Operador Laplace – Beltrami - Laplace–Beltrami operator

En geometría diferencial , el operador de Laplace-Beltrami es una generalización del operador de Laplace a funciones definidas en subvariedades en el espacio euclidiano y, aún más generalmente, en variedades riemannianas y pseudo-riemannianas . Lleva el nombre de Pierre-Simon Laplace y Eugenio Beltrami .

Para cualquier función f de valor real dos veces diferenciable definida en el espacio euclidiano R ⁿ , el operador de Laplace (también conocido como laplaciano ) lleva f a la divergencia de su campo vectorial de gradiente , que es la suma de las n segundas derivadas de f con con respecto a cada vector de una base ortonormal para R ⁿ . Al igual que el Laplaciano, el operador de Laplace-Beltrami se define como la divergencia del gradiente y es un operador lineal que convierte funciones en funciones. El operador puede extenderse para operar en tensores como la divergencia de la derivada covariante. Alternativamente, el operador puede generalizarse para operar en formas diferenciales usando la divergencia y la derivada exterior . El operador resultante se llama operador de Laplace – de Rham (llamado así por Georges de Rham ).

Detalles

El operador Laplace-Beltrami, como el Laplaciano, es la divergencia del gradiente :

${\ Displaystyle \ Delta f = \ nabla \ cdot \ nabla f.}$

Es posible una fórmula explícita en coordenadas locales .

Supongamos primero que M es una variedad riemanniana orientada . La orientación permite especificar una forma de volumen definida en M , dada en un sistema de coordenadas orientado x ⁱ por

${\ Displaystyle \ operatorname {vol} _ {n}: = {\ sqrt {| g |}} \; dx ^ {1} \ wedge \ cdots \ wedge dx ^ {n}}$

donde | g | : = | det ( g _ij ) | es el valor absoluto del determinante del tensor métrico , y dx ⁱ son las formas 1 que forman el marco dual del marco

${\ estilo de visualización \ parcial _ {i}: = {\ frac {\ parcial} {\ parcial x ^ {i}}}}$

del paquete tangente y es el producto de la cuña . ${\ displaystyle TM}$${\ Displaystyle \ wedge}$

La divergencia de un campo vectorial X en la variedad se define entonces como la función escalar con la propiedad

${\ Displaystyle (\ nabla \ cdot X) \ operatorname {vol} _ {n}: = L_ {X} \ operatorname {vol} _ {n}}$

donde L _X es la derivada de Lie a lo largo del campo vectorial X . En coordenadas locales, se obtiene

${\ Displaystyle \ nabla \ cdot X = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ parcial _ {i} \ left ({\ sqrt {| g |}} X ^ {i} \ right )}$

donde está implícita la notación de Einstein , de modo que el índice repetido i se suma.

El gradiente de una función escalar ƒ es el campo vectorial grad f que se puede definir a través del producto interno en la variedad, como ${\ Displaystyle \ langle \ cdot, \ cdot \ rangle}$

${\ Displaystyle \ langle \ operatorname {grad} f (x), v_ {x} \ rangle = df (x) (v_ {x})}$

para todos los vectores v _x anclados en el punto x en el espacio tangente T _x M de la variedad en el punto x . Aquí, d f es la derivada exterior de la función f; es un argumento que toma una forma v _x . En coordenadas locales, uno tiene

${\ Displaystyle \ left (\ operatorname {grad} f \ right) ^ {i} = \ parcial ^ {i} f = g ^ {ij} \ parcial _ {j} f}$

donde g ^ij son los componentes de la inversa del tensor métrico, de modo que g ^ij g _jk = δ ⁱ _k con δ ⁱ _k el delta de Kronecker .

Combinando las definiciones de gradiente y divergencia, la fórmula para el operador de Laplace-Beltrami aplicado a una función escalar ƒ es, en coordenadas locales

${\ Displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ parcial _ {i} \ left ({\ sqrt {| g |}} g ^ {ij} \ parcial _ { j} f \ derecha).}$

Si M no está orientado, entonces el cálculo anterior se lleva a cabo exactamente como se presenta, excepto que la forma de volumen debe ser reemplazada por un elemento de volumen (una densidad en lugar de una forma). Ni el gradiente ni la divergencia dependen realmente de la elección de la orientación, por lo que el propio operador de Laplace-Beltrami no depende de esta estructura adicional.

