Axioma de elección - Axiom of choice


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Ilustración del axioma de elección, con cada S i y x i representa como una jarra y un mármol de color, respectivamente
(S i ) es una infinita familia de conjuntos de indexado sobre el número real de R ; es decir, hay un conjunto S i para cada número real i , con una pequeña muestra se muestra arriba. Cada conjunto contiene al menos una, y posiblemente infinitamente muchos, elementos. El axioma de elección nos permite seleccionar arbitrariamente un solo elemento de cada conjunto, formando una familia correspondiente de elementos ( x i ) También indexado sobre los números reales, con x i extraídas de S i . En general, las colecciones pueden ser indexados por encima de cualquier conjunto que , no sólo R .

En las matemáticas , el axioma de elección , o de CA , es un axioma de la teoría de conjuntos equivalente a la afirmación de que el producto cartesiano de una colección de conjuntos no vacíos no está vacío . De manera informal palabras, el axioma de elección dice que, dado cualquier conjunto de intervalos, cada uno que contiene al menos un objeto, es posible hacer una selección de exactamente un objeto desde cada bandeja, incluso si la colección es infinita . Formalmente, se afirma que para cada familia de conjuntos de no vacío establece existe una familia de conjuntos de elementos tales que para cada . El axioma de elección fue formulada en 1904 por Ernst Zermelo con el fin de formalizar su prueba del teorema del buen orden .

En muchos casos, dicha selección se puede hacer sin necesidad de invocar el axioma de elección; esto es especialmente el caso si el número de juegos es finito, o si una regla de selección está disponible - una cierta característica distintiva que le sucede a mantener durante exactamente un elemento de cada conjunto. Un ejemplo ilustrativo es conjuntos escogidas de los números naturales. A partir de tales conjuntos, uno siempre puede seleccionar el número más pequeño, por ejemplo, en {{4,5,6}, {10,12}, {}} 1,400,617,8000 los elementos más pequeños son {4, 10, 1}. En este caso, "seleccione el número más pequeño" es una función de elección . Incluso si se recogieron un número infinito de conjuntos de los números naturales, siempre será posible elegir el elemento más pequeño de cada conjunto para producir un conjunto. Es decir, la función de elección proporciona el conjunto de elementos elegidos. Sin embargo, ninguna función de elección es conocido por la colección de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales (si hay reales no construibles ). En ese caso, el axioma de elección debe ser invocado.

Russell acuñó una analogía: para cualquier colección (incluso infinito) de pares de zapatos, se puede escoger el zapato izquierdo de cada par para obtener una selección apropiada; esto hace que sea posible definir directamente una función de elección. Para una infinita colección de pares de calcetines (que se supone no tener características distintivas), no hay ninguna manera obvia de hacer una función que selecciona un calcetín de cada par, sin invocar el axioma de elección.

Aunque en un principio controvertido, el axioma de elección ahora se utiliza sin reservas por la mayoría de los matemáticos, y se incluye en la forma estándar de la teoría axiomática de conjuntos , Axiomas de Zermelo-Fraenkel con el axioma de elección ( ZFC ). Una de las motivaciones para este uso es que una serie de resultados matemáticos generalmente aceptados, tales como el teorema de Tychonoff , requiere el axioma de elección para sus pruebas. Los teóricos contemporáneos conjunto también estudian axiomas que no son compatibles con el axioma de elección, tales como el axioma de la determinación . El axioma de elección se evita en algunas variedades de las matemáticas constructivas , aunque hay variedades de las matemáticas constructivas en las que es abrazado el axioma de elección.

Declaración

Una función de elección es una función f , que se define en una colección X de conjuntos no vacíos, de manera que para cada conjunto A en X , f ( A ) es un elemento de A . Con este concepto, el axioma puede afirmar:

Axioma  -  Para cualquier conjunto X de conjuntos no vacíos, existe una función de elección f define en X .

