Proceso de Wiener - Wiener process

En matemáticas , el proceso de Wiener es un proceso estocástico de tiempo continuo de valor real llamado en honor al matemático estadounidense Norbert Wiener por sus investigaciones sobre las propiedades matemáticas del movimiento browniano unidimensional. A menudo también se le llama movimiento browniano debido a su conexión histórica con el proceso físico del mismo nombre observado originalmente por el botánico escocés Robert Brown . Es uno de los procesos de Lévy más conocidos ( procesos estocásticos de càdlàg con incrementos independientes estacionarios ) y ocurre con frecuencia en matemáticas puras y aplicadas , economía , finanzas cuantitativas , biología evolutiva y física .

El proceso de Wiener juega un papel importante tanto en matemáticas puras como aplicadas. En matemáticas puras, el proceso de Wiener dio lugar al estudio de las martingalas de tiempo continuo . Es un proceso clave en términos del cual se pueden describir procesos estocásticos más complicados. Como tal, juega un papel vital en el cálculo estocástico , los procesos de difusión e incluso la teoría del potencial . Es el proceso impulsor de la evolución de Schramm-Loewner . En matemáticas aplicadas , el proceso de Wiener se utiliza para representar la integral de un proceso gaussiano de ruido blanco y, por lo tanto, es útil como modelo de ruido en ingeniería electrónica (ver ruido browniano ), errores de instrumentos en la teoría de filtrado y perturbaciones en la teoría de control .

El proceso de Wiener tiene aplicaciones en todas las ciencias matemáticas. En física se utiliza para estudiar el movimiento browniano , la difusión de partículas diminutas suspendidas en un fluido y otros tipos de difusión a través de las ecuaciones de Fokker-Planck y Langevin . También forma la base para la rigurosa formulación integral de trayectoria de la mecánica cuántica (mediante la fórmula de Feynman-Kac , una solución a la ecuación de Schrödinger se puede representar en términos del proceso de Wiener) y el estudio de la inflación eterna en cosmología física . También es prominente en la teoría matemática de las finanzas , en particular el modelo de fijación de precios de opciones de Black-Scholes .

Caracterizaciones del proceso Wiener

El proceso Wiener se caracteriza por las siguientes propiedades: ${\displaystyle W_{t}}$

1. ${\displaystyle W_{0}=0}$
2. ${\displaystyle W}$tiene incrementos independientes : para todos los incrementos futuros son independientes de los valores pasados ,${\displaystyle t>0,}$${\displaystyle W_{t+u}-W_{t},}$ ${\displaystyle u\geq 0,}$${\displaystyle W_{s}}$${\displaystyle s\leq t.}$
3. ${\displaystyle W}$tiene incrementos gaussianos: normalmente se distribuye con media y varianza ,${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}}$${\displaystyle 0}$${\displaystyle u}$${\displaystyle W_{t+u}-W_{t}\sim {\mathcal {N}}(0,u).}$
4. ${\displaystyle W}$tiene caminos continuos: es continuo en .${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle t}$

Que el proceso tenga incrementos independientes significa que si 0 ≤ s ₁ < t ₁ ≤ s ₂ < t ₂ entonces W _{t 1}  -  W _{s 1} y W _{t 2}  -  W _{s 2} son variables aleatorias independientes, y la condición similar se cumple para n incrementos.

Una caracterización alternativa del proceso de Wiener es la denominada caracterización de Lévy que dice que el proceso de Wiener es casi con seguridad una martingala continua con W ₀ = 0 y variación cuadrática [ W _t , W _t ] = t (lo que significa que W _t ²  -  t es también una martingala).

Una tercera caracterización es que el proceso de Wiener tiene una representación espectral como una serie sinusoidal cuyos coeficientes son N (0, 1) variables aleatorias independientes . Esta representación se puede obtener mediante el teorema de Karhunen-Loève .

Otra caracterización de un proceso de Wiener es la integral definida (desde el tiempo cero al tiempo t ) de un proceso gaussiano correlacionado delta ("blanco") de media cero, varianza unitaria .