Autoadincidencia formal

La derivada exterior d y −∇. son adjuntos formales, en el sentido de que para ƒ una función de soporte compacto

${\ Displaystyle \ int _ {M} df (X) \ operatorname {vol} _ {n} = - \ int _ {M} f \ nabla \ cdot X \ operatorname {vol} _ {n}}$     (prueba)

donde la última igualdad es una aplicación del teorema de Stokes . La dualización da

${\ Displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \, \ operatorname {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \, \ operatorname {vol} _ { norte}}$

( 2 )

para todas las funciones compactas ƒ y h . Por el contrario, ( 2 ) caracteriza completamente al operador de Laplace-Beltrami, en el sentido de que es el único operador con esta propiedad.

Como consecuencia, el operador de Laplace-Beltrami es negativo y formalmente autoadjunto, lo que significa que para funciones compactas f y h ,

${\ Displaystyle \ int _ {M} f \, \ Delta h \ operatorname {vol} _ {n} = - \ int _ {M} \ langle df, dh \ rangle \ operatorname {vol} _ {n} = \ int _ {M} h \, \ Delta f \ operatorname {vol} _ {n}.}$

Debido a que el operador de Laplace-Beltrami, tal como se define de esta manera, es negativo en lugar de positivo, a menudo se define con el signo opuesto.

Autovalores del operador de Laplace-Beltrami (teorema de Lichnerowicz-Obata)

Sea M una variedad compacta de Riemann sin límite. Queremos considerar la ecuación de valores propios,

${\ Displaystyle - \ Delta u = \ lambda u,}$

donde es la función propia asociada con el valor propio . Se puede demostrar usando la autoadjunta probada anteriormente que los valores propios son reales. La compacidad del M colector permite una para mostrar que los valores propios son discretas y, además, el espacio vectorial de las funciones propias asociadas con un valor propio dado , es decir, los eigenspaces son todos de dimensión finita. Observe que al tomar la función constante como una función propia, obtenemos es un valor propio. También desde que hemos considerado una integración por partes muestra eso . Más precisamente si multiplicamos el valor propio eqn. a través de la función propia e integrar la ecuación resultante. on we get (usando la notación ) ${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda}$${\ Displaystyle \ lambda = 0}$${\ Displaystyle - \ Delta}$${\ Displaystyle \ lambda \ geq 0}$${\ Displaystyle u}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle dV = \ operatorname {vol} _ {n}}$

${\ Displaystyle - \ int _ {M} \ Delta u \ u \ dV = \ lambda \ int _ {M} u ^ {2} \ dV}$

Realizando una integración por partes o lo que es lo mismo que usar el teorema de divergencia en el término de la izquierda, y como no tiene límite obtenemos ${\ Displaystyle M}$

${\ Displaystyle - \ int _ {M} \ Delta u \ u \ dV = \ int _ {M} | \ nabla u | ^ {2} \ dV}$

Juntando las dos últimas ecuaciones llegamos a

${\ Displaystyle \ int _ {M} | \ nabla u | ^ {2} \ dV = \ lambda \ int _ {M} u ^ {2} \ dV}$

Concluimos de la última ecuación que . ${\ Displaystyle \ lambda \ geq 0}$

Un resultado fundamental de Andre Lichnerowicz establece que: Dada una variedad riemanniana compacta n- dimensional sin límite con . Suponga que la curvatura de Ricci satisface el límite inferior: ${\ Displaystyle n \ geq 2}$

${\ Displaystyle \ operatorname {Ric} (X, X) \ geq \ kappa g (X, X), \ kappa> 0,}$

donde es el tensor métrico y es cualquier vector tangente en la variedad . Entonces, el primer valor propio positivo de la ecuación del valor propio satisface el límite inferior: ${\ Displaystyle g (\ cdot, \ cdot)}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle M}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} \ geq {\ frac {n} {n-1}} \ kappa.}$

Este límite inferior es nítido y se logra en la esfera . De hecho, el espacio propio para es tridimensional y está dividido por la restricción de las funciones de coordenadas de a . Usando coordenadas esféricas , en la esfera bidimensional, establezca ${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ Displaystyle \ lambda _ {1}}$${\ Displaystyle x_ {1}, x_ {2}, x_ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {R} ^ {3}}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$${\ Displaystyle (\ theta, \ phi)}$${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {2}}$

${\ Displaystyle x_ {3} = \ cos \ phi = u_ {1},}$

vemos fácilmente en la fórmula para el Laplaciano esférico que se muestra a continuación que

${\ Displaystyle - \ Delta _ {\ mathbb {S} ^ {2}} u_ {1} = 2u_ {1}}$

Por tanto, el límite inferior del teorema de Lichnerowicz se alcanza al menos en dos dimensiones.