Formalmente, esto se puede expresar como sigue:

Por lo tanto, la negación del axioma de elección indica que existe una colección de conjuntos no vacíos que no tiene función de elección.

Cada función de elección en una colección X de conjuntos no vacíos es un elemento del producto cartesiano de los sistemas en X . Esta no es la situación más general de un producto cartesiano de una familia de conjuntos, donde un conjunto dado puede ocurrir más de una vez como un factor; Sin embargo, uno puede centrarse en los elementos de este tipo de producto que seleccionan el mismo elemento cada vez que un determinado conjunto aparece como el factor, y tales elementos se corresponden con un elemento del producto cartesiano de los distintos conjuntos de la familia. El axioma de elección afirma la existencia de tales elementos; por lo que es equivalente a:

Dado cualquier familia de conjuntos no vacíos, su producto cartesiano es un conjunto no vacío.

Nomenclatura ZF, CA, y ZFC

En este artículo y otras discusiones sobre el axioma de elección las siguientes abreviaturas son comunes:

  • CA - el axioma de elección.
  • ZF - Zermelo-Fraenkel teoría omitiendo el axioma de elección.
  • ZFC - Zermelo-Fraenkel teoría, se extendió para incluir el axioma de elección.

variantes

Hay muchas otras declaraciones equivalentes del axioma de elección. Estos son equivalentes en el sentido de que, en presencia de otros axiomas básicos de la teoría de conjuntos, que implican el axioma de elección y están implícitos en ella.

Una variación evita el uso de funciones de elección por, en efecto, en sustitución de cada función de elección con su gama.

Dado cualquier conjunto X de pairwise disjuntos conjuntos no vacíos, existe al menos un conjunto C que contiene exactamente un elemento en común con cada uno de los sistemas en X .

Esto garantiza para cualquier partición de un conjunto X la existencia de un subconjunto C de X que contiene exactamente un elemento de cada parte de la partición.

Otro axioma equivalente sólo considera colecciones X que son esencialmente powersets de otros conjuntos:

Para cualquier conjunto A, el conjunto potencia de A (con el conjunto vacío eliminado) tiene una función de elección.

Los autores que utilizan esta formulación a menudo hablan de la función de elección en una , sino en cuenta que esta es una noción ligeramente diferente de la función de elección. Su dominio es el powerset de A (con el conjunto vacío eliminado), y así tiene sentido para cualquier conjunto A , mientras que con la definición utilizada en otra parte en este artículo, el dominio de una función de elección en una colección de conjuntos es que colección, y por lo que sólo tiene sentido para los conjuntos de conjuntos. Con esta noción alternativa de función de elección, el axioma de elección puede afirmar de forma compacta como

Cada juego tiene una función de elección.

que es equivalente a

Para cualquier conjunto A hay una función f tal que para cualquier subconjunto B no vacía de A , f ( B ) se encuentra en B .

La negación del axioma de este modo se puede expresar como:

Hay un conjunto A tal que para todas las funciones f (en el conjunto de subconjuntos no vacíos de A ), hay una B tal que f ( B ) no está en B .

Restricción a conjuntos finitos

La declaración del axioma de elección no especifica si la colección de conjuntos no vacíos es finito o infinito, y por lo tanto implica que cada colección finita de conjuntos no vacíos tiene una función de elección. Sin embargo, este caso particular es un teorema de la Zermelo-Fraenkel la teoría de conjuntos sin el axioma de elección (ZF); que se prueba fácilmente por inducción matemática . En el caso aún más simple de una colección de un conjunto, una función de elección solo corresponde a un elemento, por lo que esta instancia del axioma de elección dice que cada conjunto no vacío tiene un elemento; esto es trivial. El axioma de elección puede ser visto como la afirmación de la generalización de esta propiedad, ya evidente para las colecciones finitas, a las colecciones arbitrarias.

