . De hecho, es equivalente al teorema del ideal primo de Boole ( BPIT ), un conocido punto intermedio entre los axiomas de la teoría de conjuntos ( ZF ) de Zermelo-Fraenkel y la teoría ZF aumentada por el axioma de elección ( ZFC ). En general, las pruebas que involucran el axioma de elección no producen ejemplos explícitos de ultrafiltros libres, aunque es posible encontrar ejemplos explícitos en algunos modelos de ZFC ; por ejemplo, Gödel mostró que esto se puede hacer en el universo construible donde se puede escribir una función de elección global explícita. En ZF sin el axioma de elección, es posible que todo ultrafiltro sea principal.

Ultrafiltro en un álgebra de Boole

Un caso especial importante del concepto ocurre si el poset considerado es un álgebra booleana . En este caso, los ultrafiltros se caracterizan por contener, para cada elemento del álgebra de Boole, exactamente uno de los elementos y ¬ (siendo este último el complemento booleano de ): ${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle a}$

Si es un álgebra booleana y es un filtro adecuado, entonces las siguientes declaraciones son equivalentes: ${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle P,}$

1. ${\ Displaystyle F}$ es un ultrafiltro en ${\ Displaystyle P,}$
2. ${\ Displaystyle F}$es un filtro principal en${\ Displaystyle P,}$
3. para cada uno o (¬ )${\ Displaystyle a \ in P,}$${\ Displaystyle a \ in F}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle \ en F.}$

También se da una prueba de 1. ⇔ 2. (Burris, Sankappanavar, 2012, Corolario 3.13, p.133).

Además, los ultrafiltros en un álgebra booleana pueden relacionarse con ideales máximos y homomorfismos con el álgebra booleana de 2 elementos {verdadero, falso} (también conocido como morfismos de 2 valores ) de la siguiente manera:

• Dado un homomorfismo de un álgebra booleana en {verdadero, falso}, la imagen inversa de "verdadero" es un ultrafiltro, y la imagen inversa de "falso" es un ideal máximo.
• Dado un ideal máximo de un álgebra de Boole, su complemento es un ultrafiltro, y hay un homomorfismo único en {verdadero, falso} que toma el ideal máximo como "falso".
• Dado un ultrafiltro en un álgebra de Boole, su complemento es un ideal máximo, y hay un homomorfismo único en {verdadero, falso} llevando el ultrafiltro a "verdadero".

Ultrafiltro en el powerset de un equipo

Dado un conjunto arbitrario, su conjunto de potencias ordenado por inclusión de conjuntos , es siempre un álgebra de Boole; de ahí los resultados de la sección anterior Caso especial: se aplica el álgebra booleana . Un (ultra) filtro activado a menudo se denomina simplemente "(ultra) filtro activado ". Las definiciones formales anteriores se pueden particularizar al caso de powerset de la siguiente manera: ${\ Displaystyle X,}$ ${\ Displaystyle \ wp (X),}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle X}$

Dado un conjunto arbitrario, un ultrafiltro es un conjunto que consta de subconjuntos de tales que: ${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle X}$

1. El conjunto vacío no es un elemento de ${\ Displaystyle U.}$
2. Si y son subconjuntos del conjunto es un subconjunto de y es un elemento de, entonces también es un elemento de${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle U,}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle U.}$
3. Si y son elementos de entonces también lo es la intersección de y${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B}$${\ Displaystyle U,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle B.}$
4. Si es un subconjunto de entonces o su complemento relativo es un elemento de${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X,}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle X \ setminus A}$${\ Displaystyle U.}$

Otra forma de ver la ultrafiltros en un conjunto potencia es la siguiente: Para un determinado ultrafiltro definir una función de por el ajuste si es un elemento de y de otra manera. Esta función se denomina morfismo de dos valores . Entonces es finitamente aditiva , y por lo tanto un contenido en y todas las propiedades de los elementos de es verdadera en casi todas partes o falso en casi todas partes. Sin embargo, por lo general no es contable aditivo y, por lo tanto, no define una medida en el sentido habitual. ${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ wp (X)}$${\ Displaystyle m (A) = 1}$${\ Displaystyle A}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle m (A) = 0}$${\ Displaystyle m}$${\ Displaystyle \ wp (X),}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle m}$