A la inversa, Morio Obata demostró que si la variedad riemanniana compacta n- dimensional sin límite fuera tal que para el primer valor propio positivo uno tiene, ${\ Displaystyle \ lambda _ {1}}$

${\ Displaystyle \ lambda _ {1} = {\ frac {n} {n-1}} \ kappa,}$

entonces la variedad es isométrica a la esfera n- dimensional , la esfera de radio . Las pruebas de todas estas declaraciones se pueden encontrar en el libro de Isaac Chavel. Los límites agudos análogos también son válidos para otras geometrías y para ciertos laplacianos degenerados asociados con estas geometrías como el Kohn Laplacian (después de Joseph J. Kohn ) en un colector CR compacto . Existen aplicaciones para la integración global de tales variedades CR en${\ Displaystyle \ mathbb {S} ^ {n} (1 / {\ sqrt {\ kappa}})}$${\ Displaystyle 1 / {\ sqrt {\ kappa}}}$${\ Displaystyle \ mathbb {C} ^ {n}.}$

Tensor laplaciano

El operador de Laplace-Beltrami se puede escribir usando la traza (o contracción) de la derivada covariante iterada asociada con la conexión Levi-Civita. El hessiano (tensor) de una función es el 2-tensor simétrico ${\ Displaystyle f}$

${\ Displaystyle \ Displaystyle {\ mbox {Hess}} f \ in \ mathbf {\ Gamma} ({\ mathsf {T}} ^ {*} M \ otimes {\ mathsf {T}} ^ {*} M)}$, ,${\ Displaystyle {\ mbox {Hess}} f: = \ nabla ^ {2} f \ equiv \ nabla \ nabla f \ equiv \ nabla \ mathrm {d} f}$

donde df denota la derivada (exterior) de una función f .

Sea X _i una base de campos vectoriales tangentes (no necesariamente inducidos por un sistema de coordenadas). Entonces las componentes de Hess f están dadas por

${\ displaystyle ({\ mbox {Hess}} f) _ {ij} = {\ mbox {Hess}} f (X_ {i}, X_ {j}) = \ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} f- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ {j}} f}$

Se ve fácilmente que esto se transforma tensorialmente, ya que es lineal en cada uno de los argumentos X _i , X _j . El operador de Laplace-Beltrami es entonces la traza (o contracción ) del hessiano con respecto a la métrica:

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta f: = \ mathrm {tr} \ nabla \ mathrm {d} f \ in {\ mathsf {C}} ^ {\ infty} (M)}$.

Más precisamente, esto significa

${\ Displaystyle \ Displaystyle \ Delta f (x) = \ sum _ {i = 1} ^ {n} \ nabla \ mathrm {d} f (X_ {i}, X_ {i})}$,

o en términos de la métrica

${\ Displaystyle \ Delta f = \ sum _ {ij} g ^ {ij} ({\ mbox {Hess}} f) _ {ij}.}$

En índices abstractos , el operador a menudo se escribe

${\ Displaystyle \ Delta f = \ nabla ^ {a} \ nabla _ {a} f}$

siempre que se entienda implícitamente que este rastro es de hecho el rastro del tensor de Hesse .

Debido a que la derivada covariante se extiende canónicamente a tensores arbitrarios , el operador de Laplace-Beltrami definido en un tensor T por

${\ Displaystyle \ Delta T = g ^ {ij} \ left (\ nabla _ {X_ {i}} \ nabla _ {X_ {j}} T- \ nabla _ {\ nabla _ {X_ {i}} X_ { j}} T \ right)}$

está bien definido.