El proceso de Wiener se puede construir como el límite de escala de una caminata aleatoria u otros procesos estocásticos de tiempo discreto con incrementos independientes estacionarios. Esto se conoce como teorema de Donsker . Al igual que la caminata aleatoria, el proceso de Wiener es recurrente en una o dos dimensiones (lo que significa que casi con seguridad regresa a cualquier vecindario fijo del origen infinitamente a menudo) mientras que no es recurrente en las dimensiones tres y superiores. A diferencia del paseo aleatorio, es invariante en escala , lo que significa que

${\displaystyle \alpha ^{-1}W_{\alpha ^{2}t}}$

es un proceso de Wiener para cualquier constante α distinta de cero. La medida de Wiener es la ley de probabilidad en el espacio de funciones continuas g , con g (0) = 0, inducida por el proceso de Wiener. Una integral basada en la medida de Wiener se puede llamar integral de Wiener .

Proceso de salchicha como límite de caminata aleatoria

Vamos a ser iid variables aleatorias con media 0 y varianza 1. Para cada n , definir un proceso estocástico de tiempo continuo ${\displaystyle \xi _{1},\xi _{2},\ldots }$

${\displaystyle W_{n}(t)={\frac {1}{\sqrt {n}}}\sum \limits _{1\leq k\leq \lfloor nt\rfloor }\xi _{k},\qquad t\in [0,1].}$

Esta es una función de paso aleatorio. Los incrementos de son independientes porque son independientes. Para n grande , está cerca del teorema del límite central. El teorema de Donsker afirma que a medida , se acerca a un proceso de Wiener, lo que explica la ubicuidad del movimiento browniano. ${\displaystyle W_{n}}$${\displaystyle \xi _{k}}$${\displaystyle W_{n}(t)-W_{n}(s)}$${\displaystyle N(0,t-s)}$${\displaystyle n\to \infty }$${\displaystyle W_{n}}$

Propiedades de un proceso de Wiener unidimensional

Propiedades básicas

La función de densidad de probabilidad incondicional , que sigue una distribución normal con media = 0 y varianza = t , en un tiempo fijo t :

${\displaystyle f_{W_{t}}(x)={\frac {1}{\sqrt {2\pi t}}}e^{-x^{2}/(2t)}.}$

La expectativa es cero:

${\displaystyle E[W_{t}]=0.}$

La varianza , usando la fórmula computacional, es t :

${\displaystyle \operatorname {Var} (W_{t})=t.}$

Estos resultados se derivan inmediatamente de la definición de que los incrementos tienen una distribución normal , centrada en cero. Por lo tanto

${\displaystyle W_{t}=W_{t}-W_{0}\sim N(0,t).}$

Covarianza y correlación

La covarianza y correlación (donde ): ${\displaystyle s\leq t}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{s},W_{t})=s,}$

${\displaystyle \operatorname {corr} (W_{s},W_{t})={\frac {\operatorname {cov} (W_{s},W_{t})}{\sigma _{W_{s}}\sigma _{W_{t}}}}={\frac {s}{\sqrt {st}}}={\sqrt {\frac {s}{t}}}.}$

Estos resultados se derivan de la definición de que los incrementos que no se superponen son independientes, de los cuales solo se utiliza la propiedad de que no están correlacionados. Supongamos eso . ${\displaystyle t_{1}\leq t_{2}}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[(W_{t_{1}}-\operatorname {E} [W_{t_{1}}])\cdot (W_{t_{2}}-\operatorname {E} [W_{t_{2}}])\right]=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}\right].}$

Sustituyendo

${\displaystyle W_{t_{2}}=(W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}}}$

llegamos a:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {E} [W_{t_{1}}\cdot W_{t_{2}}]&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot ((W_{t_{2}}-W_{t_{1}})+W_{t_{1}})\right]\\&=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]+\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right].\end{aligned}}}$

Dado que y son independientes, ${\displaystyle W_{t_{1}}=W_{t_{1}}-W_{t_{0}}}$${\displaystyle W_{t_{2}}-W_{t_{1}}}$

${\displaystyle \operatorname {E} \left[W_{t_{1}}\cdot (W_{t_{2}}-W_{t_{1}})\right]=\operatorname {E} [W_{t_{1}}]\cdot \operatorname {E} [W_{t_{2}}-W_{t_{1}}]=0.}$

Por lo tanto

${\displaystyle \operatorname {cov} (W_{t_{1}},W_{t_{2}})=\operatorname {E} \left[W_{t_{1}}^{2}\right]=t_{1}.}$

Un corolario útil para la simulación es que podemos escribir, para t ₁ < t ₂ :

${\displaystyle W_{t_{2}}=W_{t_{1}}+{\sqrt {t_{2}-t_{1}}}\cdot Z}$

donde Z es una variable normal estándar independiente.