Para un filtro que no es un ultrafiltro, se podría decir que si y si dejando indefinido en otro lugar. ${\ Displaystyle F}$${\ Displaystyle m (A) = 1}$${\ Displaystyle A \ in F}$${\ Displaystyle m (A) = 0}$${\ Displaystyle X \ setminus A \ in F,}$${\ Displaystyle m}$

Aplicaciones

Los ultrafiltros en powersets son útiles en topología , especialmente en relación con espacios compactos de Hausdorff , y en teoría de modelos en la construcción de ultraproductos y ultrapoderes . Cada ultrafiltro en un espacio compacto de Hausdorff converge exactamente en un punto. Asimismo, los ultrafiltros en álgebras de Boole juegan un papel central en el teorema de representación de Stone .

El conjunto de todos los ultrafiltros de un poset se puede topologizar de forma natural, lo que de hecho está muy relacionado con el teorema de representación antes mencionado. Para cualquier elemento de , sea Esto es más útil cuando es nuevamente un álgebra booleana, ya que en esta situación el conjunto de todos es una base para una topología de Hausdorff compacta . Especialmente, cuando se consideran los ultrafiltros en un conjunto de potencia, el espacio topológico resultante es la compactificación Stone-Čech de un espacio discreto de cardinalidad${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle a}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle D_ {a} = \ left \ {U \ in G: a \ in U \ right \}.}$${\ Displaystyle P}$${\ Displaystyle D_ {a}}$${\ Displaystyle G}$${\ Displaystyle \ wp (S),}$${\ Displaystyle | S |.}$

La construcción de ultraproductos en la teoría de modelos utiliza ultrafiltros para producir extensiones elementales de estructuras. Por ejemplo, al construir números hiperreales como un ultraproducto de los números reales , el dominio del discurso se extiende desde los números reales a las secuencias de números reales. Este espacio de secuencia se considera como un superconjunto de los reales al identificar cada real con la secuencia constante correspondiente. Para extender las funciones y relaciones familiares (por ejemplo, + y <) de lo real a lo hiperreal, la idea natural es definirlas puntualmente. Pero esto perdería importantes propiedades lógicas de los reales; por ejemplo, pointwise <no es un pedido total. Entonces, en cambio, las funciones y relaciones se definen " módulo puntual " , donde es un ultrafiltro en el conjunto de índices de las secuencias; por el teorema de Łoś ' , esto conserva todas las propiedades de los reales que se pueden establecer en la lógica de primer orden . Si no es principal, entonces la extensión así obtenida no es trivial. ${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$${\ Displaystyle U}$

En la teoría de grupos geométricos , los ultrafiltros no principales se utilizan para definir el cono asintótico de un grupo. Esta construcción proporciona una forma rigurosa de considerar mirar al grupo desde el infinito , que es la geometría a gran escala del grupo. Los conos asintóticos son ejemplos particulares de ultralímites de espacios métricos .

La prueba ontológica de Gödel de la existencia de Dios utiliza como axioma que el conjunto de todas las "propiedades positivas" es un ultrafiltro.

En la teoría de la elección social , los ultrafiltros no principales se utilizan para definir una regla (llamada función de bienestar social ) para agregar las preferencias de un número infinito de individuos. Contrario al teorema de imposibilidad de Arrow para un número finito de individuos, tal regla satisface las condiciones (propiedades) que Arrow propone (por ejemplo, Kirman y Sondermann, 1972). Mihara (1997, 1999) muestra, sin embargo, que tales reglas son prácticamente de interés limitado para los científicos sociales, ya que no son algorítmicas ni computables.

Ver también

• Filtro (matemáticas)  : en matemáticas, un subconjunto especial de un conjunto parcialmente ordenado
• Filtros en topología  : uso de filtros para describir y caracterizar todas las nociones y resultados topológicos básicos.
• Red universal

Notas

Referencias

Bibliografía

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Otras lecturas

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• Confort, WW; Negrepontis, S. (1974), La teoría de los ultrafiltros , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , MR  0396267
• Ultrafiltro en nLab