Operador de Laplace – de Rham

De manera más general, se puede definir un operador diferencial laplaciano en secciones del conjunto de formas diferenciales en una variedad pseudo-riemanniana . En una variedad de Riemann es un operador elíptico , mientras que en una variedad de Lorentz es hiperbólico . El operador de Laplace – de Rham se define por

${\ Displaystyle \ Delta = \ mathrm {d} \ delta + \ delta \ mathrm {d} = (\ mathrm {d} + \ delta) ^ {2}, \;}$

donde d es la derivada o diferencial exterior y δ es la codiferencial , actuando como (−1) ^{kn + n +1} ∗ d ∗ en k- formas, donde ∗ es la estrella de Hodge . El operador de primer orden es el operador Hodge-Diract. ${\ Displaystyle \ mathrm {d} + \ delta}$

Al calcular el operador de Laplace-Beltrami en una función escalar f , tenemos δf = 0 , de modo que

${\ Displaystyle \ Delta f = \ delta \, \ mathrm {d} f.}$

Hasta un signo general, el operador de Laplace-de Rham es equivalente a la definición anterior del operador de Laplace-Beltrami cuando actúa sobre una función escalar; vea la prueba para más detalles. En funciones, el operador de Laplace-de Rham es en realidad el negativo del operador de Laplace-Beltrami, ya que la normalización convencional del codiferencial asegura que el operador de Laplace-de Rham es (formalmente) positivo definido , mientras que el operador de Laplace-Beltrami es típicamente negativo. El signo es simplemente una convención y ambos son comunes en la literatura. El operador de Laplace-de Rham difiere más significativamente del tensor Laplaciano restringido para actuar sobre tensores asimétricos asimétricos. Aparte del signo incidental, los dos operadores se diferencian por una identidad de Weitzenböck que implica explícitamente el tensor de curvatura de Ricci .

Ejemplos de

Muchos ejemplos del operador de Laplace-Beltrami pueden elaborarse explícitamente.

Espacio euclidiano

En las coordenadas cartesianas habituales (ortonormales) x ⁱ en el espacio euclidiano , la métrica se reduce al delta de Kronecker y, por lo tanto, se tiene . En consecuencia, en este caso ${\ Displaystyle | g | = 1}$

${\ Displaystyle \ Delta f = {\ frac {1} {\ sqrt {| g |}}} \ parcial _ {i} {\ sqrt {| g |}} \ parcial ^ {i} f = \ parcial _ { i} \ parcial ^ {i} f}$

que es el laplaciano ordinario. En coordenadas curvilíneas , como coordenadas esféricas o cilíndricas , se obtienen expresiones alternativas .

De manera similar, el operador de Laplace-Beltrami correspondiente a la métrica de Minkowski con firma (- + + +) es el d'Alembertian .

Laplaciano esférico

El Laplaciano esférico es el operador de Laplace-Beltrami en la ( n - 1) -esfera con su métrica canónica de curvatura seccional constante 1. Es conveniente considerar la esfera como incrustada isométricamente en R ⁿ como la esfera unitaria centrada en el origen. Entonces, para una función f en S ^{n −1} , el Laplaciano esférico está definido por

${\ Displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}} f (x) = \ Delta f (x / | x |)}$

donde f ( x / | x |) es la extensión homogénea de grado cero de la función f a R ⁿ  - {0}, y es el Laplaciano del espacio euclidiano ambiental. Concretamente, esto está implícito en la conocida fórmula del Laplaciano euclidiano en coordenadas polares esféricas: ${\ Displaystyle \ Delta}$

${\ estilo de visualización \ Delta f = r ^ {1-n} {\ frac {\ parcial} {\ parcial r}} \ izquierda (r ^ {n-1} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial r} } \ derecha) + r ^ {- 2} \ Delta _ {S ^ {n-1}} f.}$

De manera más general, se puede formular un truco similar utilizando el paquete normal para definir el operador de Laplace-Beltrami de cualquier variedad de Riemann incrustada isométricamente como una hipersuperficie del espacio euclidiano.