Representación de Wiener

Wiener (1923) también dio una representación de un camino browniano en términos de una serie aleatoria de Fourier . Si son variables gaussianas independientes con media cero y varianza uno, entonces ${\displaystyle \xi _{n}}$

${\displaystyle W_{t}=\xi _{0}t+{\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \pi nt}{\pi n}}}$

y

${\displaystyle W_{t}={\sqrt {2}}\sum _{n=1}^{\infty }\xi _{n}{\frac {\sin \left(\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi t\right)}{\left(n-{\frac {1}{2}}\right)\pi }}}$

representar un movimiento browniano en . El proceso escalado ${\displaystyle [0,1]}$

${\displaystyle {\sqrt {c}}\,W\left({\frac {t}{c}}\right)}$

es un movimiento browniano encendido (cf. teorema de Karhunen-Loève ). ${\displaystyle [0,c]}$

Corriendo máximo

La distribución conjunta del máximo corriente

${\displaystyle M_{t}=\max _{0\leq s\leq t}W_{s}}$

y W _t es

${\displaystyle f_{M_{t},W_{t}}(m,w)={\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,w\leq m.}$

Para obtener la distribución incondicional de , integre sobre −∞ < w ≤ m  : ${\displaystyle f_{M_{t}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}f_{M_{t}}(m)&=\int _{-\infty }^{m}f_{M_{t},W_{t}}(m,w)\,dw=\int _{-\infty }^{m}{\frac {2(2m-w)}{t{\sqrt {2\pi t}}}}e^{-{\frac {(2m-w)^{2}}{2t}}}\,dw\\[5pt]&={\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}},\qquad m\geq 0,\end{aligned}}}$

la función de densidad de probabilidad de una distribución semi-normal . La expectativa es

${\displaystyle \operatorname {E} [M_{t}]=\int _{0}^{\infty }mf_{M_{t}}(m)\,dm=\int _{0}^{\infty }m{\sqrt {\frac {2}{\pi t}}}e^{-{\frac {m^{2}}{2t}}}\,dm={\sqrt {\frac {2t}{\pi }}}}$

Si en un momento el proceso de Wiener tiene un valor conocido , es posible calcular la distribución de probabilidad condicional del máximo en el intervalo (cf. Distribución de probabilidad de los puntos extremos de un proceso estocástico de Wiener ). La función de distribución de probabilidad acumulada del valor máximo, condicionada por el valor conocido , es: ${\displaystyle t}$${\displaystyle W_{t}}$${\displaystyle [0,t]}$${\displaystyle W_{t}}$

${\displaystyle \,F_{M_{W_{t}}}(m)=\Pr \left(M_{W_{t}}=\max _{0\leq s\leq t}W(s)\leq m\mid W(t)=W_{t}\right)=\ 1-\ e^{-2{\frac {m(m-W_{t})}{t}}}\ \,,\,\ \ m>\max(0,W_{t})}$

Auto-semejanza

Escala browniana

Para cada c > 0, el proceso es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle V_{t}=(1/{\sqrt {c}})W_{ct}}$

Inversión del tiempo

El proceso para 0 ≤ t ≤ 1 se distribuye como W _t para 0 ≤ t ≤ 1. ${\displaystyle V_{t}=W_{1}-W_{1-t}}$

Inversión de tiempo

El proceso es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle V_{t}=tW_{1/t}}$

Una clase de martingalas brownianas

Si un polinomio p ( x , t ) satisface la PDE

${\displaystyle \left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t)=0}$

luego el proceso estocástico

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)}$

es una martingala .