Uso

Hasta finales del siglo 19, el axioma de elección se utiliza a menudo de manera implícita, a pesar de que aún no había sido formalmente establecida. Por ejemplo, después de haber establecido que el conjunto X contiene sólo conjuntos no vacíos, un matemático podría haber dicho "dejar que F (s) es uno de los miembros de s para todos s en X ". En general, es imposible probar que F existe sin el axioma de elección, pero esto parece haber pasado desapercibido hasta que Zermelo .

No todas las situaciones requiere el axioma de elección. Para conjuntos finitos X , el axioma de elección sigue de los otros axiomas de la teoría de conjuntos. En ese caso, es equivalente a decir que si tenemos varios (un número finito de) las cajas, conteniendo cada uno al menos un elemento, entonces podemos elegir exactamente un artículo de cada caja. Está claro que podemos hacer esto: Empezamos en la primera casilla, seleccionar un elemento; ir a la segunda caja de texto, seleccionar un elemento; y así. El número de cajas es finito, por lo que finalmente nuestro procedimiento de elección llega a su fin. El resultado es una función explícita elección: una función que toma la primera casilla al primer elemento que elegimos, el segundo cuadro al segundo elemento que elegimos, y así sucesivamente. (Una prueba formal para todos los conjuntos finitos usaría el principio de inducción matemática para demostrar "para cada número natural k , cada familia de k conjuntos no vacíos tiene una función de elección.") Este método no puede, sin embargo, utilizarse para mostrar que cada contable familia de conjuntos no vacíos tiene una función de elección, tal como se afirma por el axioma de elección contable . Si se aplica el método a una secuencia infinita ( X i  : i ∈ω) de conjuntos no vacíos, una función se obtiene en cada etapa finito, pero no hay ninguna fase en la que se construye una función de elección para toda la familia, y no " limitar" función de elección se puede construir, en general, en ZF sin el axioma de elección.

Ejemplos

La naturaleza de los conjuntos no vacíos individuales de la colección puede hacer que sea posible para evitar el axioma de elección, incluso para ciertos conjuntos infinitos. Por ejemplo, supongamos que cada miembro de la colección X es un subconjunto no vacío de los números naturales. Cada legajo tiene un elemento más pequeño, por lo que para especificar nuestra función de elección simplemente podemos decir que los mapas de cada conjunto al menos el elemento de ese conjunto. Esto nos da una elección definitiva de un elemento de cada conjunto, y hace innecesario aplicar el axioma de elección.

La dificultad aparece cuando no hay elección natural de los elementos de cada conjunto. Si no podemos tomar decisiones explícitas, ¿cómo sabemos que existe nuestro conjunto? Por ejemplo, supongamos que X es el conjunto de todos los subconjuntos no vacíos de los números reales . En primer lugar, podría tratar de proceder como si X fuera finito. Si tratamos de elegir un elemento de cada conjunto, entonces, porque X es infinito, nuestro procedimiento de elección será nunca llegan a su fin, y por lo tanto, nunca será capaz de producir una función de elección para todos X . A continuación podemos probar que especifica el elemento mínimo de cada conjunto. Sin embargo, algunos subconjuntos de los números reales no tienen menos elementos. Por ejemplo, el abierto intervalo (0,1) no tiene un elemento menos: si x está en (0,1), entonces también lo es x / 2, y x / 2 es siempre estrictamente menor que x . Así que este intento también falla.

Además, considere por ejemplo, el círculo de la unidad S , y la acción en S por un grupo G que consiste en todas las rotaciones racionales. Es decir, se trata de rotaciones de ángulos que son múltiplos racionales de  π . Aquí G es contable mientras que S es incontable. Por lo tanto S se rompe en uncountably muchas órbitas bajo  G . Usando el axioma de elección, podríamos escoger un punto único de cada órbita, la obtención de un subconjunto numerable X de S con la propiedad de que todos sus traduce por G son disjunta de  X . El conjunto de los tabiques se traduce el círculo en una colección numerable de conjuntos disjuntos, que son todos congruentes pares. Dado que X no se puede medir por cualquier medida finita numerable aditivo rotación invariante en S , la búsqueda de un algoritmo para seleccionar un punto en cada órbita requiere el axioma de elección. Ver conjunto no medible para más detalles.