También se puede dar una descripción intrínseca del operador de Laplace-Beltrami en la esfera en un sistema de coordenadas normal . Sean ( ϕ , ξ ) coordenadas esféricas en la esfera con respecto a un punto particular p de la esfera (el "polo norte"), es decir, coordenadas polares geodésicas con respecto a p . Aquí ϕ representa la medida de latitud a lo largo de una unidad geodésica de velocidad de p , y ξ un parámetro que representa la elección de la dirección de la geodésica en S ^{n −1} . Entonces el laplaciano esférico tiene la forma:

${\ Displaystyle \ Delta _ {S ^ {n-1}} f (\ xi, \ phi) = (\ sin \ phi) ^ {2-n} {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ izquierda ((\ sin \ phi) ^ {n-2} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ phi}} \ derecha) + (\ sin \ phi) ^ {- 2} \ Delta _ {\ xi} f}$

donde es el operador de Laplace-Beltrami en la unidad ordinaria ( n - 2) -esfera. En particular, para las 2 esferas ordinarias que utilizan la notación estándar para las coordenadas polares, obtenemos: ${\ Displaystyle \ Delta _ {\ xi}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {S ^ {2}} f (\ theta, \ phi) = (\ sin \ phi) ^ {- 1} {\ frac {\ partial} {\ partial \ phi}} \ left ( \ sin \ phi {\ frac {\ parcial f} {\ parcial \ phi}} \ derecha) + (\ sin \ phi) ^ {- 2} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial \ theta ^ {2}}} f}$

Espacio hiperbólico

Una técnica similar funciona en el espacio hiperbólico . Aquí, el espacio hiperbólico H ^{n −1} se puede incrustar en el espacio n dimensional de Minkowski , un espacio vectorial real equipado con la forma cuadrática

${\ Displaystyle q (x) = x_ {1} ^ {2} -x_ {2} ^ {2} - \ cdots -x_ {n} ^ {2}.}$

Entonces H ⁿ es el subconjunto del futuro cono nulo en el espacio de Minkowski dado por

${\ Displaystyle H ^ {n} = \ {x \ mid q (x) = 1, x_ {1}> 1 \}. \,}$

Luego

${\ Displaystyle \ Delta _ {H ^ {n-1}} f = \ left. \ Box f \ left (x / q (x) ^ {1/2} \ right) \ right | _ {H ^ {n -1}}}$

Aquí está la extensión homogénea de grado cero de f al interior del futuro cono nulo y □ es el operador de onda${\ Displaystyle f (x / q (x) ^ {1/2})}$

${\ Displaystyle \ Box = {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ {1} ^ {2}}} - \ cdots - {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial x_ { n} ^ {2}}}.}$

El operador también se puede escribir en coordenadas polares. Sean ( t , ξ ) coordenadas esféricas en la esfera con respecto a un punto particular p de H ^{n −1} (digamos, el centro del disco de Poincaré ). Aquí t representa la distancia hiperbólica de p y ξ un parámetro que representa la elección de la dirección de la línea geodésica en S ^{n -2} . Entonces el laplaciano hiperbólico tiene la forma:

${\ Displaystyle \ Delta _ {H ^ {n-1}} f (t, \ xi) = \ sinh (t) ^ {2-n} {\ frac {\ parcial} {\ parcial t}} \ left ( \ sinh (t) ^ {n-2} {\ frac {\ parcial f} {\ parcial t}} \ derecha) + \ sinh (t) ^ {- 2} \ Delta _ {\ xi} f}$

donde es el operador de Laplace-Beltrami en la unidad ordinaria ( n  - 2) -esfera. En particular, para el plano hiperbólico usando notación estándar para coordenadas polares obtenemos: ${\ Displaystyle \ Delta _ {\ xi}}$

${\ Displaystyle \ Delta _ {H ^ {2}} f (r, \ theta) = \ sinh (r) ^ {- 1} {\ frac {\ partial} {\ partial r}} \ left (\ sinh ( r) {\ frac {\ parcial f} {\ parcial r}} \ derecha) + \ sinh (r) ^ {- 2} {\ frac {\ parcial ^ {2}} {\ parcial \ theta ^ {2} }}F}$

Ver también

• Derivado covariante
• Operadores laplacianos en geometría diferencial
• Operador de Laplace

Notas

Referencias

• Flanders, Harley (1989), Formas diferenciales con aplicaciones a las ciencias físicas , Dover, ISBN 978-0-486-66169-8
• Jost, Jürgen (2002), Geometría y análisis geométrico de Riemann , Berlín: Springer-Verlag, ISBN 3-540-42627-2.
• Solomentsev, ED; Shikin, EV (2001) [1994], "Ecuación de Laplace-Beltrami" , Enciclopedia de Matemáticas , EMS Press