Espacio resistente - Hardy space

En el análisis complejo , los espacios de Hardy (o clases de Hardy ) H ^p son ciertos espacios de funciones holomórficas en el disco unitario o en el semiplano superior . Fueron introducidos por Frigyes Riesz ( Riesz 1923 ), quien los nombró en honor a GH Hardy , debido al papel ( Hardy 1915 ). En el análisis real, los espacios de Hardy son ciertos espacios de distribuciones en la línea real, que son (en el sentido de distribuciones) valores límite de las funciones holomórficas de los espacios de Hardy complejos , y están relacionados con los espacios L ^p del análisis funcional . Para 1 ≤  p  ≤ ∞ estos espacios de Hardy reales H ^p son ciertos subconjuntos de L ^p , mientras que para p <1 los espacios de L ^p tienen algunas propiedades indeseables, y los espacios de Hardy se comportan mucho mejor.

También hay generalizaciones de dimensiones superiores, que consisten en ciertas funciones holomorfas en dominios de tubo en el caso complejo, o ciertos espacios de distribuciones en R ⁿ en el caso real.

Los espacios resistentes tienen una serie de aplicaciones en el análisis matemático en sí, así como en la teoría de control (como los métodos H ^∞ ) y en la teoría de la dispersión .

Espacios resistentes para el disco de la unidad

Para espacios de funciones holomorfas en el disco unitario abierto , el espacio de Hardy H ² consta de las funciones f cuyo valor cuadrático medio en el círculo de radio r permanece acotado como r → 1 desde abajo.

De manera más general, el espacio de Hardy H ^p para 0 < p <∞ es la clase de funciones holomórficas f en el disco unitario abierto que satisface

${\ Displaystyle \ sup _ {0 \ leqslant r <1} \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} \ left | f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | ^ {p} \; \ mathrm {d} \ theta \ right) ^ {\ frac {1} {p}} <\ infty.}$

Esta clase H ^p es un espacio vectorial. El número en el lado izquierdo de la desigualdad anterior es el espacio de Hardy p -norm para f , denotado por Es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando 0 < p  <1. ${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}$

El espacio H ^∞ se define como el espacio vectorial de funciones holomorfas acotadas en el disco, con la norma

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {| z | <1} \ left | f (z) \ right |.}$

Para 0 <p ≤ q ≤ ∞, la clase H ^q es un subconjunto de H ^p , y la norma H ^p aumenta con p (es una consecuencia de la desigualdad de Hölder que la norma L ^p aumenta para las medidas de probabilidad , es decir, medidas con masa total 1).

Espacios resistentes en el círculo de la unidad

Los espacios de Hardy definidos en la sección anterior también pueden verse como ciertos subespacios vectoriales cerrados de los espacios L ^p complejos en el círculo unitario. Esta conexión es proporcionada por el siguiente teorema ( Katznelson 1976 , Thm 3.8): Dado f ∈ H ^p , con p ≥ 0, el límite radial

${\ Displaystyle {\ tilde {f}} \ left (e ^ {i \ theta} \ right) = \ lim _ {r \ to 1} f \ left (re ^ {i \ theta} \ right)}$

existe para casi todos los θ. La función pertenece al espacio L ^p para el círculo unitario, y uno tiene que ${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ Displaystyle \ | {\ tilde {f}} \ | _ {L ^ {p}} = \ | f \ | _ {H ^ {p}}.}$

Denotando el círculo unitario por T , y por H ^p ( T ) el subespacio vectorial de L ^p ( T ) que consta de todas las funciones límite , cuando f varía en H ^p , entonces se tiene eso para p  ≥ 1, ( Katznelson 1976 ) ${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ Displaystyle g \ in H ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ right) {\ text {si y solo si}} g \ in L ^ {p} \ left (\ mathbf {T} \ right ) {\ text {y}} {\ hat {g}} (n) = 0 {\ text {para todos}} n <0,}$

donde ĝ ( n ) son los coeficientes de Fourier de una función g integrable en el círculo unitario,

${\ Displaystyle \ forall n \ in \ mathbf {Z}, \ \ \ {\ hat {g}} (n) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} g \ left (e ^ {i \ phi} \ right) e ^ {- en \ phi} \, \ mathrm {d} \ phi.}$

El espacio H ^p ( T ) es un subespacio cerrado de L ^p ( T ). Dado que L ^p ( T ) es un espacio de Banach (para 1 ≤ p ≤ ∞), también lo es H ^p ( T ).