La razón por la que somos capaces de elegir menos elementos de los subconjuntos de los números naturales es el hecho de que los números naturales están bien ordenadas : cada subconjunto no vacío de los números naturales tiene un elemento menos única bajo el ordenamiento natural. Se podría decir, "A pesar de que el orden habitual de los números reales no funciona, puede ser posible encontrar un orden diferente de los números reales que es un buen orden. Entonces nuestra función de elección puede elegir el elemento mínimo de cada conjunto bajo nuestro ordenamiento inusual ". El problema entonces se convierte en el de la construcción de un buen orden, que resulta de exigir el axioma de elección para su existencia; cada conjunto puede ser bien ordenado si y sólo si el axioma de elección se mantiene.

La crítica y la aceptación

Una prueba que requiere el axioma de elección puede establecer la existencia de un objeto sin explícitamente la definición del objeto en el lenguaje de la teoría de conjuntos. Por ejemplo, mientras que el axioma de elección implica que hay una buena ordenación de los números reales, hay modelos de la teoría de conjuntos con el axioma de elección en la que ningún buen orden de los números reales es definible. Del mismo modo, aunque un subconjunto de los números reales que no se Lebesgue medible puede ser probado de existir usando el axioma de elección, es coherente que tal conjunto es definible.

El axioma de elección demuestra la existencia de estos intangibles (objetos que se probaron de existir, pero que no se pueden construir de forma explícita), que pueden entrar en conflicto con algunos principios filosóficas. Porque no hay canónica buena ordenación de todos los conjuntos, una construcción que se basa en un buen orden puede no producir un resultado canónica, incluso si se desea un resultado canónica (como suele ser el caso en la teoría de la categoría ). Esto ha sido utilizado como un argumento contra el uso del axioma de elección.

Otro argumento contra el axioma de elección es que implica la existencia de objetos que pueden parecer contrario a la intuición. Un ejemplo es la paradoja de Banach-Tarski que dice que es posible descomponer la bola unidad sólido 3-dimensional en un número finito de piezas y, utilizando sólo rotaciones y traslaciones, volver a montar las piezas en dos bolas sólidas cada una con el mismo volumen que el original . Las piezas de esta descomposición, construido usando el axioma de elección, son conjuntos no medibles .

A pesar de estas aparentemente paradójicos hechos, la mayoría de los matemáticos aceptan el axioma de elección como principio válido para probar nuevos resultados en matemáticas. El debate es lo suficientemente interesante, sin embargo, que se considera de la nota cuando un teorema en ZFC (ZF plus AC) es lógicamente equivalente (con sólo los axiomas de ZF) con el axioma de elección, y los matemáticos buscar resultados que requieren el axioma de elección de ser falsa, aunque este tipo de deducción es menos común que el tipo que requiere el axioma de elección para ser verdad.

Es posible probar muchos teoremas usando ni el axioma de elección ni su negación; tales declaraciones serán verdaderas en cualquier modelo de ZF, independientemente de la verdad o falsedad del axioma de elección en ese modelo en particular. La restricción a ZF hace cualquiera de las reivindicaciones que se basa en ya sea el axioma de elección o su negación imposible de demostrar. Por ejemplo, la paradoja de Banach-Tarski no es ni demostrable ni refutable de ZF solos: es imposible construir la descomposición requerido de la bola unidad de ZF, sino también imposible demostrar que no hay tal descomposición. Del mismo modo, todas las declaraciones que figuran a continuación, que requieren elección o alguna versión más débil del mismo para su prueba son improbables en ZF, pero ya que cada uno es demostrable en ZF más el axioma de elección, hay modelos de ZF en el que cada afirmación es cierta. Declaraciones como la paradoja de Banach-Tarski se pueden reformularse como sentencias condicionales, por ejemplo, "Si la CA se mantiene, entonces existe la descomposición en la paradoja de Banach-Tarski." Tales sentencias condicionales son demostrables en ZF cuando los estados originales son demostrables de ZF y el axioma de elección.