Ejemplo: es una martingala, que muestra que la variación cuadrática de W en [0, t ] es igual a t . De ello se deduce que el tiempo esperado de la primera salida de W de (- c , c ) es igual ac ² . ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

De manera más general, para cada polinomio p ( x , t ), el siguiente proceso estocástico es una martingala:

${\displaystyle M_{t}=p(W_{t},t)-\int _{0}^{t}a(W_{s},s)\,\mathrm {d} s,}$

donde a es el polinomio

${\displaystyle a(x,t)=\left({\frac {\partial }{\partial t}}+{\frac {1}{2}}{\frac {\partial ^{2}}{\partial x^{2}}}\right)p(x,t).}$

Ejemplo: el proceso ${\displaystyle p(x,t)=(x^{2}-t)^{2},}$ ${\displaystyle a(x,t)=4x^{2};}$

${\displaystyle (W_{t}^{2}-t)^{2}-4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

es una martingala, lo que muestra que la variación cuadrática de la martingala en [0, t ] es igual a ${\displaystyle W_{t}^{2}-t}$

${\displaystyle 4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s.}$

Acerca de las funciones p ( xa , t ) más generales que los polinomios, ver martingalas locales .

Algunas propiedades de las rutas de muestra

El conjunto de todas las funciones w con estas propiedades es de la medida Wiener completa. Es decir, una ruta (función de muestra) del proceso de Wiener tiene todas estas propiedades casi con seguridad.

Propiedades cualitativas

• Para cada ε> 0, la función w toma valores (estrictamente) positivos y (estrictamente) negativos en (0, ε).
• La función w es continua en todas partes pero no diferenciable en ninguna parte (como la función de Weierstrass ).
• Los puntos del máximo local de la función w son un conjunto contable denso; los valores máximos son diferentes por pares; cada máximo local es agudo en el siguiente sentido: si w tiene un máximo local en t entonces

${\displaystyle \lim _{s\to t}{\frac {|w(s)-w(t)|}{|s-t|}}\to \infty .}$

Lo mismo ocurre con los mínimos locales.

• La función w no tiene puntos de incremento local, es decir, ningún t > 0 satisface lo siguiente para algunos ε en (0, t ): primero, w ( s ) ≤ w ( t ) para todos los s en ( t - ε, t ), y en segundo lugar, w ( s ) ≥ w ( t ) para todos los s en ( t , t + ε). (El aumento local es una condición más débil que w aumenta en ( t - ε, t + ε).) Lo mismo es válido para la disminución local.
• La función w es de variación ilimitada en cada intervalo.
• La variación cuadrática de w sobre [0, t] es t.
• Los ceros de la función w son un conjunto perfecto denso en ninguna parte de medida de Lebesgue 0 y dimensión de Hausdorff 1/2 (por lo tanto, incontable).

Propiedades cuantitativas

Ley del logaritmo iterado

${\displaystyle \limsup _{t\to +\infty }{\frac {|w(t)|}{\sqrt {2t\log \log t}}}=1,\quad {\text{almost surely}}.}$

Módulo de continuidad

Módulo de continuidad local:

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}{\frac {|w(\varepsilon )|}{\sqrt {2\varepsilon \log \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$

Módulo de continuidad global (Lévy):

${\displaystyle \limsup _{\varepsilon \to 0+}\sup _{0\leq s<t\leq 1,t-s\leq \varepsilon }{\frac {|w(s)-w(t)|}{\sqrt {2\varepsilon \log(1/\varepsilon )}}}=1,\qquad {\text{almost surely}}.}$

Hora local

La imagen de la medida de Lebesgue en [0, t ] debajo del mapa w (la medida de avance ) tiene una densidad L _t (·). Por lo tanto,

${\displaystyle \int _{0}^{t}f(w(s))\,\mathrm {d} s=\int _{-\infty }^{+\infty }f(x)L_{t}(x)\,\mathrm {d} x}$

para una amplia clase de funciones f (a saber: todas las funciones continuas; todas las funciones integrables localmente; todas las funciones mensurables no negativas). La densidad L _t es (más exactamente, puede y se elegirá que sea) continua. El número L _t ( x ) se denomina hora local en x de w en [0, t ]. Es estrictamente positivo para todo x del intervalo ( a , b ) donde a y b son el menor y el mayor valor de w en [0, t ], respectivamente. (Para x fuera de este intervalo la hora local evidentemente se desvanece.) Trata como una función de dos variables x y t , el tiempo local es todavía continua. Tratada como una función de t (mientras que x es fija), la hora local es una función singular que corresponde a una medida no atómica en el conjunto de ceros de w .