Lo anterior se puede cambiar. Dada una función ∈ L ^p ( T ), con p ≥ 1, se puede recuperar una función ( armónica ) f en el disco unitario mediante el kernel de Poisson P _r : ${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ Displaystyle f \ left (re ^ {i \ theta} \ right) = {\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {0} ^ {2 \ pi} P_ {r} (\ theta - \ phi) {\ tilde {f}} \ left (e ^ {i \ phi} \ right) \, \ mathrm {d} \ phi, \ quad r <1,}$

y f pertenece a H ^p exactamente cuando está en H ^p ( T ). Suponiendo que está en H ^p ( T ), es decir , que tiene coeficientes de Fourier ( a _n ) _{n ∈ Z} con a _n = 0 para cada n <0, entonces el elemento f del espacio de Hardy al que H ^p asociado es la función holomórfica ${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$${\ Displaystyle {\ tilde {f}}}$

${\ Displaystyle f (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} a_ {n} z ^ {n}, \ \ \ | z | <1.}$

En las aplicaciones, las funciones con coeficientes de Fourier negativos que desaparecen se interpretan comúnmente como soluciones causales . Por tanto, el espacio H ² se asienta naturalmente dentro del espacio L ² , y está representado por infinitas secuencias indexadas por N ; mientras que L ² se compone de secuencias de bi-infinito indexados por Z .

Conexión a espacios reales de Hardy en el círculo.

Cuando 1 ≤ p <∞, los espacios de Hardy reales H ^p discutidos más adelante en este artículo son fáciles de describir en el contexto presente. Una función real f en el círculo unitario pertenece al espacio real de Hardy H ^p ( T ) si es la parte real de una función en H ^p ( T ), y una función compleja f pertenece al espacio real de Hardy sif Re ( f ) e Im ( f ) pertenecen al espacio (consulte la sección sobre espacios reales de Hardy a continuación). Por lo tanto, para 1 ≤ p <∞, el espacio de Hardy real contiene el espacio de Hardy, pero es mucho más grande, ya que no se impone ninguna relación entre la parte real e imaginaria de la función.

Para 0 < p <1, herramientas como los coeficientes de Fourier, la integral de Poisson, la función conjugada, ya no son válidas. Por ejemplo, considere la función

${\ Displaystyle F (z) = {\ frac {1 + z} {1-z}}, \ quad | z | <1.}$

Entonces F está en H ^p para cada 0 < p <1, y el límite radial

${\ Displaystyle f (e ^ {i \ theta}): = \ lim _ {r \ to 1} F (re ^ {i \ theta}) = i \, \ cot ({\ tfrac {\ theta} {2 }}).}$

existe para ae θ y está en H ^p ( T ), pero Re ( f ) es 0 casi en todas partes, por lo que ya no es posible recuperar F de Re ( f ). Como consecuencia de este ejemplo, se ve que para 0 < p <1, no se puede caracterizar el real- H ^p ( T ) (definido a continuación) de la manera simple dada anteriormente, sino que se debe usar la definición real usando funciones máximas, que se da más adelante en algún lugar a continuación.

Para la misma función F , sea f _r (e ^iθ ) = F ( re ^iθ ). El límite cuando r → 1 de Re ( f _r ), en el sentido de distribuciones en el círculo, es un múltiplo distinto de cero de la distribución de Dirac en z = 1. La distribución de Dirac en un punto del círculo unitario pertenece al real - H ^p ( T ) para cada p  <1 (ver más abajo).

Factorización en funciones internas y externas (Beurling)

Para 0 <  p  ≤ ∞, toda función distinta de cero f en H ^p se puede escribir como el producto f = Gh donde G es una función externa y h es una función interna , como se define a continuación ( Rudin 1987 , Thm 17.17). Esta " factorización Beurling " permite que el espacio Hardy se caracterice completamente por los espacios de funciones internas y externas.

