Teorema del ideal primo booleano - Boolean prime ideal theorem

En matemáticas , el teorema del ideal primo booleano establece que los ideales en un álgebra booleana pueden extenderse a ideales primos . Una variación de esta afirmación para filtros en conjuntos se conoce como lema de ultrafiltro . Otros teoremas se obtienen considerando diferentes estructuras matemáticas con nociones apropiadas de ideales, por ejemplo, anillos e ideales primos (de la teoría de anillos), o redes distributivas e ideales máximos (de la teoría del orden ). Este artículo se centra en los teoremas de ideales primos de la teoría de órdenes.

Aunque los diversos teoremas de ideales primos pueden parecer simples e intuitivos, en general no se pueden deducir de los axiomas de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin el axioma de elección (abreviado ZF). En cambio, algunos de los enunciados resultan ser equivalentes al axioma de elección (AC), mientras que otros —el teorema del ideal primo de Boole, por ejemplo— representan una propiedad que es estrictamente más débil que AC. Es debido a este estado intermedio entre ZF y ZF + AC (ZFC) que el teorema del ideal primo de Boole a menudo se toma como un axioma de la teoría de conjuntos. Las abreviaturas BPI o PIT (para álgebras booleanas) se utilizan a veces para referirse a este axioma adicional.

Teoremas de ideales primos

Un ideal de orden es un conjunto inferior dirigido (no vacío) . Si el conjunto considerado parcialmente ordenado (poset) tiene suprema binario (también conocido como uniones ), al igual que los posets dentro de este artículo, entonces esto se caracteriza de manera equivalente como un conjunto inferior no vacío I que está cerrado para suprema binario (es decir, implica ) . Un I ideal es primo si su complemento de la teoría de conjuntos en el poset es un filtro (es decir, implica o ). Los ideales son adecuados si no son iguales a todo el conjunto.

Históricamente, el primer enunciado relacionado con los teoremas de ideales primos posteriores se refería de hecho a filtros, subconjuntos que son ideales con respecto al orden dual . El lema del ultrafiltro establece que cada filtro de un conjunto está contenido dentro de algún filtro máximo (adecuado): un ultrafiltro . Recuerde que los filtros en conjuntos son filtros adecuados del álgebra booleana de su conjunto de potencias . En este caso especial, los filtros máximos (es decir, los filtros que no son subconjuntos estrictos de ningún filtro adecuado) y los filtros principales (es decir, los filtros que con cada unión de subconjuntos X e Y también contienen X o Y ) coinciden. El dual de esta afirmación asegura así que cada ideal de un conjunto de poderes está contenido en un ideal primordial.

La declaración anterior condujo a varios teoremas de ideales primos generalizados, cada uno de los cuales existe en una forma débil y fuerte. Los teoremas de ideales primos débiles establecen que cada álgebra no trivial de una determinada clase tiene al menos un ideal primo. Por el contrario, los teoremas de ideales primos fuertes requieren que todo ideal que esté disjunto de un filtro dado pueda extenderse a un ideal primario que todavía esté disjunto de ese filtro. En el caso de álgebras que no son conjuntos, se utilizan diferentes subestructuras en lugar de filtros. En realidad, se sabe que muchas formas de estos teoremas son equivalentes, por lo que la afirmación de que "PIT" se cumple se suele tomar como la afirmación de que la afirmación correspondiente para las álgebras de Boole (BPI) es válida.

Otra variación de teoremas similares se obtiene reemplazando cada ocurrencia de ideal primo por ideal máximo . Los teoremas ideales máximos correspondientes (MIT) son a menudo, aunque no siempre, más fuertes que sus equivalentes PIT.

Teorema del ideal del primo booleano

El teorema del ideal de los primos de Boole es el teorema del ideal de los primos fuertes para las álgebras de Boole. Por tanto, la declaración formal es:

Sea B un álgebra booleana, sea I un ideal y sea F un filtro de B , de modo que I y F son disjuntos . Entonces me figure en algunos ideal primo de B que es disjunta de F .

El teorema del ideal del primo débil para las álgebras de Boole simplemente establece:

Cada álgebra de Boole contiene un ideal primo.

Nos referimos a estas declaraciones como el BPI débil y fuerte . Los dos son equivalentes, ya que el BPI fuerte implica claramente el BPI débil, y la implicación inversa se puede lograr utilizando el BPI débil para encontrar los ideales primos en el álgebra del cociente apropiado.