Estas propiedades de continuidad son bastante no triviales. Tenga en cuenta que la hora local también se puede definir (como la densidad de la medida de avance) para una función suave. Entonces, sin embargo, la densidad es discontinua, a menos que la función dada sea monótona. En otras palabras, existe un conflicto entre el buen comportamiento de una función y el buen comportamiento de su hora local. En este sentido, la continuidad del tiempo local del proceso de Wiener es otra manifestación de la no suavidad de la trayectoria.

Tasa de información

La tasa de información del proceso de Wiener con respecto a la distancia de error al cuadrado, es decir, su función cuadrática de tasa-distorsión , viene dada por

${\displaystyle R(D)={\frac {2}{\pi ^{2}\ln 2D}}\approx 0.29D^{-1}.}$

Por lo tanto, es imposible codificar usando un código binario de menos de bits y recuperarlo con un error cuadrático medio esperado menor que . Por otro lado, para cualquiera , existe un código binario suficientemente grande de no más de elementos distintos, de modo que el error cuadrático medio esperado en la recuperación de este código es como máximo . ${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$${\displaystyle TR(D)}$ ${\displaystyle D}$${\displaystyle \varepsilon >0}$${\displaystyle T}$${\displaystyle 2^{TR(D)}}$${\displaystyle \{w_{t}\}_{t\in [0,T]}}$${\displaystyle D-\varepsilon }$

En muchos casos, es imposible codificar el proceso de Wiener sin muestrearlo primero. Cuando el proceso de Wiener se muestrea a intervalos antes de aplicar un código binario para representar estas muestras, la compensación óptima entre la tasa de código y el error cuadrático medio esperado (al estimar el proceso de Wiener de tiempo continuo) sigue la representación paramétrica ${\displaystyle T_{s}}$ ${\displaystyle R(T_{s},D)}$ ${\displaystyle D}$

${\displaystyle R(T_{s},D_{\theta })={\frac {T_{s}}{2}}\int _{0}^{1}\log _{2}^{+}\left[{\frac {S(\varphi )-{\frac {1}{6}}}{\theta }}\right]d\varphi ,}$

${\displaystyle D_{\theta }={\frac {T_{s}}{6}}+T_{s}\int _{0}^{1}\min\{S(\varphi )-{\frac {1}{6}},\theta \}d\varphi ,}$

donde y . En particular, es el error cuadrático medio asociado solo con la operación de muestreo (sin codificación). ${\displaystyle S(\varphi )=(2\sin(\pi \varphi /2))^{-2}}$${\displaystyle \log ^{+}[x]=\max\{0,\log(x)\}}$${\displaystyle T_{s}/6}$

Procesos relacionados

El proceso estocástico definido por

${\displaystyle X_{t}=\mu t+\sigma W_{t}}$

se denomina proceso de Wiener con deriva μ y varianza infinitesimal σ ² . Estos procesos agotan los procesos continuos de Lévy .

A grandes rasgos, aparecen dos procesos aleatorios en el intervalo de tiempo [0, 1] al condicionar el proceso de Wiener a desaparecer en ambos extremos de [0,1]. Sin más condicionamiento, el proceso toma valores tanto positivos como negativos en [0, 1] y se denomina puente browniano . Condicionado también para permanecer positivo en (0, 1), el proceso se llama excursión browniana . En ambos casos un tratamiento riguroso implica un procedimiento limitante, ya que la fórmula P ( A | B ) = P ( A ∩ B ) / P ( B ) no se aplica cuando P ( B ) = 0.

Se puede escribir un movimiento browniano geométrico

${\displaystyle e^{\mu t-{\frac {\sigma ^{2}t}{2}}+\sigma W_{t}}.}$

Es un proceso estocástico que se utiliza para modelar procesos que nunca pueden tomar valores negativos, como el valor de las acciones.

