Integración de Lebesgue - Lebesgue integration

La integral de una función positiva se puede interpretar como el área bajo una curva.

En matemáticas , la integral de un no negativo función de una sola variable puede considerarse, en el caso más simple, como el área entre el gráfico de esta función y la x eje y. La integral de Lebesgue , que lleva el nombre del matemático francés Henri Lebesgue , extiende la integral a una clase más amplia de funciones. También amplía los dominios en los que se pueden definir estas funciones.

Mucho antes del siglo XX, los matemáticos ya entendían que para funciones no negativas con un gráfico lo suficientemente suave , como funciones continuas en intervalos cerrados delimitados , el área bajo la curva podría definirse como la integral y calcularse utilizando técnicas de aproximación en la región. por polígonos . Sin embargo, a medida que surgió la necesidad de considerar funciones más irregulares, por ejemplo, como resultado de los procesos limitantes del análisis matemático y la teoría matemática de la probabilidad , quedó claro que se necesitaban técnicas de aproximación más cuidadosas para definir una integral adecuada. Además, uno podría desear integrar en espacios más generales que la línea real. La integral de Lebesgue proporciona las abstracciones necesarias para esto.

La integral de Lebesgue juega un papel importante en la teoría de la probabilidad , el análisis real y muchos otros campos de las matemáticas. Lleva el nombre de Henri Lebesgue (1875-1941), quien introdujo la integral ( Lebesgue 1904 ). También es una parte fundamental de la teoría axiomática de la probabilidad .

El término integración de Lebesgue puede significar la teoría general de integración de una función con respecto a una medida general , tal como la introdujo Lebesgue, o el caso específico de integración de una función definida en un subdominio de la línea real con respecto a la Medida de Lebesgue .

Introducción

La integral de una función positiva f entre límites una y b se puede interpretar como el área bajo la gráfica de f . Esto es sencillo para funciones como polinomios , pero ¿qué significa para funciones más exóticas? En general, ¿para qué clase de funciones tiene sentido "área bajo la curva"? La respuesta a esta pregunta tiene una gran importancia teórica y práctica.

Como parte de un movimiento general hacia el rigor en las matemáticas en el siglo XIX, los matemáticos intentaron colocar el cálculo integral sobre una base firme. La integral de Riemann, propuesta por Bernhard Riemann (1826-1866), es un intento ampliamente exitoso de proporcionar tal base. La definición de Riemann comienza con la construcción de una secuencia de áreas fácilmente calculadas que convergen en la integral de una función dada. Esta definición tiene éxito en el sentido de que da la respuesta esperada para muchos problemas ya resueltos y da resultados útiles para muchos otros problemas.

Sin embargo, la integración de Riemann no interactúa bien con tomar límites de secuencias de funciones, lo que dificulta el análisis de estos procesos limitantes. Esto es importante, por ejemplo, en el estudio de series de Fourier , transformadas de Fourier y otros temas. La integral de Lebesgue es más capaz de describir cómo y cuándo es posible tomar límites bajo el signo integral (a través del teorema de convergencia monótona y el teorema de convergencia dominada ).

Mientras que la integral de Riemann considera que el área bajo una curva está formada por rectángulos verticales, la definición de Lebesgue considera losas horizontales que no son necesariamente rectángulos, por lo que es más flexible. Por esta razón, la definición de Lebesgue permite calcular integrales para una clase más amplia de funciones. Por ejemplo, la función de Dirichlet , que es 0 donde su argumento es irracional y 1 en caso contrario, tiene una integral de Lebesgue, pero no tiene una integral de Riemann. Además, la integral de Lebesgue de esta función es cero, lo que concuerda con la intuición de que cuando se elige un número real uniformemente al azar del intervalo unitario, la probabilidad de elegir un número racional debe ser cero.

Lebesgue resumió su enfoque de la integración en una carta a Paul Montel :

Tengo que pagar una determinada suma, que he recogido en mi bolsillo. Saco los billetes y monedas de mi bolsillo y se los doy al acreedor en el orden en que los encuentro hasta que alcanzo la suma total. Esta es la integral de Riemann. Pero puedo proceder de otra manera. Después de haber sacado todo el dinero de mi bolsillo, ordeno los billetes y monedas de acuerdo con valores idénticos y luego pago los varios montones uno tras otro al acreedor. Esta es mi integral.

