Teorema de Donsker - Donsker's theorem

Principio de invariancia de Donsker de paseo aleatorio simple sobre .${\ Displaystyle \ mathbb {Z}}$

En la teoría de la probabilidad , el teorema de Donsker (también conocido como principio de invariancia de Donsker , o el teorema del límite central funcional ), llamado así por Monroe D. Donsker , es una extensión funcional del teorema del límite central .

Sea una secuencia de variables aleatorias independientes e idénticamente distribuidas (iid) con media 0 y varianza 1. Sea . El proceso estocástico se conoce como paseo aleatorio . Defina la caminata aleatoria reescalada de manera difusa (proceso de suma parcial) por ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$${\ Displaystyle S_ {n}: = \ sum _ {i = 1} ^ {n} X_ {i}}$${\ Displaystyle S: = (S_ {n}) _ {n \ in \ mathbb {N}}}$

${\ Displaystyle W ^ {(n)} (t): = {\ frac {S _ {\ lfloor nt \ rfloor}} {\ sqrt {n}}}, \ qquad t \ in [0,1].}$

El teorema del límite central afirma que converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana estándar como . El principio de invariancia de Donsker extiende esta convergencia a toda la función . Más precisamente, en su forma moderna, el principio de invariancia de Donsker establece que: Como variables aleatorias que toman valores en el espacio de Skorokhod , la función aleatoria converge en distribución a un movimiento browniano estándar como${\ Displaystyle W ^ {(n)} (1)}$ ${\ Displaystyle W (1)}$${\ Displaystyle n \ to \ infty}$${\ Displaystyle W ^ {(n)}: = (W ^ {(n)} (t)) _ {t \ in [0,1]}}$ ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} [0,1]}$${\ Displaystyle W ^ {(n)}}$ ${\ Displaystyle W: = (W (t)) _ {t \ in [0,1]}}$${\ Displaystyle n \ to \ infty.}$

Historia

Sea F _n la función de distribución empírica de la secuencia de variables aleatorias iid con función de distribución F. Defina la versión centrada y escalada de F _n por ${\ Displaystyle X_ {1}, X_ {2}, X_ {3}, \ ldots}$

${\ Displaystyle G_ {n} (x) = {\ sqrt {n}} (F_ {n} (x) -F (x))}$

indexado por x  ∈  R . Según el teorema clásico del límite central , para x fijo , la variable aleatoria G _n ( x ) converge en distribución a una variable aleatoria gaussiana (normal) G ( x ) con media cero y varianza F ( x ) (1 -  F ( x ) ) a medida que crece el tamaño de la muestra n .

Teorema (Donsker, Skorokhod, Kolmogorov) La secuencia de G _n ( x ), como elementos aleatorios del espacio de Skorokhod , converge en distribución a un proceso gaussiano G con media cero y covarianza dada por ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} (- \ infty, \ infty)}$

${\ Displaystyle \ operatorname {cov} [G (s), G (t)] = E [G (s) G (t)] = \ min \ {F (s), F (t) \} - F ( s)}$${\ Displaystyle {F} (t).}$

El proceso G ( x ) se puede escribir como B ( F ( x )) donde B es un puente browniano estándar en el intervalo unitario.

Kolmogorov (1933) mostró que cuando F es continuo , el supremo y el supremo valor absoluto, convergen en distribución a las leyes de los mismos funcionales del puente browniano B ( t ), ver la prueba de Kolmogorov-Smirnov . En 1949, Doob preguntó si la convergencia en la distribución era válida para funciones más generales, formulando así un problema de convergencia débil de funciones aleatorias en un espacio funcional adecuado . ${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sup _ {t} G_ {n} (t)}$${\ Displaystyle \ scriptstyle \ sup _ {t} | G_ {n} (t) |}$

En 1952, Donsker declaró y probó (no del todo correctamente) una extensión general del enfoque heurístico de Doob-Kolmogorov. En el artículo original, Donsker demostró que la convergencia en la ley de G _n al puente browniano es válida para distribuciones uniformes [0,1] con respecto a la convergencia uniforme en t en el intervalo [0,1].

Sin embargo, la formulación de Donsker no era del todo correcta debido al problema de la mensurabilidad de las funciones de los procesos discontinuos. En 1956, Skorokhod y Kolmogorov definieron una métrica separable d , llamada métrica de Skorokhod , en el espacio de funciones càdlàg en [0,1], de manera que la convergencia de d a una función continua es equivalente a la convergencia de la norma sup, y mostraron que G _n converge en derecho en el puente browniano. ${\ Displaystyle {\ mathcal {D}} [0,1]}$

Más tarde, Dudley reformuló el resultado de Donsker para evitar el problema de la mensurabilidad y la necesidad de la métrica Skorokhod. Se puede probar que existe X _i , iid uniforme en [0,1] y una secuencia de puentes brownianos muestra-continuos B _n , tal que

${\ Displaystyle \ | G_ {n} -B_ {n} \ | _ {\ infty}}$

es medible y converge en probabilidad a 0. Una versión mejorada de este resultado, que proporciona más detalles sobre la tasa de convergencia, es la aproximación de Komlós-Major-Tusnády .

Ver también

• Teorema de Glivenko-Cantelli
• Prueba de Kolmogorov-Smirnov

Referencias