Paquete normal - Normal bundle

En geometría diferencial , un campo de las matemáticas , un paquete normal es un tipo particular de paquete de vectores , complementario al paquete tangente y que proviene de una incrustación (o inmersión ).

Definición

Colector de Riemann

Sea una variedad de Riemann y una subvariedad de Riemann . Defina, para un dado , un vector para que sea normal a siempre para todos (de modo que sea ortogonal a ). El conjunto de todos estos se denomina espacio normal a en . ${\ Displaystyle (M, g)}$${\ Displaystyle S \ subconjunto M}$${\ Displaystyle p \ in S}$${\ Displaystyle n \ in \ mathrm {T} _ {p} M}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle g (n, v) = 0}$${\ Displaystyle v \ in \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle \ mathrm {T} _ {p} S}$${\ Displaystyle \ mathrm {N} _ {p} S}$${\ Displaystyle n}$${\ Displaystyle S}$${\ Displaystyle p}$

Así como el espacio total del haz tangente a un colector se construye a partir de todos los espacios tangentes al colector, el espacio total del haz normal a se define como ${\ Displaystyle \ mathrm {N} S}$${\ Displaystyle S}$

${\ Displaystyle \ mathrm {N} S: = \ coprod _ {p \ in S} \ mathrm {N} _ {p} S}$.

El paquete conormal se define como el paquete dual del paquete normal. Se puede realizar naturalmente como un sub-paquete del paquete cotangente .

Definición general

Más abstractamente, dada una inmersión (por ejemplo, una incrustación), se puede definir un paquete normal de N en M , por en cada punto de N , teniendo el espacio cociente del espacio tangente en M por el espacio tangente en N . Para una variedad de Riemann, se puede identificar este cociente con el complemento ortogonal, pero en general no se puede (tal elección es equivalente a una sección de la proyección ). ${\ Displaystyle i \ dos puntos N \ a M}$${\ Displaystyle V \ a V / W}$

Así, el haz normal es en general un cociente del haz tangente del espacio ambiental restringido al subespacio.

Formalmente, el paquete normal a N en M es un paquete cociente del paquete tangente en M : uno tiene la secuencia corta exacta de paquetes vectoriales en N :

${\ Displaystyle 0 \ a TN \ a TM \ vert _ {i (N)} \ a T_ {M / N}: = TM \ vert _ {i (N)} / TN \ a 0}$

donde es la restricción del paquete tangente en M a N (correctamente, el retroceso del paquete tangente en M a un paquete vectorial en N a través del mapa ). La fibra del haz normal adentro se conoce como el espacio normal en (de adentro ). ${\ Displaystyle TM \ vert _ {i (N)}}$${\ Displaystyle i ^ {*} TM}$${\ Displaystyle i}$${\ displaystyle T_ {M / N} {\ overset {\ pi} {\ twoheadrightarrow}} N}$${\ Displaystyle p \ in N}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle N}$${\ Displaystyle M}$

Paquete conormal

Si es una subvariedad suave de una variedad , podemos elegir coordenadas locales alrededor de las que está definido localmente por ; luego con esta elección de coordenadas ${\ Displaystyle Y \ subseteq X}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle (x_ {1}, \ dots, x_ {n})}$${\ Displaystyle p \ in Y}$${\ Displaystyle Y}$${\ Displaystyle x_ {k + 1} = \ dots = x_ {n} = 0}$

${\ Displaystyle {\ begin {alineado} T_ {p} X & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {1}}} | _ {p}, \ dots , {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {n}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \\ T_ {p} Y & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {1}}} | _ {p}, \ puntos, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {k}}} | _ {p} {\ Big \ rbrace} \ \ {T_ {X / Y}} _ {p} & = \ mathbb {R} {\ Big \ lbrace} {\ frac {\ partial} {\ partial x_ {k + 1}}} | _ {p}, \ puntos, {\ frac {\ parcial} {\ parcial x_ {n}}} | _ {p} {\ Gran \ rbrace} \\\ final {alineado}}}$

y la gavilla ideal es generada localmente por . Por lo tanto, podemos definir un emparejamiento no degenerado. ${\ Displaystyle x_ {k + 1}, \ dots, x_ {n}}$