-  Fuente : ( Siegmund-Schultze 2008 )

La idea es que uno debería poder reorganizar los valores de una función libremente, mientras se conserva el valor de la integral. Este proceso de reordenamiento puede convertir una función muy patológica en una que sea "agradable" desde el punto de vista de la integración, y así permitir que tales funciones patológicas se integren.

Interpretación intuitiva

Integración de Riemann-Darboux (en azul) e integración de Lebesgue (en rojo).

Para tener algo de intuición sobre los diferentes enfoques de la integración, imaginemos que queremos encontrar el volumen de una montaña (sobre el nivel del mar).

El enfoque de Riemann-Darboux
Divide la base de la montaña en una cuadrícula de cuadrados de 1 metro. Mide la altitud de la montaña en el centro de cada cuadrado. El volumen en un solo cuadrado de la cuadrícula es aproximadamente 1 m 2 × (la altitud de ese cuadrado), por lo que el volumen total es 1 m 2 veces la suma de las altitudes.
El enfoque de Lebesgue
Dibuja un mapa de contornos de la montaña, donde los contornos adyacentes están separados por 1 metro de altitud. El volumen contenido en un contorno es aproximadamente 1 m × (el área de ese contorno), por lo que el volumen total es la suma de estas áreas por 1 m.

Folland resume la diferencia entre los enfoques de Riemann y Lebesgue así: "para calcular la integral de Riemann de f , uno divide el dominio [ a , b ] en subintervalos", mientras que en la integral de Lebesgue, "uno está en efecto dividiendo el rango de f . "

Se muestra una función medible, junto con el conjunto (en el eje x ). La integral de Lebesgue se obtiene cortando a lo largo del eje y , utilizando la medida de Lebesgue unidimensional para medir el "ancho" de los cortes.

Para definir la integral de Lebesgue requiere la noción formal de una medida que, más o menos, asocia a cada conjunto A de números reales no negativos varios mu ( A ) que representan el "tamaño" de una . Esta noción de "tamaño" debe coincidir con la longitud habitual de un intervalo o unión disjunta de intervalos. Suponga que f  : RR + es una función de valor real no negativa. El área de una pequeña losa horizontal debajo de la gráfica de f , de altura dt , es igual al ancho de la tira por dt . Esta área elemental se puede escribir como

y la integral de Lebesgue se puede determinar sumando estas áreas elementales.

Lebesgue (1904) construye su integral delimitando entre aproximaciones de suma superior e inferior a esta suma de áreas elementales, de manera similar al enfoque de Riemann-Darboux. Esto es equivalente a los tratamientos contemporáneos a través de funciones simples . Alternativamente, la integral de Lebesgue se puede definir tomando una integral de Riemann impropia de las áreas elementales.

Teoría de la medida

La teoría de la medida se creó inicialmente para proporcionar una abstracción útil de la noción de longitud de subconjuntos de la línea real y, de manera más general, área y volumen de subconjuntos de espacios euclidianos. En particular, proporcionó una respuesta sistemática a la pregunta de qué subconjuntos de R tienen una longitud. Como demostraron los desarrollos posteriores de la teoría de conjuntos (ver conjunto no medible ), en realidad es imposible asignar una longitud a todos los subconjuntos de R de una manera que conserve algunas propiedades naturales de aditividad e invariancia de traducción. Esto sugiere que elegir una clase adecuada de subconjuntos medibles es un requisito previo esencial.

La integral de Riemann usa explícitamente la noción de longitud. De hecho, el elemento de cálculo para la integral de Riemann es el rectángulo [ a , b ] × [ c , d ] , cuya área se calcula como ( b - a ) ( d - c ) . La cantidad b - a es la longitud de la base del rectángulo y d - c es la altura del rectángulo. Riemann solo podía usar rectángulos planos para aproximar el área bajo la curva, porque no había una teoría adecuada para medir conjuntos más generales.

En el desarrollo de la teoría en la mayoría de los libros de texto modernos (después de 1950), el enfoque de la medición y la integración es axiomático . Esto significa que una medida es cualquier función μ definida en una determinada clase X de subconjuntos de un conjunto E , que satisface una determinada lista de propiedades. Se puede demostrar que estas propiedades se mantienen en muchos casos diferentes.

Funciones medibles

Empezamos con un espacio de medida ( E , X , μ) , donde E es un conjunto , X es una σ-álgebra de subconjuntos de E , y μ es una (no negativo ) medida en E se define en las series de X .