Se dice que G ( z ) es una función externa (exterior) si toma la forma

${\ Displaystyle G (z) = do \, \ exp \ left ({\ frac {1} {2 \ pi}} \ int _ {- \ pi} ^ {\ pi} {\ frac {e ^ {i \ theta} + z} {e ^ {i \ theta} -z}} \ log \! \ left (\ varphi \! \ left (e ^ {i \ theta} \ right) \ right) \, \ mathrm {d } \ theta \ right)}$

para algún número complejo c con | c | = 1, y alguna función medible positiva en el círculo unitario de manera que sea ​​integrable en el círculo. En particular, cuando es integrable en el círculo, G está en H ¹ porque lo anterior toma la forma del núcleo de Poisson ( Rudin 1987 , Thm 17.16). Esto implica que ${\ Displaystyle \ varphi}$${\ Displaystyle \ log (\ varphi)}$${\ Displaystyle \ varphi}$

${\ Displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} \ left | G \ left (re ^ {i \ theta} \ right) \ right | = \ varphi \ left (e ^ {i \ theta} \ Derecha)}$

para casi todos los θ.

Se dice que h es una función interna (interior) si y solo si | h | ≤ 1 en el disco de la unidad y el límite

${\ Displaystyle \ lim _ {r \ to 1 ^ {-}} h (re ^ {i \ theta})}$

existe para casi todo θ y su módulo es igual a 1 ae En particular, h está en H ^∞ . La función interna se puede factorizar aún más en una forma que involucre un producto Blaschke .

La función f , descompuesto como f = Gh , está en H ^p si y sólo si φ pertenece a L ^p ( T ), donde φ es la función positiva en la representación de la función externa G .

Sea G una función externa representada como arriba a partir de una función φ en el círculo. Reemplazando φ por φ ^α , α> 0, se obtiene una familia ( G _α ) de funciones externas, con las propiedades:

G ₁  = G , G _{α + β} = G _α  G _β   y | G _α | = | G | ^α casi en todas partes del círculo.

De ello se deduce que siempre que 0 < p , q , r <∞ y 1 / r = 1 / p + 1 / q , toda función f en H ^r se puede expresar como el producto de una función en H ^p y una función en H ^q . Por ejemplo: toda función en H ¹ es el producto de dos funciones en H ² ; toda función en H ^p , p <1, puede expresarse como producto de varias funciones en alguna H ^q , q  > 1.

Técnicas de variables reales en el círculo unitario

Las técnicas de variable real, asociadas principalmente al estudio de espacios reales de Hardy definidos en R ⁿ (ver más abajo), también se utilizan en el marco más simple del círculo. Es una práctica común permitir funciones complejas (o distribuciones) en estos espacios "reales". La definición que sigue no distingue entre caso real o complejo.

Deje P _r denotan el núcleo de Poisson en el círculo unitario T . Para una distribución f en el círculo unitario, establezca

${\ Displaystyle (Mf) (e ^ {i \ theta}) = \ sup _ {0 <r <1} \ left | (f * P_ {r}) \ left (e ^ {i \ theta} \ right) \ right |,}$

donde la estrella indica la convolución entre la distribución f y la función e ^iθ → P _r (θ) en el círculo. Es decir, ( f ∗ P _r ) (e ^iθ ) es el resultado de la acción de f sobre la función C ^∞ definida en el círculo unitario por

${\ Displaystyle e ^ {i \ varphi} \ rightarrow P_ {r} (\ theta - \ varphi).}$

Para 0 < p  <∞, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) consiste en distribuciones f tales que M f   está en L ^p ( T ).

La función F definida en el disco unitario por F ( re ^iθ ) = ( f * P _r ) (e ^iθ ) es armónica, y M f   es la función máxima radial de F . Cuando M f   pertenece a L ^p ( T ) y p  ≥ 1, la distribución f   " es " una función en L ^p ( T ), a saber, el valor límite de F . Para p  ≥ 1, el espacio de Hardy real H ^p ( T ) es un subconjunto de L ^p ( T ).

Función conjugada

A cada polinomio trigonométrico real u en el círculo unitario, se asocia el polinomio conjugado real v tal que u + i v se extiende a una función holomórfica en el disco unitario,

${\ Displaystyle u (e ^ {i \ theta}) = {\ frac {a_ {0}} {2}} + \ sum _ {k \ geqslant 1} a_ {k} \ cos (k \ theta) + b_ {k} \ sin (k \ theta) \ longrightarrow v (e ^ {i \ theta}) = \ sum _ {k \ geqslant 1} a_ {k} \ sin (k \ theta) -b_ {k} \ cos (k \ theta).}$

Este mapeo u → v se extiende a un operador lineal acotado H en L ^p ( T ), cuando 1 < p  <∞ (hasta un múltiplo escalar, es la transformada de Hilbert en el círculo unitario), y H también mapea L ¹ ( T ) a débil- L ¹ ( T ) . Cuando 1 ≤ p  <∞, lo siguiente es equivalente para una función integrable de valor real f en el círculo unitario:

• la función f es la parte real de alguna función g ∈ H ^p ( T )
• la función f y su conjugado H (f) pertenecen a L ^p ( T )
• la función radial máxima M f   pertenece a L ^p ( T ).