El BPI se puede expresar de varias formas. Para ello, recuerde el siguiente teorema:

Para cualquier I ideal de un álgebra de Boole B , los siguientes son equivalentes:

  • Yo es un ideal primordial.
  • I es un maximal ideales, es decir, para cualquier ideales adecuada J , si I está contenido en J entonces I = J .
  • Para cada elemento de una de B , que contiene exactamente uno de { un , ¬ un }.

Este teorema es un hecho bien conocido para las álgebras de Boole. Su dual establece la equivalencia de filtros prime y ultrafiltros. Tenga en cuenta que la última propiedad es, de hecho, auto-dual: solo la suposición previa de que I es un ideal proporciona la caracterización completa. Todas las implicaciones dentro de este teorema se pueden probar en ZF.

Por lo tanto, el siguiente teorema ideal máximo (fuerte) (MIT) para álgebras de Boole es equivalente a BPI:

Sea B un álgebra booleana, sea I un ideal y sea F un filtro de B , de modo que I y F son disjuntos. Entonces I está contenido en alguna máxima ideal de B que es disjunta de F .

Tenga en cuenta que uno requiere maximalidad "global", no sólo maximalidad con respecto a ser disjunta de F . Sin embargo, esta variación produce otra caracterización equivalente de BPI:

Sea B un álgebra booleana, sea I un ideal y sea F un filtro de B , de modo que I y F son disjuntos. Entonces I está contenido en un ideal de B que es máxima entre todos los ideales disjunta de F .

El hecho de que este enunciado sea equivalente a BPI se establece fácilmente observando el siguiente teorema: para cualquier retículo distributivo L , si un ideal I es máximo entre todos los ideales de L que son disjuntos a un filtro F dado , entonces I es un ideal primo . La prueba de esta afirmación (que de nuevo puede llevarse a cabo en la teoría de conjuntos ZF) se incluye en el artículo sobre ideales. Dado que cualquier álgebra booleana es una red distributiva, esto muestra la implicación deseada.

Todas las declaraciones anteriores ahora se ven fácilmente como equivalentes. Yendo aún más lejos, se puede explotar el hecho de que los órdenes duales de las álgebras booleanas son exactamente las mismas álgebras booleanas. Por lo tanto, al tomar los duales equivalentes de todos los enunciados anteriores, uno termina con una serie de teoremas que se aplican igualmente a las álgebras de Boole, pero donde cada ocurrencia de ideal es reemplazada por un filtro . Vale la pena señalar que para el caso especial en el que el álgebra de Boole bajo consideración es un conjunto de potencias con el orden de subconjuntos , el "teorema del filtro máximo" se denomina lema del ultrafiltro.

Resumiendo, para las álgebras de Boole, el MIT débil y fuerte, el PIT débil y fuerte, y estas declaraciones con filtros en lugar de ideales son todos equivalentes. Se sabe que todas estas afirmaciones son consecuencias del axioma de elección , AC , (la prueba fácil hace uso del lema de Zorn ), pero no se puede probar en ZF (teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel sin AC ), si ZF es consistente . Sin embargo, el BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección, aunque la prueba de esta afirmación, debida a JD Halpern y Azriel Lévy, no es trivial.

Otros teoremas de ideales primos

Las propiedades prototípicas que se discutieron para las álgebras de Boole en la sección anterior se pueden modificar fácilmente para incluir redes más generales , como redes distributivas o álgebras de Heyting . Sin embargo, en estos casos los ideales máximos son diferentes de los ideales principales, y la relación entre PIT y MIT no es obvia.

De hecho, resulta que los MIT para redes distributivas e incluso para álgebras de Heyting son equivalentes al axioma de elección. Por otro lado, se sabe que el PIT fuerte para redes distributivas es equivalente a BPI (es decir, al MIT y PIT para álgebras booleanas). Por tanto, esta afirmación es estrictamente más débil que el axioma de elección. Además, observe que las álgebras de Heyting no son auto-duales y, por lo tanto, el uso de filtros en lugar de ideales produce diferentes teoremas en este contexto. Quizás sorprendentemente, el MIT para los duales de las álgebras de Heyting no es más fuerte que el BPI, que está en marcado contraste con el MIT antes mencionado para las álgebras de Heyting.

