Clase (teoría de conjuntos) - Class (set theory)

En la teoría de conjuntos y sus aplicaciones a través de las matemáticas , una clase es una colección de conjuntos (oa veces otros objetos matemáticos) que pueden definirse sin ambigüedades por una propiedad que comparten todos sus miembros. Las clases actúan como una forma de tener colecciones similares a conjuntos mientras se diferencian de los conjuntos para evitar la Paradoja de Russell (Ver #Paradoxes ). La definición precisa de "clase" depende del contexto fundamental. En el trabajo sobre la teoría de conjuntos de Zermelo-Fraenkel , la noción de clase es informal, mientras que otras teorías de conjuntos, como la teoría de conjuntos de von Neumann-Bernays-Gödel , axiomatizan la noción de "clase propia", por ejemplo, como entidades que no son miembros de otra entidad.

Una clase que no es un conjunto (informalmente en Zermelo-Fraenkel) se llama clase propia , y una clase que es un conjunto a veces se llama clase pequeña . Por ejemplo, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los conjuntos son clases adecuadas en muchos sistemas formales.

En la escritura teórica de conjuntos de Quine, la frase "clase última" se usa a menudo en lugar de la frase "clase adecuada", enfatizando que en los sistemas que él considera, ciertas clases no pueden ser miembros y, por lo tanto, son el término final en cualquier cadena de pertenencia a la cual ellos pertenecen.

Fuera de la teoría de conjuntos, la palabra "clase" a veces se utiliza como sinónimo de "conjunto". Este uso data de un período histórico en el que las clases y los conjuntos no se distinguían como en la terminología moderna de la teoría de conjuntos. Muchas discusiones sobre "clases" en el siglo XIX y antes en realidad se refieren a conjuntos, o más bien tal vez tienen lugar sin considerar que ciertas clases pueden dejar de ser conjuntos.

Ejemplos de

La colección de todas las estructuras algebraicas de un tipo dado suele ser una clase adecuada. Los ejemplos incluyen la clase de todos los grupos , la clase de todos los espacios vectoriales y muchos otros. En la teoría de categorías , una categoría cuya colección de objetos forma una clase adecuada (o cuya colección de morfismos forma una clase adecuada) se denomina categoría grande .

Los números surrealistas son una clase adecuada de objetos que tienen las propiedades de un campo .

Dentro de la teoría de conjuntos, muchas colecciones de conjuntos resultan ser clases adecuadas. Los ejemplos incluyen la clase de todos los conjuntos, la clase de todos los números ordinales y la clase de todos los números cardinales.

Una forma de demostrar que una clase es adecuada es colocarla en biyección con la clase de todos los números ordinales. Este método se utiliza, por ejemplo, en la prueba de que no hay celosía completa libre en tres o más generadores .

Paradojas

Las paradojas de la teoría de conjuntos ingenua se pueden explicar en términos de la suposición tácita inconsistente de que "todas las clases son conjuntos". Con una base rigurosa, estas paradojas, en cambio, sugieren pruebas de que ciertas clases son adecuadas (es decir, que no son conjuntos). Por ejemplo, la paradoja de Russell sugiere una prueba de que la clase de todos los conjuntos que no se contienen a sí mismos es adecuada, y la paradoja de Burali-Forti sugiere que la clase de todos los números ordinales es adecuada. Las paradojas no surgen con las clases porque no existe la noción de clases que contengan clases. De lo contrario, se podría, por ejemplo, definir una clase de todas las clases que no se contienen a sí mismas, lo que conduciría a una paradoja de Russell para las clases. Un conglomerado , por otro lado, puede tener clases adecuadas como miembros, aunque la teoría de los conglomerados aún no está bien establecida.