Cuando 1 < p <∞, H (f) pertenece a L ^p ( T ) cuando f ∈ L ^p ( T ), por lo tanto, el espacio real de Hardy H ^p ( T ) coincide con L ^p ( T ) en este caso. Para p = 1, el espacio real de Hardy H ¹ ( T ) es un subespacio propio de L ¹ ( T ).

El caso de p = ∞ se excluyó de la definición de espacios reales de Hardy, porque la función máxima M f   de una función L ^∞ siempre está acotada, y porque no es deseable que real- H ^∞ sea ​​igual a L ^∞ . Sin embargo, las dos siguientes propiedades son equivalentes para una función de valor real f

• la función f   es la parte real de alguna función g ∈ H ^∞ ( T )
• la función f   y su conjugado H (f) pertenecen a L ^∞ ( T ).

Espacios de Real Hardy para 0 < p <1

Cuando 0 < p <1, una función F en H ^p no puede reconstruirse a partir de la parte real de su función límite de contorno en el círculo, debido a la falta de convexidad de L ^p en este caso. La convexidad falla, pero queda una especie de " convexidad compleja ", a saber, el hecho de que z → | z | ^q es subarmónico para todo q > 0. Como consecuencia, si

${\ Displaystyle F (z) = \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} z ^ {n}, \ quad | z | <1}$

está en H ^p , se puede demostrar que c _n = O ( n ^{1 / p –1} ). De ello se deduce que la serie de Fourier

${\ Displaystyle \ sum _ {n = 0} ^ {+ \ infty} c_ {n} e ^ {in \ theta}}$

converge en el sentido de distribuciones a una distribución f en el círculo unitario, y F ( re ^iθ ) = ( f  ∗  P _r ) (θ). La función F ∈ H ^p se puede reconstruir a partir de la distribución real Re ( f ) en el círculo, porque los coeficientes de Taylor c _n de F se pueden calcular a partir de los coeficientes de Fourier de Re ( f ).

Las distribuciones en el círculo son lo suficientemente generales para manejar espacios de Hardy cuando p  <1. Las distribuciones que no son funciones ocurren, como se ve con las funciones F ( z ) = (1− z ) ^{- N} (para | z | <1), que pertenecen a H ^p cuando 0 < N  p  <1 (y N un número entero ≥ 1).

Una distribución real en el círculo pertenece a real- H ^p ( T ) si f es el valor límite de la parte real de algún F ∈ H ^p . Una distribución de Dirac δ _x , en cualquier punto x del círculo unitario, pertenece a real- H ^p ( T ) para cada p <1; las derivadas δ ′ _x pertenecen cuando p <1/2, las segundas derivadas δ ′ ′ _x cuando p <1/3, y así sucesivamente.

Espacios resistentes para el semiplano superior

Es posible definir espacios Hardy en otros dominios además del disco, y en muchas aplicaciones se utilizan espacios Hardy en un semiplano complejo (generalmente el semiplano derecho o el semiplano superior).

El espacio de Hardy H ^p ( H ) en el semiplano superior H se define como el espacio de funciones holomorfas f en H con norma acotada, la norma viene dada por

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {p}} = \ sup _ {y> 0} \ left (\ int | f (x + iy) | ^ {p} \, \ mathrm {d} x \ right) ^ {\ frac {1} {p}}.}$

El correspondiente H ^∞ ( H ) se define como funciones de norma acotada, con la norma dada por

${\ Displaystyle \ | f \ | _ {H ^ {\ infty}} = \ sup _ {z \ in \ mathbf {H}} | f (z) |.}$