Por ejemplo, E puede ser euclidiano n -espacio R n o algún Lebesgue medible subconjunto de la misma, X es la σ-álgebra de todos los subconjuntos medibles Lebesgue de E , y μ es la medida de Lebesgue. En la teoría matemática de la probabilidad, limitamos nuestro estudio a una medida de  probabilidad μ , que satisface μ ( E ) = 1 .

La teoría de Lebesgue define integrales para una clase de funciones llamadas funciones medibles . Una función de valor real f en E es medible si la imagen previa de cada intervalo de la forma ( t , ∞) está en X :

Podemos demostrar que esto es equivalente a requerir que la imagen previa de cualquier Borel subconjunto de R sea en X . El conjunto de funciones medibles está cerrado bajo operaciones algebraicas, pero lo más importante es cerrado bajo varios tipos de límites secuenciales puntuales :

son medibles si la secuencia original ( f k ) k , donde kN , consta de funciones medibles.

Hay varios enfoques para definir una integral:

para las funciones de valores reales medibles- f definida en E .

Definición

La teoría de la integral de Lebesgue requiere una teoría de conjuntos y medidas mensurables en estos conjuntos, así como una teoría de funciones e integrales mensurables en estas funciones.

A través de funciones simples

Aproximación de una función mediante funciones simples.

Un enfoque para construir la integral de Lebesgue es hacer uso de las llamadas funciones simples : combinaciones finitas lineales reales de funciones indicadoras . Para un novato en la teoría de la medida, esta construcción de la integral de Lebesgue tiene un sentido más intuitivo cuando se compara con la forma en que se usa la suma de Riemann con la definición / construcción de la integral de Riemann . Se pueden usar funciones simples para aproximar una función medible, dividiendo el rango en capas. La integral de una función simple es igual a la medida de una capa dada, multiplicada por la altura de esa capa. La integral de una función medible general no negativa se define entonces como un supremo apropiado de aproximaciones por funciones simples, y la integral de una función medible (no necesariamente positiva) es la diferencia de dos integrales de funciones medibles no negativas.

Funciones del indicador

Para asignar un valor a la integral de la función indicadora 1 S de un conjunto medible S consistente con la medida dada μ, la única opción razonable es establecer:

Observe que el resultado puede ser igual a + ∞ , a menos que μ sea ​​una medida finita .

Funciones simples

Una combinación lineal finita de funciones indicadoras.

donde los coeficientes a k son números reales y S k son conjuntos medibles disjuntos, se denomina función simple medible . Extendemos la integral por linealidad a funciones simples medibles no negativas . Cuando los coeficientes a k son positivos, establecemos

si esta suma es finita o + ∞. Una función simple se puede escribir de diferentes maneras como una combinación lineal de funciones indicadoras, pero la integral será la misma por la aditividad de las medidas.

Es necesario tener cuidado al definir la integral de una función simple de valor real , para evitar la expresión indefinida ∞ - ∞ : se supone que la representación

es tal que μ ( S k ) <∞ siempre que a k ≠ 0 . Entonces la fórmula anterior para la integral de f tiene sentido, y el resultado no depende de la representación particular de f que satisfaga los supuestos.

Si B es un subconjunto medible de E y s es una simple función medible uno define

Funciones no negativas

Sea f una función medible no negativa en E , a la que permitimos que alcance el valor + ∞ , en otras palabras, f toma valores no negativos en la recta numérica real extendida . Definimos

Necesitamos mostrar que esta integral coincide con la anterior, definida en el conjunto de funciones simples, cuando E   es un segmento [ ab ]. También está la cuestión de si esto corresponde de alguna manera a una noción de integración de Riemann. Es posible demostrar que la respuesta a ambas preguntas es afirmativa.

Hemos definido la integral de f para cualquier no negativo extendió función medible de valor real en  E . Para algunas funciones, esta integral  E f es infinita.

A menudo es útil tener una secuencia particular de funciones simples que se aproxime bien a la integral de Lebesgue (análogamente a una suma de Riemann). Para una función medible no negativa f , sea ​​la función simple cuyo valor es siempre , para k un entero no negativo menor que (digamos) . Entonces se puede probar directamente que

y que el límite del lado derecho existe como un número real extendido. Esto une la conexión entre el enfoque de la integral de Lebesgue mediante funciones simples y la motivación de la integral de Lebesgue mediante una partición del rango.