Finalmente, los teoremas de ideales primos también existen para otras álgebras abstractas (no teóricas de orden). Por ejemplo, el MIT para anillos implica el axioma de elección. Esta situación requiere reemplazar el término "filtro" de la teoría del orden por otros conceptos; para los anillos, es apropiado un "subconjunto multiplicativamente cerrado".

El lema del ultrafiltro

Artículo principal: Lema de ultrafiltro
Véase también: topología de teoría de conjuntos

Un filtro en un conjunto X es una colección no vacía de subconjuntos no vacíos de X que está cerrada bajo intersección finita y bajo superconjunto. Un ultrafiltro es un filtro máximo. Los estados ultrafiltro lemma que cada filtro en un conjunto X es un subconjunto de algunos ultrafiltro en X . Un ultrafiltro que no contiene conjuntos finitos se llama "no principal". El lema del ultrafiltro, y en particular la existencia de ultrafiltros no principales (consideremos el filtro de todos los conjuntos con complementos finitos), se puede probar utilizando el lema de Zorn .

El lema del ultrafiltro es equivalente al teorema del ideal primo de Boole, con la equivalencia demostrable en la teoría de conjuntos ZF sin el axioma de elección. La idea detrás de la prueba es que los subconjuntos de cualquier conjunto forman un álgebra booleana parcialmente ordenada por inclusión, y cualquier álgebra booleana es representable como un álgebra de conjuntos por el teorema de representación de Stone .

Si el conjunto X es finito, entonces el lema del ultrafiltro puede probarse a partir de los axiomas ZF. Esto ya no es cierto para los conjuntos infinitos; debe asumirse un axioma adicional . El lema de Zorn , el axioma de elección y el teorema de Tychonoff pueden utilizarse para demostrar el lema del ultrafiltro. El lema del ultrafiltro es estrictamente más débil que el axioma de elección.

El lema del ultrafiltro tiene muchas aplicaciones en topología . El lema del ultrafiltro se puede utilizar para demostrar el teorema de Hahn-Banach y el teorema de la subbase de Alexander .

Aplicaciones

Intuitivamente, el teorema del ideal primo booleano establece que hay ideales primos "suficientes" en un álgebra booleana en el sentido de que podemos extender cada ideal a uno máximo. Esto es de importancia práctica para demostrar el teorema de representación de Stone para álgebras booleanas , un caso especial de dualidad de Stone , en el que uno equipa el conjunto de todos los ideales primos con una determinada topología y, de hecho, puede recuperar el álgebra booleana original ( hasta el isomorfismo ) a partir de esto. datos. Además, resulta que en las aplicaciones se puede elegir libremente trabajar con ideales primarios o con filtros primarios, porque cada ideal determina unívocamente un filtro: el conjunto de todos los complementos booleanos de sus elementos. Ambos enfoques se encuentran en la literatura.

Muchos otros teoremas de topología general que a menudo se dice que se basan en el axioma de elección son de hecho equivalentes a BPI. Por ejemplo, el teorema de que un producto de espacios compactos de Hausdorff es compacto es equivalente a él. Si dejamos de lado "Hausdorff" obtenemos un teorema equivalente al axioma completo de elección.

En teoría de grafos , el teorema de De Bruijn-Erdős es otro equivalente a BPI. Establece que, si un gráfico infinito dado requiere al menos algún número finito k en cualquier color de gráfico , entonces tiene un subgrafo finito que también requiere k .

Una aplicación no muy conocida del teorema del ideal primo de Boole es la existencia de un conjunto no medible (el ejemplo que se suele dar es el conjunto Vitali , que requiere el axioma de elección). De esto y del hecho de que el BPI es estrictamente más débil que el axioma de elección, se sigue que la existencia de conjuntos no medibles es estrictamente más débil que el axioma de elección.

En álgebra lineal, el teorema del ideal de los primos de Boole se puede utilizar para demostrar que dos bases cualesquiera de un espacio vectorial dado tienen la misma cardinalidad .

Ver también

Notas

Referencias

Una introducción fácil de leer, que muestra la equivalencia de PIT para álgebras booleanas y retículas distributivas.
La teoría de este libro a menudo requiere principios de elección. Las notas de varios capítulos discuten la relación general de los teoremas con PIT y MIT para varias estructuras (aunque en su mayoría rejillas) y dan indicaciones para más literatura.
Analiza el estado del lema del ultrafiltro.
Da muchos enunciados equivalentes para el BPI, incluidos los teoremas de ideales primos para otras estructuras algebraicas. Los PIT se consideran casos especiales de lemas de separación.