Clases de teorías de conjuntos formales

La teoría de conjuntos ZF no formaliza la noción de clases, por lo que cada fórmula con clases debe reducirse sintácticamente a una fórmula sin clases. Por ejemplo, se puede reducir la fórmula a . Semánticamente, en un metalenguaje , las clases se pueden describir como clases de equivalencia de fórmulas lógicas : si es una estructura que interpreta ZF, entonces el lenguaje de objetos "expresión del constructor de clases" se interpreta en la colección de todos los elementos del dominio de on que sostiene; por lo tanto, la clase puede describirse como el conjunto de todos los predicados equivalentes a (que se incluye a sí mismo). En particular, se puede identificar la "clase de todos los conjuntos" con el conjunto de todos los predicados equivalente a${\ Displaystyle A = \ {x \ mid x = x \}}$${\ Displaystyle \ forall x (x \ in A \ leftrightarrow x = x)}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ {x \ mid \ phi \}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle {\ mathcal {A}}}$${\ Displaystyle \ lambda x \ phi}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle \ phi}$${\ Displaystyle x = x.}$

Debido a que las clases no tienen ningún estatus formal en la teoría de ZF, los axiomas de ZF no se aplican inmediatamente a las clases. Sin embargo, si se asume un cardinal inaccesible , entonces los conjuntos de menor rango forman un modelo de ZF (un universo de Grothendieck ), y sus subconjuntos se pueden considerar como "clases". ${\ Displaystyle \ kappa}$

En ZF, el concepto de función también se puede generalizar a clases. Una función de clase no es una función en el sentido habitual, ya que no es un conjunto; es más bien una fórmula con la propiedad de que para cualquier conjunto no hay más de un conjunto tal que el par satisfaga Por ejemplo, la función de clase que asigna cada conjunto a su sucesor puede expresarse como la fórmula El hecho de que el par ordenado satisface puede expresarse con la notación taquigráfica${\ Displaystyle \ Phi (x, y)}$${\ Displaystyle x}$${\ Displaystyle y}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle \ Phi.}$${\ Displaystyle y = x \ cup \ {x \}.}$${\ Displaystyle (x, y)}$${\ Displaystyle \ Phi}$${\ Displaystyle \ Phi (x) = y.}$

Otro enfoque lo adoptan los axiomas de von Neumann-Bernays-Gödel (NBG); las clases son los objetos básicos en esta teoría, y luego un conjunto se define como una clase que es un elemento de alguna otra clase. Sin embargo, los axiomas de existencia de clase de NBG están restringidos para que solo cuantifiquen sobre conjuntos, en lugar de sobre todas las clases. Esto hace que NBG sea una extensión conservadora de ZF.

La teoría de conjuntos de Morse-Kelley admite clases adecuadas como objetos básicos, como NBG, pero también permite la cuantificación de todas las clases adecuadas en sus axiomas de existencia de clases. Esto hace que MK sea estrictamente más fuerte que NBG y ZF.

En otras teorías de conjuntos, como New Foundations o la teoría de semiconjuntos , el concepto de "clase propiamente dicha" todavía tiene sentido (no todas las clases son conjuntos) pero el criterio de conjunto no se cierra bajo subconjuntos. Por ejemplo, cualquier teoría de conjuntos con un conjunto universal tiene clases propias que son subclases de conjuntos.

Notas

Referencias

• Jech, Thomas (2003), Teoría de conjuntos , Springer Monographs in Mathematics (tercer milenio ed.), Berlín, Nueva York: Springer-Verlag , ISBN 978-3-540-44085-7
• Levy, A. (1979), Teoría básica de conjuntos , Berlín, Nueva York: Springer-Verlag
• Raymond M. Smullyan, Melvin Fitting, 2010, Teoría de conjuntos y el problema continuo . Publicaciones de Dover ISBN  978-0-486-47484-7 .
• Monk Donald J., 1969, Introducción a la teoría de conjuntos . McGraw-Hill Book Co. ISBN  9780070427150 .

enlaces externos

• Weisstein, Eric W. "Establecer clase" . MathWorld .