${\ Displaystyle (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) _ {p} \ times {T_ {X / Y}} _ {p} \ longrightarrow \ mathbb {R}}$

que induce un isomorfismo de haces . Podemos reformular este hecho introduciendo el paquete conormal definido a través de la secuencia exacta conormal${\ Displaystyle T_ {X / Y} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2}) ^ {\ vee}}$

${\ displaystyle 0 \ to T_ {X / Y} ^ {*} \ rightarrowtail \ Omega _ {X} ^ {1} | _ {Y} \ twoheadrightarrow \ Omega _ {Y} ^ {1} \ to 0}$,

entonces , a saber. las secciones del haz conormal son los vectores cotangentes para desaparecer . ${\ Displaystyle T_ {X / Y} ^ {*} \ simeq (I_ {Y} / I_ {Y} ^ {2})}$${\ Displaystyle X}$${\ Displaystyle TY}$

Cuando es un punto, entonces el haz ideal es el haz de gérmenes suaves que desaparecen en y el isomorfismo se reduce a la definición del espacio tangente en términos de gérmenes de funciones suaves en${\ Displaystyle Y = \ lbrace p \ rbrace}$${\ Displaystyle p}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle T_ {X / \ lbrace p \ rbrace} ^ {*} \ simeq (T_ {p} X) ^ {\ vee} \ simeq {\ frac {{\ mathfrak {m}} _ {p}} { {\ mathfrak {m}} _ {p} ^ {2}}}}$.

Paquete normal estable

Las variedades abstractas tienen un paquete tangente canónico , pero no tienen un paquete normal: solo una incrustación (o inmersión) de una variedad en otra produce un paquete normal. Sin embargo, dado que cada variedad puede ser incrustada , por el teorema de la incrustación de Whitney , cada variedad admite un paquete normal, dada tal incrustación. ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

En general, no hay una opción natural de incrustación, pero para un M dado , dos incrustaciones cualesquiera para N suficientemente grande son homotópicos regulares y, por lo tanto, inducen el mismo paquete normal. La clase resultante de paquetes normales (es una clase de paquetes y no un paquete específico porque N podría variar) se llama paquete normal estable . ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$

Paquete dual a tangente

El paquete normal es dual al paquete tangente en el sentido de la teoría K : por la secuencia corta exacta anterior,

${\ Displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = [TM]}$

en el grupo Grothendieck . En caso de una inmersión en , el haz tangente del espacio ambiental es trivial (ya que es contráctil, por lo tanto, paralelizable ), así y así . ${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ Displaystyle \ mathbf {R} ^ {N}}$${\ Displaystyle [TN] + [T_ {M / N}] = 0}$${\ Displaystyle [T_ {M / N}] = - [TN]}$

Esto es útil en el cálculo de clases de características y permite probar los límites inferiores de inmersibilidad y capacidad de incrustación de variedades en el espacio euclidiano .

Para variedades simplécticas

Supongamos que una variedad está incrustada en una variedad simpléctica , de modo que el retroceso de la forma simpléctica tiene un rango constante . Entonces se puede definir el paquete normal simpléctico a X como el paquete vectorial sobre X con fibras ${\ Displaystyle X}$ ${\ Displaystyle (M, \ omega)}$${\ Displaystyle X}$

${\ Displaystyle (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega} / (T_ {i (x)} X \ cap (T_ {i (x)} X) ^ {\ omega}), \ quad x \ en X,}$

donde denota la incrustación. Observe que la condición de rango constante asegura que estos espacios normales encajen para formar un paquete. Además, cualquier fibra hereda la estructura de un espacio vectorial simpléctico. ${\ Displaystyle i: X \ rightarrow M}$

Según el teorema de Darboux , la incrustación de rango constante está determinada localmente por . El isomorfismo ${\ Displaystyle i ^ {*} (TM)}$

${\ Displaystyle i ^ {*} (TM) \ cong TX / \ nu \ oplus (TX) ^ {\ omega} / \ nu \ oplus (\ nu \ oplus \ nu ^ {*}), \ quad \ nu = TX \ cap (TX) ^ {\ omega},}$

de paquetes de vectores simplécticos implica que el paquete normal simpléctico ya determina el rango constante incrustado localmente. Esta característica es similar al caso de Riemann. ${\ Displaystyle X}$

Referencias