Funciones firmadas

Para manejar funciones firmadas, necesitamos algunas definiciones más. Si f es una función medible del conjunto E a los reales (incluyendo ± ∞ ), entonces podemos escribir

dónde

Tenga en cuenta que tanto f + como f - son funciones medibles no negativas. También tenga en cuenta que

Decimos que la integral de Lebesgue de la función medible f existe , o se define si al menos uno de y es finito:

En este caso definimos

Si

decimos que f es integrable de Lebesgue .

Resulta que esta definición da las propiedades deseables de la integral.

Vía integral de Riemann incorrecta

Suponiendo que sea ​​medible y no negativo, la función

es monótonamente no creciente. La integral de Lebesgue puede definirse entonces como la integral de Riemann impropia de :

Esta integral es incorrecta en y (posiblemente) también en cero. Existe, con la concesión de que puede ser infinito.

Como antes, la integral de una función integrable de Lebesgue (no necesariamente no negativa) se define restando la integral de sus partes positivas y negativas.

Funciones de valores complejos

Las funciones de valor complejo se pueden integrar de manera similar, considerando la parte real y la parte imaginaria por separado.

Si h = f + ig para funciones integrables de valor real f , g , entonces la integral de h está definida por

La función es integrable de Lebesgue si y solo si su valor absoluto es integrable de Lebesgue (ver Función absolutamente integrable ).

Ejemplo

Considere la función indicadora de los números racionales, 1 Q , también conocida como función de Dirichlet. Esta función no es continua en ninguna parte .

  • no es integrable de Riemann en [0, 1] : no importa cómo se divida el conjunto [0, 1] en subintervalos, cada partición contiene al menos un número racional y al menos un número irracional, porque tanto los racionales como los irracionales son densos en el reales. Así, las sumas de Darboux superiores son todas una y las sumas de Darboux inferiores son todas cero.
  • es Lebesgue-integrable en [0, 1] usando la medida de Lebesgue : De hecho, es la función indicadora de los racionales así que por definición
    porque Q es contable .

Dominio de la integración

Un problema técnico en la integración de Lebesgue es que el dominio de integración se define como un conjunto (un subconjunto de un espacio de medida), sin noción de orientación. En cálculo elemental, se define la integración con respecto a una orientación :

Generalizar esto a dimensiones superiores produce la integración de formas diferenciales . Por el contrario, la integración de Lebesgue proporciona una generalización alternativa, integrando subconjuntos con respecto a una medida; esto se puede anotar como

para indicar la integración sobre un subconjunto A . Para obtener detalles sobre la relación entre estas generalizaciones, consulte Forma diferencial § Relación con medidas .

Limitaciones de la integral de Riemann

Con el advenimiento de las series de Fourier , surgieron muchos problemas analíticos que involucraban integrales cuya solución satisfactoria requería intercambiar procesos límite y signos integrales. Sin embargo, las condiciones bajo las cuales las integrales

son iguales demostraron ser bastante esquivas en el marco de Riemann. Hay algunas otras dificultades técnicas con la integral de Riemann. Estos están relacionados con la dificultad de tomar límites discutida anteriormente.

Fallo de la convergencia monótona . Como se muestra arriba, la función de indicador 1 Q en los racionales no es integrable de Riemann. En particular, el teorema de convergencia monótono falla. Para ver por qué, sea { a k } una enumeración de todos los números racionales en [0, 1] (son contables, así que esto se puede hacer).

La función g k es cero en todas partes, excepto en un conjunto finito de puntos. Por tanto, su integral de Riemann es cero. Cada g k es no negativo, y esta secuencia de funciones aumenta monótonamente, pero su límite cuando k → ∞ es 1 Q , que no es integrable de Riemann.

Inadecuación para intervalos ilimitados . La integral de Riemann solo puede integrar funciones en un intervalo acotado. Sin embargo, se puede extender a intervalos ilimitados tomando límites, siempre que esto no dé una respuesta como ∞ - ∞ .

Integración en estructuras distintas al espacio euclidiano . La integral de Riemann está indisolublemente ligada a la estructura de orden de la línea real.

Teoremas básicos de la integral de Lebesgue

Se dice que dos funciones son iguales en casi todas partes ( para abreviar) si es un subconjunto de un conjunto nulo .