En matemáticas constructiva

Como se discutió anteriormente, en ZFC, el axioma de elección es capaz de proporcionar " pruebas no constructivos " en los que se probó la existencia de un objeto aunque se construye ningún ejemplo explícito. ZFC, sin embargo, todavía se formaliza en la lógica clásica. El axioma de elección también se ha estudiado a fondo en el contexto de las matemáticas constructivas, las que se emplea la lógica no clásica. El estado del axioma de elección varía entre las diferentes variedades de las matemáticas constructivas.

En la teoría de tipos Martin-Löf y de orden superior Heyting aritmética , la declaración correspondiente del axioma de elección es (dependiendo del enfoque) incluyó como un axioma o demostrable como un teorema. Errett obispo sostuvo que el axioma de elección fue constructiva aceptable, diciendo

Existe una función de elección en las matemáticas constructivas, ya que una elección está implícito en el sentido mismo de la existencia.

En la teoría de conjuntos constructiva , sin embargo, el teorema de Diaconescu muestra que el axioma de elección implica la ley del medio excluido (a diferencia de la teoría de tipos Martin-Löf, en la que no lo hace). Por lo tanto el axioma de elección no está generalmente disponible en la teoría de conjuntos constructiva. A causa de esta diferencia es que el axioma de elección en la teoría de tipos no tiene los extensionalidad propiedades que el axioma de elección en la teoría de conjuntos constructiva hace.

Algunos resultados de la teoría de conjuntos constructiva usan el axioma de elección contable o el axioma de elección dependiente , que no impliquen la ley del medio excluido en la teoría de conjuntos constructiva. Aunque el axioma de elección contable en particular, se utiliza comúnmente en las matemáticas constructivas, su uso también ha sido cuestionada.

Independencia

En 1938, Kurt Gödel mostró que la negación del axioma de elección no es un teorema de ZF mediante la construcción de un modelo interno (el universo construible ) que satisface ZFC y por lo tanto mostrando que ZFC es consistente si misma ZF es consistente. En 1963, Paul Cohen emplea la técnica de forzar , desarrollado para este propósito, para mostrar que: suponiendo ZF es consistente, el axioma de elección en sí no es un teorema de ZF mediante la construcción de un modelo mucho más complejo que satisface ZF¬C (ZF con la negación de AC añadido como axioma) y mostrando así que ZF¬C es consistente. En conjunto, estos resultados establecen que el axioma de elección es lógicamente independiente de ZF. La suposición de que ZF es consistente es inofensivo porque la adición de otro axioma a un sistema ya incoherente no puede empeorar la situación. A causa de la independencia, la decisión de utilizar el axioma de elección (o su negación) en una prueba no puede realizarse mediante recurso a otros axiomas de la teoría de conjuntos. La decisión debe ser tomada por otros motivos.

Un argumento dado a favor de usar el axioma de elección es que es cómodo de usar porque le permite a uno para demostrar algunas proposiciones simplificadoras que de otro modo no se pudo probar. Muchos teoremas que son demostrables mediante elección son de carácter general, elegante: todos los ideales de un anillo está contenido en un ideal maximal , cada espacio vectorial tiene una base , y cada producto de espacios compactos es compacto. Sin el axioma de elección, estos teoremas no pueden mantener durante objetos matemáticos de gran cardinalidad.

La prueba de la independencia resultado también muestra que una amplia clase de enunciados matemáticos, incluyendo todas las declaraciones que se puede expresar en el lenguaje de la aritmética de Peano , son demostrables en ZF si y sólo si son demostrables en ZFC. Las declaraciones en esta clase incluyen la afirmación de que P = NP , la hipótesis de Riemann , y muchos otros problemas matemáticos no resueltos. Cuando se intenta resolver los problemas de esta clase, no hace ninguna diferencia si ZF o ZFC se emplea si la única cuestión es la existencia de una prueba. Es posible, sin embargo, que no es una prueba más corta de un teorema de ZFC que de ZF.