El proceso estocástico

${\displaystyle X_{t}=e^{-t}W_{e^{2t}}}$

se distribuye como el proceso de Ornstein-Uhlenbeck con parámetros , , y . ${\displaystyle \theta =1}$${\displaystyle \mu =0}$${\displaystyle \sigma ^{2}=2}$

El tiempo de alcanzar un solo punto x > 0 por el proceso de Wiener es una variable aleatoria con la distribución de Lévy . La familia de estas variables aleatorias (indexadas por todos los números positivos x ) es una modificación continua a la izquierda de un proceso de Lévy . La modificación continua a la derecha de este proceso viene dada por los tiempos de la primera salida de los intervalos cerrados [0, x ].

El tiempo local L = ( L ^x _t ) _{x ∈ R , t ≥ 0} de un movimiento browniano describe el tiempo que el proceso pasa en el punto x . Formalmente

${\displaystyle L^{x}(t)=\int _{0}^{t}\delta (x-B_{t})\,ds}$

donde δ es la función delta de Dirac . El comportamiento de la hora local se caracteriza por los teoremas de Ray-Knight .

Martingalas brownianas

Sea A un evento relacionado con el proceso de Wiener (más formalmente: un conjunto, medible con respecto a la medida de Wiener, en el espacio de funciones), y X _t la probabilidad condicional de A dado el proceso de Wiener en el intervalo de tiempo [0 , t ] (más formalmente: la medida de Wiener del conjunto de trayectorias cuya concatenación con la trayectoria parcial dada en [0, t ] pertenece a A ). Entonces el proceso X _t es una martingala continua. Su propiedad de martingala se deriva inmediatamente de las definiciones, pero su continuidad es un hecho muy especial: un caso especial de un teorema general que establece que todas las martingalas brownianas son continuas. Una martingala browniana es, por definición, una martingala adaptada a la filtración browniana; y la filtración browniana es, por definición, la filtración generada por el proceso Wiener.

Movimiento browniano integrado

La integral de tiempo del proceso de Wiener

${\displaystyle W^{(-1)}(t):=\int _{0}^{t}W(s)\,ds}$

se llama movimiento browniano integrado o proceso de Wiener integrado . Surge en muchas aplicaciones y puede ser demostrado tener la distribución N (0, t ³ /3), calculado utilizando el hecho de que la covarianza del proceso de Wiener es . ${\displaystyle t\wedge s=\min(t,s)}$

Para el caso general del proceso definido por

${\displaystyle V_{f}(t)=\int _{0}^{t}f'(s)W(s)\,ds=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))\,dW_{s}}$

Entonces, para , ${\displaystyle a>0}$

${\displaystyle \operatorname {Var} (V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t)-f(s))^{2}\,ds}$

${\displaystyle \operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))=\int _{0}^{t}(f(t+a)-f(s))(f(t)-f(s))\,ds}$

De hecho, siempre es una variable aleatoria normal de media cero. Esto permite la simulación de lo dado tomando ${\displaystyle V_{f}(t)}$${\displaystyle V_{f}(t+a)}$${\displaystyle V_{f}(t)}$

${\displaystyle V_{f}(t+a)=A\cdot V_{f}(t)+B\cdot Z}$

donde Z es una variable normal estándar y

${\displaystyle A={\frac {\operatorname {cov} (V_{f}(t+a),V_{f}(t))}{\operatorname {Var} (V_{f}(t))}}}$

${\displaystyle B^{2}=\operatorname {Var} (V_{f}(t+a))-A^{2}\operatorname {Var} (V_{f}(t))}$

El caso de corresponde a . Todos estos resultados pueden verse como consecuencias directas de la isometría de Itô . El proceso de Wiener integrado n veces es una variable normal de media cero con varianza . Esto viene dado por la fórmula de Cauchy para la integración repetida . ${\displaystyle V_{f}(t)=W^{(-1)}(t)}$${\displaystyle f(t)=t}$${\displaystyle {\frac {t}{2n+1}}\left({\frac {t^{n}}{n!}}\right)^{2}}$

Cambio de tiempo

Cada martingala continua (comenzando en el origen) es un proceso de Wiener cambiado en el tiempo.

Ejemplo: 2 W _t = V (4 t ) donde V es otro proceso de Wiener (diferente de W pero distribuido como W ).

