Teorema de representación de Stone para álgebras de Boole - Stone's representation theorem for Boolean algebras
En matemáticas , el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas establece que cada álgebra booleana es isomórfica a un determinado campo de conjuntos . El teorema es fundamental para una comprensión más profunda del álgebra de Boole que surgió en la primera mitad del siglo XX. El teorema fue probado por primera vez por Marshall H. Stone . Stone fue conducido a ello por su estudio de la teoría espectral de operadores en un espacio de Hilbert .
Espacios de piedra
Cada álgebra de Boole B tiene un espacio topológico asociado, denotado aquí S ( B ), llamado su espacio de Stone . Los puntos en S ( B ) son los ultrafiltros en B , o equivalentemente los homomorfismos de B al álgebra booleana de dos elementos . La topología en S ( B ) se genera mediante una base (cerrada) que consta de todos los conjuntos de la forma
Para cada álgebra de Boole B , S ( B ) es un espacio de Hausdorff compacto y totalmente desconectado ; estos espacios se denominan espacios de piedra (también espacios profinitos ). A la inversa, dado cualquier espacio topológico X , la colección de subconjuntos de X que están abiertos y cerrados (tanto cerrada y abierta) es un álgebra de Boole.
Teorema de representación
Una versión simple del teorema de representación de Stone establece que cada álgebra de Boole B es isomórfica al álgebra de subconjuntos abiertos de su espacio de Stone S ( B ). El isomorfismo envía un elemento al conjunto de todos los ultrafiltros que contienen b . Este es un conjunto abierto debido a la elección de la topología en S ( B ) y porque B es un álgebra booleana.
Repetición del teorema utilizando el lenguaje de la teoría de categorías ; el teorema establece que existe una dualidad entre la categoría de álgebras de Boole y la categoría de espacios de Stone. Esta dualidad significa que además de la correspondencia entre álgebras de Boole y sus espacios de Stone, cada homomorfismo de un álgebra A de Boole a un álgebra B de Boole corresponde de forma natural a una función continua de S ( B ) a S ( A ). En otras palabras, hay un funtor contravariante que da una equivalencia entre las categorías. Este fue un ejemplo temprano de una dualidad de categorías no trivial.
El teorema es un caso especial de dualidad de Stone , un marco más general para dualidades entre espacios topológicos y conjuntos parcialmente ordenados .
La prueba requiere el axioma de elección o una forma debilitada del mismo. Específicamente, el teorema es equivalente al teorema del ideal primo booleano , un principio de elección debilitado que establece que cada álgebra booleana tiene un ideal primo.
Una extensión de la dualidad clásica de Stone a la categoría de espacios booleanos (= espacios de Hausdorff localmente compactos de dimensión cero) y mapas continuos (respectivamente, mapas perfectos) fue obtenida por GD Dimov (respectivamente, por HP Doctor).
Ver también
- Campo de conjuntos : concepto algebraico en la teoría de la medida, también conocido como álgebra de conjuntos.
- Lista de temas de álgebra de Boole - artículo de la lista de Wikimedia
- Espacio Stonean
- Functor de piedra
- Grupo lucrativo
- Teorema de representación : prueba de que toda estructura con ciertas propiedades es isomorfa a otra estructura.
- Lema de ultrafiltro
Citas
Referencias
- Paul Halmos y Givant, Steven (1998) La lógica como álgebra . Exposiciones Matemáticas Dolciani No. 21. La Asociación Matemática de América .
- Johnstone, Peter T. (1982) Stone Spaces . Prensa de la Universidad de Cambridge. ISBN 0-521-23893-5 .
- Burris, Stanley N. y HP Sankappanavar, HP (1981) Un curso de álgebra universal. Springer-Verlag. ISBN 3-540-90578-2 .