El axioma de elección no es la única declaración significativa que es independiente de ZF. Por ejemplo, la hipótesis del continuo generalizada (GCH) no sólo es independiente de ZF, sino también independiente de ZFC. Sin embargo, además de ZF GCH implica AC, haciendo GCH una demanda más fuerte que estrictamente AC, a pesar de que ambos son independientes de ZF.

axiomas más fuertes

El axioma de constructibilidad y la hipótesis del continuo generalizada cada uno implica el axioma de elección y por lo tanto son estrictamente más fuerte que él. En las teorías de clase como Von Neumann-Bernays-Gödel la teoría de conjuntos y Morse-Kelley teoría de conjuntos , existe un axioma llamado el axioma de elección mundial que es más fuerte que el axioma de elección para los conjuntos, ya que también se aplica a las clases apropiadas. El axioma de elección mundial sigue del axioma de limitación de tamaño .

equivalentes

Hay declaraciones importantes que, suponiendo que los axiomas de ZF pero ninguno de CA ni ¬AC, son equivalentes al axioma de elección. El más importante de ellos son lema de Zorn y el teorema del buen orden . De hecho, Zermelo introdujo inicialmente el axioma de elección con el fin de formalizar su prueba del teorema del buen orden.

teoría de la categoría

Hay varios resultados en la teoría de categorías que invocan el axioma de elección para su prueba. Estos resultados podrían ser más débiles que, equivalentes a, o más fuerte que el axioma de elección, dependiendo de la fuerza de los fundamentos técnicos. Por ejemplo, si uno define categorías en términos de conjuntos, es decir, como conjuntos de objetos y morfismos (normalmente llamado una categoría pequeña ), o incluso localmente pequeñas categorías, cuyos HOM-objetos son conjuntos, entonces no hay categoría de todos los conjuntos y por lo que es difícil para una formulación de la teoría de la categoría se aplique a todos los conjuntos. Por otro lado, otras descripciones fundamentales de la teoría de categorías son considerablemente más fuertes, y un estado de la categoría de teoría idéntica de elección puede ser más fuerte que la formulación estándar, a la teoría de las clases, se ha mencionado anteriormente.

Ejemplos de declaraciones categoría-teórico que requieren elección incluyen:

  • Cada pequeña categoría tiene un esqueleto .
  • Si dos categorías pequeñas son débilmente equivalentes, entonces son equivalentes .
  • Cada funtor continua en una categoría de pequeña completa que satisface la condición conjunto solución adecuada tiene una izquierda-adjunto (el Freyd funtor adjunto teorema).

formas más débiles

Hay varios más débil declaraciones que no son equivalentes al axioma de elección, pero están estrechamente relacionados. Un ejemplo es el axioma de elección dependiente (DC). Un ejemplo todavía más débil es el axioma de elección contable (AC ω o CC), que establece que existe una función de elección para cualquier conjunto numerable de conjuntos no vacíos. Estos axiomas son suficientes para muchas pruebas en primaria análisis matemático , y son compatibles con algunos principios, como la capacidad de medición de Lebesgue de todos los conjuntos de números reales, que son refutables del axioma de elección completa.

Otra opción axiomas más débil que el axioma de elección incluye el teorema ideal primero de Boole y el axioma de la uniformización . El primero es equivalente en ZF a la existencia de un ultrafiltro que contiene cada filtro dado, demostrado por Tarski en 1930.