Mensurabilidad del conjunto es que no es necesario.

  • Si f , g son funciones medibles no negativas (posiblemente asumiendo el valor + ∞ ) tales que f = g casi en todas partes, entonces
    Es decir, la integral respeta la relación de equivalencia de igualdad casi en todas partes.
  • Si f , g son funciones tales que f = g casi en todas partes, entonces f es integrable de Lebesgue si y solo si g es integrable de Lebesgue, y las integrales de f y g son las mismas si existen.
  • Linealidad : Si f y g son Lebesgue funciones integrables y un y b son números reales, entonces af + bg es Lebesgue integrable y
  • Monotonicidad : si fg , entonces
  • Sea un espacio de medida. Denota que el -álgebra de Borel se pone en marcha . (Por definición, contiene el conjunto y todos los subconjuntos de Borel de ). Considere una función no negativa medible . Para un conjunto , defina
    Entonces es una medida de Lebesgue .
  • Teorema de la convergencia monótona : suponga que { f k } kN es una secuencia de funciones medibles no negativas tal que
    Entonces, el límite puntual f de f k es medible por Lebesgue y
    Se permite que el valor de cualquiera de las integrales sea infinito.
  • Lema de Fatou : si { f k } kN es una secuencia de funciones mensurables no negativas, entonces
    Nuevamente, el valor de cualquiera de las integrales puede ser infinito.
  • Teorema de convergencia dominada : Suponga que { f k } kN es una secuencia de funciones medibles complejas con límite puntual f , y hay una función integrable de Lebesgue g (es decir, g pertenece al espacio L 1 ) tal que | f k | ≤ g para todo k .
    Entonces, f es Lebesgue integrable y

Formulaciones alternativas

Es posible desarrollar la integral con respecto a la medida de Lebesgue sin depender de la maquinaria completa de la teoría de la medida. Uno de estos enfoques lo proporciona la integral de Daniell .

También existe un enfoque alternativo para desarrollar la teoría de la integración a través de métodos de análisis funcional . La integral de Riemann existe para cualquier función continua f de soporte compacto definido en R n (o un subconjunto abierto fijo). Se pueden construir integrales de funciones más generales a partir de estas integrales.

Sea C c el espacio de todas las funciones continuas de R con soporte compacto de valor real . Defina una norma en C c por

Entonces C c es un espacio vectorial normalizado (y en particular, es un espacio métrico). Todos los espacios métricos tienen terminaciones de Hausdorff , entonces sea L 1 su terminación. Este espacio es isomorfo al espacio de las funciones integrables de Lebesgue módulo el subespacio de funciones con integral cero. Además, la integral de Riemann es una funcional uniformemente continua con respecto a la norma en C c , que es densa en L 1 . Por tanto, tiene una extensión única para todo L 1 . Esta integral es precisamente la integral de Lebesgue.

De manera más general, cuando el espacio de medida en el que se definen las funciones es también un espacio topológico localmente compacto (como es el caso de los números reales R ), las medidas son compatibles con la topología en un sentido adecuado ( medidas de radón , de las cuales la medida de Lebesgue es un ejemplo) una integral con respecto a ellos se puede definir de la misma manera, partiendo de las integrales de funciones continuas con soporte compacto . Más precisamente, las funciones de soporte compacto forman un espacio vectorial que lleva una topología natural , y una medida (Radón) se define como un funcional lineal continuo en este espacio. El valor de una medida en una función con soporte compacto es también por definición la integral de la función. Luego se procede a expandir la medida (la integral) a funciones más generales por continuidad, y se define la medida de un conjunto como la integral de su función indicadora. Este es el enfoque adoptado por Bourbaki (2004) y algunos otros autores. Para obtener más información, consulte Medidas de radón .

Limitaciones de la integral de Lebesgue

El propósito principal de la integral de Lebesgue es proporcionar una noción de integral donde los límites de las integrales se mantienen bajo supuestos moderados. No hay garantía de que todas las funciones sean integrables en Lebesgue. Pero puede suceder que existan integrales impropias para funciones que no son integrables de Lebesgue. Un ejemplo sería la función sinc :

sobre toda la línea real. Esta función no es integrable de Lebesgue, ya que
Por otro lado, existe como una integral impropia y se puede calcular que es finita; es el doble de la integral de Dirichlet .

Ver también

Notas

Referencias

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