Aunque el disco unitario D y el semiplano superior H pueden mapearse entre sí mediante transformaciones de Möbius , no son intercambiables como dominios para los espacios de Hardy. Contribuye a esta diferencia el hecho de que el círculo unitario tiene una medida de Lebesgue finita (unidimensional), mientras que la línea real no la tiene. Sin embargo, para H ² , se tiene el siguiente teorema: si m  : D → H denota la transformación de Möbius

${\ Displaystyle m (z) = i \ cdot {\ frac {1 + z} {1-z}}.}$

Entonces el operador lineal M  : H ² ( H ) → H ² ( D ) definido por

${\ Displaystyle (Mf) (z): = {\ frac {\ sqrt {\ pi}} {1-z}} f (m (z)).}$

es un isomorfismo isométrico de los espacios de Hilbert.

Espacios de Real Hardy para R ⁿ

En el análisis del espacio vectorial real R ⁿ , el espacio de Hardy H ^p (para 0 <  p  ≤ ∞) consiste en distribuciones templadas f tales que para alguna función de Schwartz Φ con ∫Φ = 1, la función máxima

${\ Displaystyle (M _ {\ Phi} f) (x) = \ sup _ {t> 0} | (f * \ Phi _ {t}) (x) |}$

está en L ^p ( R ⁿ ), donde ∗ es convolución y Φ _t ( x ) = t ^{- n} Φ ( x  /  t ) . El H ^p - cuasinorma || f  || _Hp de una distribución f de H ^p se define como la norma L ^p de M _Φ f (esto depende de la elección de Φ, pero diferentes elecciones de funciones de Schwartz Φ dan normas equivalentes). La cuasinorma H ^p es una norma cuando p ≥ 1, pero no cuando p  <1.

Si 1 < p  <∞, el espacio de Hardy H ^p es el mismo espacio vectorial que L ^p , con norma equivalente. Cuando p  = 1, el espacio de Hardy H ¹ es un subespacio propio de L ¹ . Se pueden encontrar secuencias en H ¹ que están limitadas en L ¹ pero no limitadas en H ¹ , por ejemplo en la línea

${\ Displaystyle f_ {k} (x) = \ mathbf {1} _ {[0,1]} (xk) - \ mathbf {1} _ {[0,1]} (x + k), \ \ \ k> 0.}$

Las normas L ¹ y H ¹ no son equivalentes en H ¹ , y H ¹ no está cerrada en L ¹ . El dual de H ¹ es el espacio BMO de funciones de oscilación media acotada . El espacio BMO contiene funciones ilimitadas (demostrando nuevamente que H ¹ no está cerrado en L ¹ ).

Si p  <1, entonces el espacio de Hardy H ^p tiene elementos que no son funciones, y su dual es el espacio homogéneo de Lipschitz de orden n (1 / p  - 1). Cuando p <1, la cuasinorma H ^p no es una norma, ya que no es subaditiva. La p ésima potencia || f  || _Hp ^p es subaditivo para p  <1 y, por lo tanto, define una métrica en el espacio de Hardy H ^p , que define la topología y convierte a H ^p en un espacio métrico completo.

Descomposición atómica

Cuando 0 < p ≤ 1, una función medible acotada f de soporte compacto está en el espacio de Hardy H ^p si y solo si todos sus momentos

${\ Displaystyle \ int _ {\ mathbf {R} ^ {n}} f (x) x_ {1} ^ {i_ {1}} \ ldots x_ {n} ^ {i_ {n}} \, \ mathrm { d} x,}$

cuyo orden i ₁ + ... + i _n es como máximo n (1 / p  - 1), se desvanecen. Por ejemplo, la integral de f debe desaparecer para que f ∈ H ^p , 0 < p ≤ 1, y siempre que p  > n  / ( n +1) esto también sea suficiente.

Si además f tiene apoyo en alguna bola B y está delimitada por | B | ^{−1 / p} entonces f se llama un átomo H ^p (aquí | B | denota el volumen euclidiano de B en R ⁿ ). La cuasinorma H ^p de un átomo H ^p arbitrario está acotada por una constante que depende sólo de py de la función de Schwartz Φ.

Cuando 0 < p ≤ 1, cualquier elemento f de H ^p tiene una descomposición atómica como una combinación infinita convergente de H ^{p -} átomos,

${\ Displaystyle f = \ sum c_ {j} a_ {j}, \ \ \ \ sum | c_ {j} | ^ {p} <\ infty}$

donde a _j son H ^p -atomos y c _j son escalares.