Ejemplo. donde y V es otro proceso de Wiener. ${\displaystyle W_{t}^{2}-t=V_{A(t)}}$${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}W_{s}^{2}\,\mathrm {d} s}$

En general, si M es una martingala continua, entonces donde A ( t ) es la variación cuadrática de M en [0, t ], y V es un proceso de Wiener. ${\displaystyle M_{t}-M_{0}=V_{A(t)}}$

Corolario. (Ver también los teoremas de convergencia de la martingala de Doob ) Sea M _t una martingala continua, y

${\displaystyle M_{\infty }^{-}=\liminf _{t\to \infty }M_{t},}$

${\displaystyle M_{\infty }^{+}=\limsup _{t\to \infty }M_{t}.}$

Entonces solo son posibles los siguientes dos casos:

${\displaystyle -\infty <M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}<+\infty ,}$

${\displaystyle -\infty =M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}=+\infty ;}$

otros casos (como, por ejemplo, etc.) son de probabilidad 0. ${\displaystyle M_{\infty }^{-}=M_{\infty }^{+}=+\infty ,}$   ${\displaystyle M_{\infty }^{-}<M_{\infty }^{+}<+\infty }$

Especialmente, una martingala continua no negativa tiene un límite finito (como t → ∞) casi con seguridad.

Todo lo que se indica (en esta subsección) para martingalas vale también para martingalas locales .

Cambio de medida

Una amplia clase de semimartingales continuos (especialmente, de procesos de difusión ) está relacionada con el proceso de Wiener a través de una combinación de cambio de tiempo y cambio de medida .

Usando este hecho, las propiedades cualitativas indicadas anteriormente para el proceso de Wiener se pueden generalizar a una amplia clase de semimartingalas continuas.

Proceso de Wiener de valor complejo

El proceso de Wiener de valores complejos puede definirse como un proceso aleatorio de valores complejos de la forma donde y son procesos de Wiener independientes (de valor real). ${\displaystyle Z_{t}=X_{t}+iY_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$

Auto-semejanza

Escala browniana, inversión de tiempo, inversión de tiempo: lo mismo que en el caso de valores reales.

Invarianza de rotación: para cada número complejo de manera que el proceso sea ​​otro proceso de Wiener de valor complejo. ${\displaystyle c}$${\displaystyle |c|=1}$${\displaystyle c\cdot Z_{t}}$

Cambio de tiempo

Si es una función completa, entonces el proceso es un proceso de Wiener de valor complejo modificado en el tiempo. ${\displaystyle f}$${\displaystyle f(Z_{t})-f(0)}$

Ejemplo: donde ${\displaystyle Z_{t}^{2}=(X_{t}^{2}-Y_{t}^{2})+2X_{t}Y_{t}i=U_{A(t)}}$

${\displaystyle A(t)=4\int _{0}^{t}|Z_{s}|^{2}\,\mathrm {d} s}$

y es otro proceso de Wiener de valor complejo. ${\displaystyle U}$

En contraste con el caso de valor real, una martingala de valor complejo generalmente no es un proceso de Wiener de valor complejo cambiado en el tiempo. Por ejemplo, la martingala no lo es (aquí ya son procesos de Wiener independientes, como antes). ${\displaystyle 2X_{t}+iY_{t}}$${\displaystyle X_{t}}$${\displaystyle Y_{t}}$

Ver también

Notas

Referencias

• Kleinert, Hagen (2004). Integrales de ruta en mecánica cuántica, estadística, física de polímeros y mercados financieros (4ª ed.). Singapur: World Scientific. ISBN 981-238-107-4.(también disponible en línea: archivos PDF )
• Stark, Henry; Woods, John (2002). Probabilidad y procesos aleatorios con aplicaciones al procesamiento de señales (3ª ed.). Nueva Jersey: Prentice Hall. ISBN 0-13-020071-9.
• Revuz, Daniel; Yor, Marc (1994). Martingalas continuas y movimiento browniano (Segunda ed.). Springer-Verlag.

enlaces externos

• Artículo para el niño en edad escolar
• Movimiento browniano, "diverso y ondulado"
• Analiza la historia, la botánica y la física de las observaciones originales de Brown, con videos.
• "La predicción de Einstein finalmente fue testigo un siglo después"  : una prueba para observar la velocidad del movimiento browniano
• "Aplicación web interactiva: procesos estocásticos utilizados en finanzas cuantitativas" .