Resultados que requieren AC (o formas más débil) pero más débil que lo

Uno de los aspectos más interesantes del axioma de elección es el gran número de lugares en matemáticas, que se muestre. Aquí hay algunas declaraciones que requieren el axioma de elección en el sentido de que no son demostrables de ZF, pero son demostrables de ZFC (ZF además CA). De manera equivalente, estas afirmaciones son ciertas en todos los modelos de ZFC pero falsa en algunos modelos de ZF.

implicaciones posiblemente equivalentes de AC

Hay varias declaraciones de teoría de conjuntos históricamente importantes implicadas por la CA cuya equivalencia con AC está abierto. El principio de partición, que fue formulada antes de AC sí mismo, fue citado por Zermelo como una justificación para creer AC. En 1906, Russell declaró PP que es equivalente, pero si la partición principio implica AC sigue siendo el problema abierto más antiguo de la teoría de conjuntos, y las equivalencias de las otras declaraciones son igualmente dura viejos problemas abiertos. En todos conocido modelo de ZF, donde falla la elección, estas declaraciones han fallado a demasiados, pero no se sabe si son capaces de mantener sin elección.

  • Teoría de conjuntos
    • principio de partición: si hay un surjection de A a B, hay una inyección de B a A. De manera equivalente, cada partición P de un conjunto S es menor que o igual a S de tamaño.
    • Conversar Schröder-Bernstein teorema : si dos conjuntos tienen surjections entre sí, son equinumerous.
    • principio de partición débil: Una partición de un conjunto S no puede ser estrictamente mayor que S. Si WPP se mantiene, esto ya implica la existencia de un conjunto no medible. Cada una de las tres declaraciones anteriores está implícito en el anterior, pero se desconoce si alguna de estas consecuencias pueden ser invertidos.
    • No hay infinita disminuyendo secuencia de cardenales. La equivalencia se conjeturó por Schoenflies en 1905.
  • Álgebra abstracta
    • Hahn teorema incrustación : Cada grupo abeliano ordenado G fin-incrusta subgrupo del grupo aditivo ℝ Ω dotado de un orden lexicográfico, donde Ω es el conjunto de clases de equivalencia de Arquímedes de Ω. Esta equivalencia se conjeturó por Hahn en 1907.

formas más fuertes de la negación de la AC

Ahora, considere formas más fuertes de la negación de la AC. Por ejemplo, si se abrevia por BP la afirmación de que cada conjunto de números reales tiene la propiedad de Baire , a continuación, BP es más fuerte que ¬AC, que afirma la inexistencia de cualquier función de elección en tal vez sólo un único conjunto de conjuntos no vacíos. Tenga en cuenta que fortalecen negaciones pueden ser compatibles con las formas debilitadas de AC. Por ejemplo, ZF + DC + BP es consistente, si ZF es.

También es coherente con ZF + DC que cada conjunto de números reales es Lebesgue medible ; Sin embargo, este resultado consistencia, debido a Robert M. Solovay , no se puede probar en sí mismo ZFC, pero requiere un leve cardinal gran supuesto (la existencia de un cardenal inaccesible ). El más fuerte axioma de determinación , o AD, implica que cada conjunto de números reales es Lebesgue medible, tiene la propiedad de Baire, y tiene la propiedad de conjunto perfecto (los tres de estos resultados se refutado por AC en sí). ZF + DC + AD es consistente siempre que un suficientemente fuerte gran axioma cardinal es coherente (la existencia de un número infinito de cardenales Woodin ).

sistema de la teoría axiomática de conjuntos de Quine, "Nuevos Cimientos" (NF), toma su nombre del título ( “Nuevas Bases para la lógica matemática”) del artículo de 1937, que introdujo. En el sistema axiomático NF, el axioma de elección puede ser refutada.

Las declaraciones consistentes con la negación de AC

Hay modelos de la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel en el que el axioma de elección es falsa. Vamos a abreviar "Axiomas de Zermelo-Fraenkel más la negación del axioma de elección" por ZF¬C. Para ciertos modelos de ZF¬C, es posible probar la negación de algunos datos estándar. Tenga en cuenta que cualquier modelo de ZF¬C es también un modelo de ZF, por lo que para cada una de las siguientes afirmaciones, no existe un modelo de ZF en el que esa afirmación es cierta. Para cada una de las siguientes afirmaciones, hay un cierto modelo de ZF¬C donde es verdadera:

  • En algunos modelos, hay un conjunto que puede ser dividido en estrictamente más clases de equivalencia que el conjunto original tiene elementos, y una función cuyo dominio es estrictamente menor que su gama. De hecho, este es el caso en todos los conocidos modelos.
  • Hay una función f de los números reales a los números reales tales que f no es continua en una , pero f es secuencialmente continua en una , es decir, para cualquier secuencia { x n } converge a una , lim n f ( x n ) = f (a).
  • En algunos modelos, hay un conjunto infinito de números reales sin un subconjunto infinito numerable.
  • En algunos modelos, los números reales son una unión numerable de conjuntos numerables.
  • En algunos modelos, hay un campo sin clausura algebraica.
  • En todos los modelos de ZF¬C hay un espacio vectorial sin base.
  • En algún modelo en el que hay un espacio vectorial con dos bases de diferentes cardinalidades.
  • En algunos modelos hay un libre álgebra de Boole completa en una cantidad numerable de generadores.
  • En algunos modelos hay un conjunto que no puede ser ordenado linealmente .

Para las pruebas, consulte Jech (2008) .

Axioma de elección en la teoría de tipos

En la teoría de tipos , un tipo diferente de declaración se conoce como el axioma de elección. Esta forma comienza con dos tipos, sigma y τ, y una relación R entre objetos de tipo σ y objetos de tipo τ. El axioma de elección establece que si para cada x de tipo σ existe una y de tipo τ tal que R ( x , y ), entonces no es una función f de los objetos de tipo σ a objetos de tipo τ tal que R ( x , f ( x )) se mantiene para todas las x de tipo σ:

A diferencia de la teoría de conjuntos, el axioma de elección en teoría tipo se indica normalmente como un esquema de axioma , en la que R varía en todas las fórmulas o sobre todas las fórmulas de una forma lógica particular.

Citas

El axioma de elección es obviamente cierto, el principio de buena ordenación obviamente falsa, y quién puede decir sobre el Lema de Zorn ?

Se trata de una broma: aunque los tres son todos matemáticamente equivalentes, muchos matemáticos encontrar el axioma de elección para ser intuitivo, el principio del buen orden que sea contrario a la intuición, y el lema de Zorn a ser demasiado complejo para cualquier intuición.

El axioma de elección es necesario seleccionar un conjunto de un número infinito de pares de calcetines, pero no un número infinito de pares de zapatos.

La observación aquí es que uno puede definir una función para seleccionar entre un número infinito de pares de zapatos al afirmar, por ejemplo, elegir un zapato izquierdo. Sin el axioma de elección, no se puede afirmar que existe una función de este tipo de pares de medias, porque los calcetines izquierdo y derecho son (presumiblemente) indistinguibles.

Tarski intentó publicar su teorema [la equivalencia entre CA y "cada conjunto infinito A tiene la misma cardinalidad que A  ×  A ", véase más arriba] en Comptes Rendus , pero Fréchet y Lebesgue se negó a presentarla. Fréchet escribió que una implicación entre dos proposiciones conocidas [verdaderos] no es un resultado nuevo y de Lebesgue escribió que una implicación entre dos proposiciones falsas no es de interés.

Matemático estadounidense de origen polaco Jan Mycielski se refiere esta anécdota en un artículo de 2006 en el anuncio de la AMS.

El axioma recibe su nombre no porque los matemáticos prefieren a otros axiomas.

Esta cita proviene de la famosa Día de los Inocentes artículo en el recreaciones informáticas columna del Scientific American , abril de 1989.

notas

referencias

En: Jean van Heijenoort de 2002. A partir de Frege a Gödel: A Source Book en la lógica matemática, 1879-1931 . Nueva edición. Harvard University Press . ISBN  0-674-32449-8
  • 1904. "La prueba de que cada conjunto puede ser bien ordenado," 139-41.
  • 1908. "Las investigaciones en las bases de la teoría de conjuntos I," 199-215.

enlaces externos