En la línea, por ejemplo, la diferencia de distribuciones de Dirac f  = δ ₁ −δ ₀ se puede representar como una serie de funciones de Haar , convergentes en H ^p -quasinorm cuando 1/2 < p  <1 (en el círculo, la representación correspondiente es válido para 0 < p  <1, pero en la línea, las funciones de Haar no pertenecen a H ^p cuando p ≤ 1/2 porque su función máxima es equivalente en el infinito a a  x ⁻² para algunos a  ≠ 0).

Martingala H ^p

Sea ( M _n ) _{n ≥0} una martingala en algún espacio de probabilidad (Ω, Σ,  P ), con respecto a una secuencia creciente de campos σ (Σ _n ) _{n ≥0} . Suponga por simplicidad que Σ es igual al campo σ generado por la secuencia (Σ _n ) _{n ≥0} . La función máxima de la martingala está definida por

${\ Displaystyle M ^ {*} = \ sup _ {n \ geq 0} \, | M_ {n} |.}$

Sea 1 ≤ p <∞. La martingala ( M _n ) _{n ≥0} pertenece a la martingala - H ^p cuando M * ∈ L ^p .

Si M * ∈ L ^p , la martingala ( M _n ) _{n ≥0} está acotada en L ^p ; por lo tanto, converge casi con seguridad a alguna función f por el teorema de convergencia de martingala . Además, M _n converge af en L ^p -norm por el teorema de convergencia dominado ; por tanto, M _n puede expresarse como expectativa condicional de f en Σ _n . Por tanto, es posible identificar martingala- H ^p con el subespacio de L ^p (Ω, Σ,  P ) formado por aquellos f tales que la martingala

${\ Displaystyle M_ {n} = \ operatorname {E} {\ bigl (} f | \ Sigma _ {n} {\ bigr)}}$

pertenece a martingala- H ^p .

La desigualdad máxima de Doob implica que martingala- H ^p coincide con L ^p (Ω, Σ,  P ) cuando 1 < p <∞. El espacio interesante es martingala- H ¹ , cuyo dual es martingala-BMO ( Garsia 1973 ).

Las desigualdades de Burkholder-Gundy (cuando p  > 1) y la desigualdad de Burgess Davis (cuando p = 1) relacionan la norma L ^p de la función máxima con la de la función cuadrada de la martingala

${\ Displaystyle S (f) = \ left (| M_ {0} | ^ {2} + \ sum _ {n = 0} ^ {\ infty} | M_ {n + 1} -M_ {n} | ^ { 2} \ right) ^ {\ frac {1} {2}}.}$

Martingala- H ^p se puede definir diciendo que S ( f ) ∈ L ^p ( Garsia 1973 ).

También se pueden considerar martingalas con parámetro de tiempo continuo. Un vínculo directo con la teoría clásica se obtiene a través del movimiento browniano complejo ( B _t ) en el plano complejo, comenzando desde el punto z = 0 en el tiempo t = 0. Sea τ el tiempo de impacto del círculo unitario. Para cada función holomórfica F en el disco unitario,

${\ Displaystyle M_ {t} = F (B_ {t \ wedge \ tau})}$

es una martingala, que pertenece a la martingala- H ^p iff F  ∈  H ^p ( Burkholder, Gundy & Silverstein 1971 ).

Ejemplo: martingala diádica- H ¹

En este ejemplo, Ω = [0, 1] y Σ _n es el campo finito generado por la partición diádica de [0, 1] en 2 ⁿ intervalos de longitud 2 ^{- n} , para cada n ≥ 0. Si una función f en [0, 1] está representado por su expansión en el sistema Haar ( h _k )

${\ Displaystyle f = \ sum c_ {k} h_ {k},}$

entonces la norma martingala- H ¹ de f se puede definir por la norma L ¹ de la función cuadrada

${\ Displaystyle \ int _ {0} ^ {1} {\ Bigl (} \ sum | c_ {k} h_ {k} (x) | ^ {2} {\ Bigr)} ^ {\ frac {1} { 2}} \, \ mathrm {d} x.}$

Este espacio, a veces denotado por H ¹ (δ), es isomorfo al espacio clásico H ¹ real en el círculo ( Müller 2005 ). El sistema Haar es una base incondicional para H ¹ (δ).

Notas

Referencias

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